Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matriks dan Transformasi Linier Dra. Dwi Achadiani, M.Kom.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matriks dan Transformasi Linier Dra. Dwi Achadiani, M.Kom."— Transcript presentasi:

1 Matriks dan Transformasi Linier Dra. Dwi Achadiani, M.Kom

2 Vektor Definisi: Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan. ● ● Lambang : a : vektor a besar arah Titik awal Titik ujung

3 Operasi vektor dalam bidang  Operasi penjumlahan dua vektor Definisi: Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang. a b a + b

4 Sifat penjumlahan vektor  Operasi perkalian vektor dengan bil riel Sifat perkalian vektor dengan bil riel

5  Kombinasi Linier

6 Definisi: Jika adalah vektor-vektor di R²(atau di ), maka: dinamakan kombinasi linier dari  Panjang Vektor (Norm) Definisi: Panjang vektor di didefinisikan :

7  Sudut antara dua vektor Sudut θ antara dua vektor di R², jika memenuhi persamaan berikut:, dengan

8  Perkalian Silang Definisi: Jika 2 vektor di, maka: panjangnya 1 unit dan searah sumbu x

9 panjangnya 1 unit dan searah sumbu y panjangnya 1 unit dan searah sumbu z x y z Maka vektor dapat ditulis menjadi

10 Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: x y z d

11  Bergantung Linier dan Bebas Linier Vektor- vektor :, apabila dengan tidak semua berharga nol, maka vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila semua berharga nol maka vektor disebut bebas linier.

12  Vektor pembentuk ruang vektor Definisi: suatu himpunan vektor-vektor disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap dapat ditulis sbg kombinasi linier dari

13 Dimensi dan Basis  Dimensi Definisi: suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier Atau : maksimum banyaknya vektor-vektor V yang bebas linier.

14  Basis Definisi: Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis ruang vektor tersebut.

15 MATRIKS Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom- kolom. Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

16  Operasi Matriks 1.Operasi Kesamaan Dua matriks A dan B disebut sama, jika: a)A dan B sejenis b)Setiap unsur yang seletak sama. A = B, A ≠ C, B ≠ C

17 2.Penjumlahan dua matriks Definisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur, dimana terdapat hubungan:.

18 Sifat-sifat penjumlahan:  Komutatif : A + B = B + A  Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C 3.Perkalian dengan skalar ( ) Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( )., maka A =.

19 Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar 1. (A + B) = A + B 2.( + β ) A = A + β A 3. (β A) = β A

20 4.Perkalian dua matriks Definisi: Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p, maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

21 Catatan: Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. Pada umumnya AB ≠ BA Contoh: 1 x 33 x 11 x 1

22 2 x 23 x 3

23  Macam-macam matriks 1.Matriks bujursangkar Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom 2. Matrik satuan/ matriks identitas Matriks bujur sangkar Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

24 Contoh : A.I = I.A I.I = I 3.Matriks segitiga Matriks bujursangkar Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

25 Contoh : 4.Matriks Tranpose Tidak perlu bujursangkar Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

26 Contoh :

27 Sifat-sifat matriks transfose

28 Contoh

29 5.Matriks simetris Matriks A disebut simetris apabila Matriks Bujur sangkar Contoh

30 6.Matriks skew simetris Matriks A disebut matriks skew simetri jika Bujur sangkar Contoh

31 Matriks Skew simetris, maka Untuk I = j maka Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

32 7.Matriks Diagonal Matriks bujursangkar Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

33 9. Matriks Nol Tidak perlu matriks bujur sangkar Semua unsurnya nol A.0 = 0 A + 0 = A A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua- duanya nol

34 Dalil: Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris yang lain skew simetris

35 Bukti:

36 Matriks Simetris Matriks Skew Simetris

37 Cek

38 Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks Transformasi Elamenter pada matriks adalah:  Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A)  Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A)  Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis H (A)  Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A)  Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A) ij i i

39  Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis K (A) Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A) Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE) ij 1 2 i j

40 Contoh:

41 Invers Suatu Transformasi Linier Jika suatu transformasi elementer adalah: A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) ij ij i i 1/ i i 1/ ij ij ij

42 Contoh

43 Penggunaan OBE Mencari Rank Matriks Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol) Mecari invers matriks ( A:I ) ( I:A ) OBE

44 Contoh Maka rank matriks A = 2

45 2. Carilah invers dari matriks

46


Download ppt "Matriks dan Transformasi Linier Dra. Dwi Achadiani, M.Kom."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google