Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

 Latihan dulu OBE (menentukan invers) Definisi Misal I p merupakan matriks diagonal pxp identitas kanan 1. Matriks I k berukuran kxk disebut identitas.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: " Latihan dulu OBE (menentukan invers) Definisi Misal I p merupakan matriks diagonal pxp identitas kanan 1. Matriks I k berukuran kxk disebut identitas."— Transcript presentasi:

1

2  Latihan dulu OBE (menentukan invers)

3 Definisi Misal I p merupakan matriks diagonal pxp identitas kanan 1. Matriks I k berukuran kxk disebut identitas kanan untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk identitas kiri 2. Matriks I n berukuran nxn disebut identitas kiri untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk identitas 3. Jika n=k maka I n = I k = I disebut identitas untuk setiap himpunan matriks berukuran nxn

4 Definisi Misal X adalah matriks kxk. Invers dari X dinotasikan X -1 merupakan matriks kxk sedemikian hingga XX -1 =X -1 X =I Jika matriks ada, maka X disebut invertible atau nonsingular, selain itu matriks disebut noninvertible atau singular. Sifat-sifat invers 1. Jika X nonsingular, maka X -1 nonsingular dan (X -1 ) -1 =X 2. Jika X dan Y keduanya nonsingular berukuran kxk, maka XY nonsingular dan (XY) -1 =Y -1 X Jika X nonsingular, maka X’ nonsingular dan (X’) -1 =(X -1 )’

5 Definisi ortogonal Misal X merupakan matriks kxk sedemikian hingga X’X=I. Maka X disebut ortogonal.Definisi y Misal x dan y merupakan vektor nx1. Jika yortogonal Maka x dan y dikatakan ortogonal.Definisi Misal x merupakan vektor nx1. Panjang x dinotasikan adalah

6 Definisi himpunan ortonormal Misal {x 1, x 2,...,x k } merupakan himpunan vektor ortogonal berukuran nx1. Jika masing-masing vektor mempunyai panjang maka vektor-vektor membentuk himpunan ortonormal.Teorema Misal X merupakan matriks kxk, X ortogonal jika hanya jika kolom-kolomnya merupakan himpunan ortonormal.

7 Definisi Nilai eigen akar ciri Misal A merupakan matriks kxk dan x merupakan vektor taknol berukuran kx1. Nilai eigen atau akar ciri dari A adalah bilangan sedemikian hingga Ax = x vektor eigen Vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen.Contoh Diketahui tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut

8 Sifat-sifat nilai Eigen 1. Jika A merupakan matriks simetri kxk, maka nilai eigen dari A semuanya bilangan riil 2. Jika A merupakan matriks kxk dan C matriks ortogonal kxk, maka nilai eigen C’AC sama dengan nilai eigen A. 3. Jika A merupakan matriks simetri kxk, maka vektor eigen yang diperoleh dari nilai eigen matriks A adalah ortogonal.

9 Teorema Misal A merupakan matriks kxk, maka matriks ortogonal P ada sedemikian hingga Dimana i untuk i = 1, 2,..., k merupakan nilai eigen dari A

10 Definisi tidak semuanya nol Misal {x 1, x 2,...,x k } merupakan himpunan k vektor kolom. Jika bilangan riil a 1, a 2,..., a k tidak semuanya nol sedemikian hingga bergantung linier bebas linier ada, maka vektor x 1, x 2,..., x k disebut bergantung linier. Selain itu disebut bebas linier. vektor kolom Rank Misal X matriks berukuran nxk, setiap kolom dari matriks merupakan vektor kolom. Matriks X dalam bentuk vektor kolom ditulis X = [x 1 x 2 x 3... x k ]. Rank dari X, dinyatakan dengan r(X) didefinisikan sebagai jumlah terbanyak vektor-vektor bebas linier pada himpunan {x 1, x 2, x 3,..., x k }

11 Sifat-sifat Rank 1. Misal X adalah matriks nxk dengan rank k dimana n  k. Misal X rank penuh (full rank) maka r(X)=r(X’)=r(X’X)=k. 2. Misal X adalah matriks kxk. Maka X nonsingular jika dan hanya jika r(X)=k. 3. Misal X adalah matriks nxk, P adalah matriks nonsingular nxn dan Q adalah matriks nonsingular kxk. Maka r(X) = r(PX) = r(XQ). 4. Rank dari matriks diagonal sama dengan bilangan tak nol kolom-kolom dari matriks 5. Rank dari XY kurang dari atau sama dengan rank X dan kurang dari atau sama dengan rank Y

