Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

RUANG VEKTOR UMUM. DEFINISI Misalkan V adalah sebarang himpunan benda pada mana didefinisikan dua operasi, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "RUANG VEKTOR UMUM. DEFINISI Misalkan V adalah sebarang himpunan benda pada mana didefinisikan dua operasi, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar."— Transcript presentasi:

1 RUANG VEKTOR UMUM

2 DEFINISI Misalkan V adalah sebarang himpunan benda pada mana didefinisikan dua operasi, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan real). Jika aksioma- aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w di dalam V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita menamakan V sebuah ruang vektor (vector space) dan benda-benda di dalam V kita namakan vektor : 1.Jika u dan v adalah benda-benda di dalam V, maka u + v berada di dalam V. 2. u + v = v + u (sifat komutatif) 3. u + (v + w) = (u + v) + w (sifat asosiatif) 4.Ada sebuah benda 0 di dalam V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di dalam V (elemen identitas terhadap operasi penjumlahan) 5.Untuk setiap u di dalam V, ada sebuah benda –u di dalam V yang dinamakan negatif dari u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 (elemen invers terhadap operasi penjumlahan)

3 6.Jika k adalah sebarang bilangan real dan u adalah sebarang benda di dalam V, maka k u berada di dalam V 7.k( u + v ) = k u + k v 8.(k + l) u = k u + l u 9.k(l u ) = (kl)( u ) 10.1 u = u Vektor 0 di dalam Aksioma 4 dinamakan vektor nol (zero vector) untuk V.

4 SUBRUANG Definisi : Sebuah subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan sebuah subruang (subspace) dari V jika W itu sendiri adalah sebuah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

5 TEOREMA Jika W adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah sebuah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku. 1.Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam W, maka u + v berada di dalam W. 2.Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di dalam W, maka k u berada di dalam W.

6 KEBEBASAN LINIER Definisi : Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linier dari vektor-vektor v 1, v 2,…,v r jika vektor tersebut dapat dinyatakan di dalam bentuk w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k r v r dimana k 1, k 2,…, k r adalah skalar.

7 Definisi : Jika v 1, v 2,…,v r adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari v 1, v 2,…,v r maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang V/membangun V/span V. KEBEBASAN LINIER

8 Jika S = [v 1, v 2,…,v r } adalah sebuah himpunan vektor, maka persamaan vektor k 1 v 1 + k 2 v 2 +… + k r v r = 0 mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni : k 1 = 0, k 2 = 0,…, k r = 0 Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan sebuah himpunan yang bebas linier (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan sebuah himpunan yang tak bebas linier (linearly dependent). KEBEBASAN LINIER

9 BASIS DAN DIMENSI DEFINISI : Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v 1,v 2,…,v r } adalah sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor di dalam V, maka S dinamakan sebuah basis untuk V jika 1.S bebas linier; 2.S merentang V Sebuah ruang vektor tak nol V dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor- vektor {v 1,v 2,…,v n } yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu, maka V dinamakan berdimensi tak berhingga (infinite dimensional).

10 DIMENSI Definisi : Dimensi dari sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor di dalam sebuah basis untuk V.

11 RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

12

13 TEOREMA Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama.

14 RANK DAN NULLITAS DARI A Definisi : Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank (rank) dari A. Definisi : Dimensi ruang kosong dari A disebut dengan nullitas dari A dan ditulis dengan null(A).

15 TEOREMA 1.Jika A matriks sebarang, rank(A) = rank(A T ). 2.Jika A matriks sebarang dengan n kolom, maka : rank(A) + null(A) = n.

16 TEOREMA Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. 1.A dapat dibalik (invertible) 2.A x = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial. 3.A ekuivalen baris dengan I n. 4.A x = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1. 5.det(A) ≠ 0 6.A mempunyai rank n. 7.Vektor-vektor baris dari A bebas linier. 8.Vektor-vektor kolom dari A bebas linier.


Download ppt "RUANG VEKTOR UMUM. DEFINISI Misalkan V adalah sebarang himpunan benda pada mana didefinisikan dua operasi, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google