Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Ortogonal. Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Ortogonal. Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR."— Transcript presentasi:

1 Ortogonal

2 Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

3 Ortogonal Himpunan vektor {v 1, v 2, ….., v k } dalam R n disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika : Basis standar {e 1, e 2, ….., e n } dalam R n adalah himpunan ortogonal. v i. v j = 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k

4 Contoh : Tunjukkan bahwa {v 1, v 2, v 3 } adalah himpunan ortogonal dalam R 3 jika : Jawab : Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal v 1. v 2 = 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0 v 2. v 3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0 v 1. v 2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0 Kesimpulan : {v 1, v 2, v 3 } adalah himpunan ortogonal

5 Teori 1. Jika {v 1, v 2, ….., v k } adalah himpunan vektor bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor tersebut adalah bebas linier. Bukti : Jika c 1, c 2, …., c k adalah skalar sehingga : c 1 v 1 + …+ c k v k =0 kemudian (c 1 v 1 + …+ c k v k ). v i = 0. v i = 0 Atau hal yang sama : c 1 (v 1. v i )+ ….. +c i (v i. v i )+ ……+ c k (v k. v i ) = 0 Karena {v 1, v 2, ….., v k } adalah himpunan ortogonal, semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol kecuali (v i. v i ), sehingga persamaan dapat diringkas menjadi : c i (v i. v i ) = 0

6 Dengan hipotesa : v i ≠ 0 sehingga v i. v i ≠ 0, oleh karena itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah c i. Hal ini juga berlaku untuk semua i = 1, ….. k, sehingga disimpulkan bahwa {v 1, v 2, ….., v k } adalah bebas linier. Basis Ortogonal Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari R n adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal. Contoh soal : Cari basis ortogonal dari subruang W dari R 3 yaitu :

7 Subruang W adalah bidang yang berada pada R 3, dari persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk : Jadi vektor u = ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah satu vektor tersebut. dan v = adalah basis W, namun tidak

8 Anggap dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0. Dengan menyelesaikan SPL : x-y+2z = 0 x+y = 0 Didapatkan : x = -z dan y = z Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk : adalah vektor dalam W yang ortogonal

9 Jika diambil bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W, sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=2. Teori 2. Jika {v 1, v 2, ….., v k } adalah basis ortogonal dari subruang W dari R n dan w merupakan vektor dalam W, maka skalar unik c 1,…., c k dapat ditulis : w = c 1 v 1 + …+ c k v k Menghasilkan : dengan mudah dapat dibuktikan untuk i = 1, ……, k

10 Contoh soal : Carilah koordinat dari B = {v 1, v 2, v 3 } dengan Jawab : yang menjadi basis ortogonal

11 Jadi : w = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = 1/6 v 1 + 5/2 v 2 + 2/3 v 3 Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B adalah :

12 Ortonormal Definisi : himpunan vektor dalam R n adalah himpunan ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari R n adalah basis dari W dan merupakan himpunan ortonormal. Catatan : Jika S= {q 1,….., q k } adalah himpunan vektor ortonormal, kemudian q 1. q 2 = 0 untuk i≠ j dan Kenyataannya bahwa setiap q i merupakan vektor satuan dengan kata lain : q i. q i = 1. Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika :

13 Contoh soal : Tunjukkan bahwa S = {q 1,q 2 } adalah himpunan ortonormal dalam R 3 jika : Jawab : Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap vektor himpunan ortogonal tersebut. ortonormal

14 Contoh soal: Bangun basis ortonormal untuk R 3 dari vektor-vektor : Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v 1, v 2, dan v 3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi setiap vektor diperoleh : Jadi {q 1, q 2, q 3 } merupakan basis ortonormal untuk R 3,

15 Teori 3. Jika {q 1, q 2.….., q k } basis ortonormal dari subruang W dari R n dan w adalah vektor dalam W, maka : w = (w. q 1 )q 1 + (w. q 2 )q 2 +………+ (w. q k ) q k Matrik ortogonal Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom berbentuk himpunan ortonormal disebut: matrik ortogonal. Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentuk himpunan ortonormal jika dan hanya jika Q T Q = I n Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan hanya jika Q -1 = Q T

16 Contoh soal : Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah ortogonal dan carilah matrik inversnya ! Jawab : Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar dari R 3 jelas merupakan ortonormal, sehingga A adalah ortogonal dan

17 Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut : Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan

18 Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut ini memiliki arti yang sama : a.Q adalah ortogonal. b. c. Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen baris merupakan himpunan ortonormal. Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal. a.Q -1 adalah ortogonal b.det Q = c.Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka d.Jika Q 1 dan Q 2 adalah matrik ortogonal nxn, maka demikian juga untuk Q 1 Q 2

19 = {v dalam R n : v.w = 0 untuk semua w dalam W} Komplemen ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari R n. Sebuah vektor v dalam R n ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang ortogonal dengan W disebut komplemen ortogonal dari W ditulis sebagai: W l v w l = dan W =

20 Teori 9. Ambil W subruang dari R n. a. b. c.W d.Jika W = span (w 1, ……, w k ), maka v berada dalam jika dan hanya jika v. w i untuk semua i= 1, …….,k Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal dari ruang kolom A adalah ruang null A T = {0} adalah subruang dari R n.

