Matriks dan Transformasi Linier

Presentasi berjudul: "Matriks dan Transformasi Linier"— Transcript presentasi:

1 Matriks dan Transformasi Linier
Dra. Dwi Achadiani, M.Kom

2 Vektor Definisi: Lambang :
Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan. ● ● Lambang : a : vektor a Titik awal Titik ujung besar arah

3 Operasi vektor dalam bidang
Operasi penjumlahan dua vektor Definisi: Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang merupakan diagonal jajaran genjang . a a + b b

4 Sifat penjumlahan vektor
Operasi perkalian vektor dengan bil riel Sifat perkalian vektor dengan bil riel

5 Kombinasi Linier

6 dinamakan kombinasi linier dari
Definisi: Jika adalah vektor-vektor di R²(atau di ), maka: dinamakan kombinasi linier dari Panjang Vektor (Norm) Definisi: Panjang vektor di didefinisikan :

7 Sudut antara dua vektor
Sudut θ antara dua vektor di R², jika memenuhi persamaan berikut: , dengan

8 Perkalian Silang Definisi: Jika vektor di , maka: panjangnya 1 unit dan searah sumbu x

9 panjangnya 1 unit dan searah sumbu y
panjangnya 1 unit dan searah sumbu z Maka vektor dapat ditulis menjadi

10 Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor
Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan:

11 Bergantung Linier dan Bebas Linier
Vektor- vektor : , apabila dengan tidak semua berharga nol, maka vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila semua berharga nol maka vektor disebut bebas linier.

12 Vektor pembentuk ruang vektor
Definisi: suatu himpunan vektor-vektor disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap dapat ditulis sbg kombinasi linier dari

13 Dimensi dan Basis Dimensi Definisi: suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier Atau : maksimum banyaknya vektor-vektor V yang bebas linier .

14 Basis Definisi: Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis ruang vektor tersebut.

15 MATRIKS Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

16 Operasi Matriks Operasi Kesamaan Dua matriks A dan B disebut sama, jika: A dan B sejenis Setiap unsur yang seletak sama. A = B, A ≠ C, B ≠ C

17 2. Penjumlahan dua matriks
Definisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur , dimana terdapat hubungan: .

18 Sifat-sifat penjumlahan:
Komutatif : A + B = B + A Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C Perkalian dengan skalar ( ) Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ). , maka A =

19 Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
(A + B) = A + B ( + β ) A = A + β A (β A) = β A

20 4. Perkalian dua matriks Definisi: Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

21 dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. Pada umumnya AB ≠ BA
Catatan: Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. Pada umumnya AB ≠ BA Contoh: 1 x 3 3 x 1 1 x 1

22 2 x 2 3 x 3

23 Macam-macam matriks Matriks bujursangkar Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom 2. Matrik satuan/ matriks identitas Matriks bujur sangkar Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

24 Contoh : A.I = I.A I.I = I Matriks segitiga Matriks bujursangkar Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

25 Contoh : Matriks Tranpose Tidak perlu bujursangkar Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

26 Contoh :

27 Sifat-sifat matriks transfose

28 Contoh

29 Matriks simetris Matriks A disebut simetris apabila Matriks Bujur sangkar Contoh

30 Matriks skew simetris Matriks A disebut matriks skew simetri jika Bujur sangkar Contoh

31 Matriks Skew simetris , maka
Untuk I = j maka Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

32 Matriks Diagonal Matriks bujursangkar Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

33 9. Matriks Nol Tidak perlu matriks bujur sangkar Semua unsurnya nol A.0 = 0 A + 0 = A A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol

34 Dalil: Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris yang lain skew simetris

35 Bukti:

36 Matriks Simetris Matriks Skew Simetris

37 Cek

38 Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks
Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A) ij ij i i ij

39 kali baris ke j, ditulis H (A)
Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis K (A) Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A) Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE) ij 1 2 i j

40 Contoh:

41 Invers Suatu Transformasi Linier
Jika suatu transformasi elementer adalah: A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B) -1 ij ij -1 ij ij -1 1/ i i -1 1/ i i -1 -1 ij ij ij ij

42 Contoh

43 Penggunaan OBE Mencari Rank Matriks
Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol) Mecari invers matriks ( A:I ) ( I:A ) OBE -1

44 Contoh Maka rank matriks A = 2

45 2. Carilah invers dari matriks

46