Matriks.

Presentasi berjudul: "Matriks."— Transcript presentasi:

1 Matriks

2 Cakupan Bahasan Pengertian Tentang Matriks Operasi-Operasi Matriks
Putaran Matriks Sistem Persamaan Linier

3 1. Pengertian Tentang Matriks

4 Pengertian Dasar Matriks
Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. baris kolom Contoh-1.1: Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks. Kita terlebih dulu akan melihat matriks berisi bilangan nyata. Notasi Notasi nama matriks: huruf besar cetak tebal, Contoh-1.2:

5 Pengertian Dasar Matriks
Elemen Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh-1.3: 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris-baris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom-kolom Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari bk elemen-elemen Ukuran matriks dinyatakan sebagai bk Contoh-1.4: adalah matriks merukuran 23

6 Pengertian Dasar Matriks
Nama Khusus Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar. Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b  k disebut matrik segi panjang Contoh-1.4: b = k = 3 b = 2, k = 3 matriks bujur sangkar 33 matriks segi panjang 23 k = 1 b = 1 vektor kolom vektor baris Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal

7 Pengertian Dasar Matriks
Diagonal Utama Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama

8 Pengertian Dasar Matriks
Matriks Segitiga Matriks segitiga ada dua macam yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh-1.5: Matriks segitiga bawah : Matriks segitiga atas :

9 Pengertian Dasar Matriks
Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh-1.6:

10 Pengertian Dasar Matriks
Matriks Satuan Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan. Contoh-1.7: Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran mn adalah matriks yang berukuran mn dengan semua elemennya bernilai nol.

11 Pengertian Dasar Matriks
Anak matriks atau sub-matriks Contoh-1.7: Matriks B memiliki: - Dua anak matriks 1 3 , yaitu: - Tiga anak matriks 2 1, yaitu: - Enam anak matriks 1 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; - Enam anak matriks 1 2 yaitu: - Tiga anak matriks 22 yaitu:

12 Pengertian Dasar Matriks
Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor Contoh-1.8: dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriks berupa vektor baris Contoh-1.9: dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom

13 2. Operasi Matriks

14 Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif
Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Contoh-2.1: A = B Jika maka haruslah .

15 Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif
Negatif dari matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (1). . Contoh-2.2:

16 Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran mn adalah sebuah matriks C berukuran mn yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama Contoh-2.3: Jika maka Sifat-sifat penjumlahan matriks:

17 Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan
Pengurangan Matriks Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif Contoh-2.4:

18 Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan
Perkalian Matriks Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan. Perkalian matriks tidak komutatif. Jadi jika matriks A berukuran mn dan B berukuran pq maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran mq dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

19 Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang seluruh elemennya bernilai a kali. aA = Aa Contoh-2.5: Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

20 Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.
Operasi Matriks, Perkalian Matriks Perkalian Internal Vektor (dot product) Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris vektor b. Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. Contoh-2.6: vektor baris: vektor kolom: baris = 2 kolom = 2 . perkalian internal dapat dilakukan Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, maka perkalian dapat dilakukan Perkalian matriks tidak komutatif.

21 Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian Matriks Dengan Vektor Contoh-2.7: Misalkan dan baris = 2 kolom = 2 dapat dikalikan Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

22 Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar Contoh-2.8: dan baris = 2 kolom = 2 dapat dikalikan Matriks A kita pandang sebagai Matriks B kita pandang sebagai

23 Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks persegi panjang Contoh-2.9: dan baris = 3 dapat dikalikan kolom = 3

24 Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh-2.8 adalah sehingga , Dalam operasi perkalian matriks, matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris sedangkan matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom .

25 Operasi Matriks, Perkalian Matriks
Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB  BA c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku. Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

26 3. Putaran Matriks

27 Putaran Matriks Putaran Matriks
Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT Jika maka

28 Putaran Matriks Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. Contoh-3.1:

29 Putaran Matriks Putaran Jumlah Dua Vektor Baris
Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor Contoh-3.2: Jika maka Secara umum :

30 Putaran Matriks Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik Contoh-3.3: Jika maka

31 Putaran Matriks Contoh-3.4: Jika maka Secara umum :

32 Putaran Matriks Putaran Matriks Persegi Panjang Contoh-3.5: Jika maka
Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris maka Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom maka

33 Putaran Matriks Putaran Jumlah Matriks
Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. Jika dan maka Dengan demikian

34 Putaran Matriks Putaran Hasil Kali Matriks
Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Jika dan maka Dengan demikian maka

35 dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.
Putaran Matriks Matriks Simetris Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila Jika dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Karena dalam setiap putaran matriks elemen-elemen diagonal utama tidak berubah nilai, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol.

36 Courseware Matriks Sudaryatno Sudirham