12 Contoh Misal X matriks nxk memiliki rank penuh. Matriks nxn H=X(X ’X) -1 X ‘ matriks idempoten merupakan matriks idempoten. Saat X memiliki rank penuh, r(X)=k. Saat r(X)=r(X’X), maka r(X’X)=k. X’X merupakan matriks kxk. Sebarang matriks kxk dengan rank k adalah nonsingular. Sehingga, (X’X) -1 ada. Untuk menunjukkan H idempoten, H 2 =[X(X ’X) -1 X ‘] [X(X’X) -1 X ‘] Gunakan sifat asosiatif untuk perkalian matriks, sehingga diperoleh H 2 =X(X ’X) -1 (X‘X)(X ’X) -1 X’ Saat (X ‘X)(X ’X) -1 X=I maka matriks idempoten H 2 =X(X ’X) -1 X ‘=H (H merupakan matriks idempoten)

13 Definisi Trace matriks kxk dinotasikan dengan tr(X), didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen dari diagonal utama. Sifat-sifat Trace 1. Misal c bilangan riil, maka tr(cX)=c tr(X) 2. tr(X  Y) = tr(X)  tr(Y) 3. Jika X berukuran nxp dan Y berukuran pxn, maka tr(XY)=tr(YX)

14 Teorema Nilai eigen dari matriks idempoten selalu nol atau satu.Teorema Misal A matriks simetri kxk dan idempoten dengan rank r. Maka rank A sama dengan trace nya, r(A)=tr(A).Teorema Misal A 1, A 2,..., A m adalah gabungan matriks simetri kxk. Syarat cukup dan syarat perlu untuk matriks ortogonal P sedemikian hingga P’A i P diagonal untuk i=1, 2, 3,..., m adalah A i A j = A j A i untuk setiap pasangan (i,j).

15 Teorema Misal A 1, A 2,..., A m adalah gabungan matriks simetri kxk. Maka: 1. Setiap A i dimana i=1, 2, 3,..., m adalah idempoten 2. adalah idempoten 3. A i A j = 0 untuk i  jTeorema Misal A 1, A 2,..., A m adalah gabungan matriks simetri kxk. Misal r menyatakan rank dan misal r i menyatakan rank A i dimana i=1, 2, 3,..., m. Jika minimal dua pernyataan benar, maka

16  Jika A nxn adalah matriks nonsingular, maka solusi SPL Ax = g ada dan unik. Solusi persamaannya adalah x = A -1 g tidak bujursangkarbujursangkar tapi singular Generalized Inverse (matriks kebalikan umum)Conditional Inverse (matriks kebalikan bersyarat)  Jika A tidak bujursangkar, atau bujursangkar tapi singular maka solusinya bisa dicari menggunakan Generalized Inverse (matriks kebalikan umum) dan Conditional Inverse (matriks kebalikan bersyarat).

17 Definisi generalized inverse Misal A adalah matriks mxn. Jika matriks A - ada dan memenuhi 4 kondisi berikut, maka A - disebut generalized inverse dari A: 1. AA - simetris 2. A - A simetris 3. AA - A = A 4. A - AA - = A - generalized inverseg-invers generalized inverse dapat dinyatakan sebagai g-invers

18 Teorema Misal A matriks mxn.  Jika rank A adalah m maka A - = A ’ (AA ’ ) -1 dan AA - = I.  Jika rank A adalah n maka A - = (A ’ A) -1 A ’ dan A - A = I. g-invers  Jika rank A adalah r, maka g-invers dari A dapat dihitung menggunakan langkah: 1. Hitung B = A’A atau B = A A’ 2. C 1 = I 3. C i+1 = I(1/i)tr(C i B) – C i B, untuk i=1,2,..r-1 4. A - = rC r A ’ /tr(C r B) Catatan: C r+1 B = 0 dan tr(C r B) ≠ 0


Download ppt " Latihan dulu OBE (menentukan invers) Definisi Misal I p merupakan matriks diagonal pxp identitas kanan 1. Matriks I k berukuran kxk disebut identitas."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google