Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matriks. Cakupan Bahasan  Pengertian Tentang Matriks  Operasi-Operasi Matriks  Putaran Matriks  Sistem Persamaan Linier.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matriks. Cakupan Bahasan  Pengertian Tentang Matriks  Operasi-Operasi Matriks  Putaran Matriks  Sistem Persamaan Linier."— Transcript presentasi:

1 Matriks

2 Cakupan Bahasan  Pengertian Tentang Matriks  Operasi-Operasi Matriks  Putaran Matriks  Sistem Persamaan Linier

3

4 Pengertian Dasar Matriks Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. Contoh-1.1: baris kolom Notasi nama matriks: huruf besar cetak tebal, Contoh-1.2: Notasi Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks. Kita terlebih dulu akan melihat matriks berisi bilangan nyata.

5 Pengertian Dasar Matriks Elemen Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh-1.3: 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris-baris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom-kolom Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b  k elemen-elemen Ukuran matriks dinyatakan sebagai b  k Contoh-1.4: adalah matriks merukuran 2  3

6 b = k = 3 matriks bujur sangkar 3  3 Nama Khusus Pengertian Dasar Matriks Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar. Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b  k disebut matrik segi panjang Contoh-1.4: b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2  3 k = 1 vektor kolom b = 1 vektor baris Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal

7 Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai elemen-elemen a 11 …a mn disebut diagonal utama Diagonal Utama Pengertian Dasar Matriks

8 Matriks Segitiga Matriks segitiga ada dua macam yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh-1.5: Pengertian Dasar Matriks Matriks segitiga bawah :Matriks segitiga atas :

9 Matriks Diagonal Pengertian Dasar Matriks Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh-1.6:

10 Matriks Satuan Pengertian Dasar Matriks Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan. Contoh-1.7: Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran m  n adalah matriks yang berukuran m  n dengan semua elemennya bernilai nol.

11 Anak matriks atau sub-matriks - Dua anak matriks 1  3, yaitu: - Tiga anak matriks 2  1, yaitu: - Enam anak matriks 1  1 yaitu: [2], [4], [1], [3], [0], [2]; - Enam anak matriks 1  2 yaitu: - Tiga anak matriks 2  2 yaitu: Pengertian Dasar Matriks Contoh-1.7: Matriks B memiliki:

12 Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriks berupa vektor baris dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom Pengertian Dasar Matriks Contoh-1.8: Contoh-1.9:

13

14 Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. A = B Jika maka haruslah. Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif Contoh-2.1:

15 Matriks Negatif Negatif dari matriks berukuran m  n adalah matriks berukuran m  n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (  1).. Operasi Matriks, Kesamaan, Matriks Nol, Matriks negatif Contoh-2.2:

16 Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m  n adalah sebuah matriks C berukuran m  n yang elemen- elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama Jika maka Sifat-sifat penjumlahan matriks: Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan Contoh-2.3:

17 Pengurangan Matriks Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif Contoh-2.4: Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan

18 Perkalian Matriks Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan. Perkalian matriks tidak komutatif. Jadi jika matriks A berukuran m  n dan B berukuran p  q maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Operasi Matriks, Penjumlahan dan Pengurangan Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m  q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

19 Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m  n adalah matriks berukuran m  n yang seluruh elemennya bernilai a kali. a A = A a Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut Operasi Matriks, Perkalian Matriks Contoh-2.5:

20 Perkalian Internal Vektor (dot product) vektor baris: vektor kolom:. Contoh-2.6: kolom = 2 baris = 2 Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris vektor b. Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, maka perkalian dapat dilakukan perkalian internal dapat dilakukan Perkalian matriks tidak komutatif. Operasi Matriks, Perkalian Matriks

21 Perkalian Matriks Dengan Vektor Misalkan dan dapat dikalikan kolom = 2 baris = 2 Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris. Contoh-2.7: Operasi Matriks, Perkalian Matriks

22 Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar Operasi Matriks, Perkalian Matriks dan Contoh-2.8: dapat dikalikan kolom = 2 baris = 2 Matriks A kita pandang sebagai Matriks B kita pandang sebagai

23 Perkalian dua matriks persegi panjang Operasi Matriks, Perkalian Matriks dan dapat dikalikan kolom = 3 baris = 3 Contoh-2.9:

24 Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh-2.8 adalah, sehingga. Operasi Matriks, Perkalian Matriks Dalam operasi perkalian matriks, matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris sedangkan matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom

25 Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut. b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB  BA a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0. c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku. Operasi Matriks, Perkalian Matriks

26

27 Putaran Matriks Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks A T yang berukuran n×m dengan kolom- kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks A T Jika maka

28 Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran Matriks Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. Contoh-3.1:

29 Putaran Jumlah Dua Vektor Baris Putaran Matriks Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor Jika maka Secara umum : Contoh-3.2:

30 Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran Matriks Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik Jika maka Contoh-3.3:

31 Putaran Matriks Contoh-3.4: Jika maka Secara umum :

32 Putaran Matriks Contoh-3.5: Putaran Matriks Persegi Panjang Jika maka Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris maka Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom maka

33 Putaran Matriks Putaran Jumlah Matriks Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing- masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. Jika Dengan demikian dan maka

34 Putaran Hasil Kali Matriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing- masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Jika dan maka Dengan demikian maka Putaran Matriks

35 Matriks Simetris Jika dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila Karena dalam setiap putaran matriks elemen- elemen diagonal utama tidak berubah nilai, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol.

36 Courseware Matriks Sudaryatno Sudirham


Download ppt "Matriks. Cakupan Bahasan  Pengertian Tentang Matriks  Operasi-Operasi Matriks  Putaran Matriks  Sistem Persamaan Linier."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google