21 Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang :  baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari R n  kolom (A) dan null (A T ): komplemen ortogonal dari R m Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n baris (A) kolom (A) null (A) null (A T ) 00 RmRm RnRn TATA

22 Contoh soal : 1.Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari : dan buktikan bahwa : Jawab : Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :

23 Baris (A) = span (r 1, r 2, r 3 ) dengan : r 1 = { }, r 2 = { }, r 3 = { } Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0 diperoleh : baris (A) = baris (R)

24 Null (A) = span (u, v) dengan : Untuk menunjukkan menunjukkan setiap vektor r ortogonal dengan u dan v. Selanjutnya, dapat dilihat bahwa : r 3 = r 1 + 2r 2 dan r 5 = -r 1 + 3r 2 + 4r 4 u = dan v = cukup dengan

25 Dengan demikian r 3 dan r 5 tidak memberikan kontribusi apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r 1, r 2 dan r 4 adalah bebas linier dan merupakan vektor satuan. Jadi basis kolom A = span{a 1, a 2, a 3 } dengan : Perhitungan null(A T ) dilakukan dengan reduksi baris :

26 Jika y didalam null(A T ) dengan y 1 = - y 4, y 2 = -6 y 4 dan y 3 = -3y 4, maka dapat diperoleh hasil : null(A T ) = Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut ortogonal dengan a 1, a 2, a 3 sehingga terbukti bahwa :

27 2. Ambil W adalah subruang R 5 yang dibangun oleh : Tentukan basis dari Jawab : subruang W dibangun oleh w 1,w 2 dan w 3 sama dengan ruang kolom dari :

28 Teori 10 menyatakan Sehingga dapat dihitung : y didalam y 1 = –3 y 4 – 4 y 5, y 2 = – y 4 – 3 y 5 dan y 3 = –2 y 5 Sehingga diperoleh : Ada 2 vektor basis untuk jika dan hanya jika :

29 Proyeksi ortogonal Definisi : Ambil W subruang dari R n dan {u 1, u 2.….., u k } merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v dalam R n, maka proyeksi ortogonal v pada W didefini- sikan sebagai : Komponen v ortogonal ke W adalah vektor : v u proy u (v) perp u (v) W v p p1p1 p2p2 u1u1 u2u2

30 Contoh soal : Jika W bidang dalam R 3 dengan persamaan x-y+2z=0 dan komponen v yang ortogonal ke W ! Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk : Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan

31 Diperoleh vektor basis W : u 1 = Proyeksi ortogonal v pada W adalah : dan u 2 = v W proy w (v) perp w (v)

32 Dan komponen v ortogonal pada W adalah : perp w (v) = v – proj w (v)= Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa proj w (v) berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan bidang. Demikian pula halnya dengan perp w (v) adalah ortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari vektor normal terhadap W.

33 Dekomposisi ortogonal Teori 11. Jika W merupakan subruang dari R n dan v adalah vektor dalam R n, maka ada vektor-vektor unik w dalam W dan Teori 12. Jika W merupakan subruang dari R n, maka : dim W + dim dalam dapat dituliskan : v = w + = n

34 Faktorisasi QR Teori 13. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagai QR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang invertible. Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a 1,…,a n adalah kolom bebas linier dari matrik A dan q 1,…,q n adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan menggunakan metode Gramm-Schmidt. Untuk setiap i = 1,…..,n : W i = span (a 1,…,a i ) = span (q 1,…,q i ) Sehingga jika terdapat skalar r 1i,r 2i …,r ii dapat dituliskan : a i = r 1i q 1 + r 2i q 2 + …..+r ii q i untuk i= 1, ……, n

35 Diperoleh hasil : a 1 = r 11 q 1 a 2 = r 12 q 1 + r 22 q 2 a n = r 1n q 1 + r 2n q 2 + …..+r nn q n Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :

36 Contoh soal : Cari faktorisasi QR dari : Jawab : Subruang W dibangun oleh x 1,x 2 dan x 3 sama dengan ruang kolom dari matrik A. {x 1,x 2, x 3 } adalah himpuan bebas linier, sehingga merupakan basis dari W. Ambil v 1 = x 1, selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt dihitung komponen x 2 yang ortogonal pada W 1 = span (v 1 )

37 Untuk menghilangkan pecahan pada v 2 dilakukan perkali- an skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian v 2 dirubah menjadi : Selanjutnya dihitung komponen x 3 ortogonal pada W 2 = span (x 1,x 2 ) = span (v 1,v 2 )= span basis ortogonal menggunakan

38 Kembali dilakukan penskalaan ulang : Akhirnya diperoleh basis ortogonal Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan normalisasi setiap vektor untuk W

39

40 A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga Q T Q = I. Oleh karena itu : Q T A=Q T QR = IR=R Diperoleh hasil akhir :

41 Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrik diagonal D sehingga diperoleh : Q T AQ = D Teori 14. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal, maka A adalah matrik simetri Bukti : Karena Q -1 = Q T diperoleh Q T Q = I = QQ T sehingga : QDQ T = QQ T AQQ T = IAI = A Tetapi juga : A T = (QDQ T ) T = (Q T ) T D T Q T = QDQ T = A Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri.

42 Latihan soal : 1.V=R 3 dengan perkalian skalar = 2a 1 b 1 + a 2 b 2 + 3a 3 b 3 Tentukan proyeksi ortogonal a= (1,2,1), b= (1,1,1) 2.V=R 3 dengan perkalian skalar = 2a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 W subruang linier yang dibangun oleh {(-1,1,1), (1,1,1)} dan v = (1,2,3) Tentukan proyeksi ortogonal v pada W


Download ppt "Ortogonal. Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google