Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Vektor III Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan) Erna Sri Hartatik.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Vektor III Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan) Erna Sri Hartatik."— Transcript presentasi:

1 Vektor III Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan) Erna Sri Hartatik

2 Pembahasan Perkalian Cross (Cross Product) Perkalian Cross (Cross Product) - Model cross product - Sifat cross product

3 Pendahuluan Selain dot product ada fungsi perkalian product lain dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan suatu vektor, dan scalar triple product untuk perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai scalar Selain dot product ada fungsi perkalian product lain dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan suatu vektor, dan scalar triple product untuk perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai scalar Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang berbeda-beda, tergantung kebutuhan Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang berbeda-beda, tergantung kebutuhan Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh vektor 2 dimensi maupun 3 dimensi Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh vektor 2 dimensi maupun 3 dimensi

4 Perkalian Cross (CROSS PRODUCT)

5 Pengertian : …… Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor Hasil kali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasilkali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

6 Kegunaan Secara geometris, hasil perkalian silang antara dua buah vektor merupakan luas dari bangun segiempat yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini dapat diturunkan dari persamaan lagrange. Untuk itu, kita dapat menghitung luas bangun segi banyak yang terletak di ruang, dengan menggunakan perkalian silang antara dua vektor.

7 Visualisasi Cross Product b.Perkalian Silang (Cross Product) θ A B C = A x B θ B A C = B x A Catatan : Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ Hasilnya vektor

8 Sifat – sifat Cross Product

9 Rumus Umum v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol

10 Rumus Komponen Rumus Komponen Jika diketahui 2 buah vektor : a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka persilangan antar keduanya v = a x b, menghasilkan v = [v1,v2,v3] dimana: v x w = Shg: v1=a2.b3 - a3.b2 v2=a3.b1 – a1.b3v3 = a1b2 – a2.b1

11 Vektor i,j,k disebut vektor satuan standar Misal v sebarang vektor di R 3 berarti Misal v sebarang vektor di R 3 berarti v=(v 1,v 2,v 3 ) v=v 1 (1,0,0)+v 2 (0,1,0)+v 3 (0,0,1) v=v 1 i + v 2 j + v 3 k  uxv = j(0,1,0) i(1,0,0) k(0,0,1)

12 Hubungan Perkalian Titik dengan Perkalian Silang Jika u,v,w vektor di R 3 berlaku Jika u,v,w vektor di R 3 berlaku u.(vxw) = 0 jika u  (uxv) u.(vxw) = 0 jika u  (uxv) v.(uxv) = 0 jika v  (uxv) v.(uxv) = 0 jika v  (uxv) ||uxv|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u.v) 2 ||uxv|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u.v) 2 ux(vxw) = (u.w).v – (u.v).w ux(vxw) = (u.w).v – (u.v).w (uxv)xw = (u.w).v – (v.w).u (uxv)xw = (u.w).v – (v.w).u

13 Contoh soal Diketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1) dengan menggunakan koordinat tangan kanan, Diketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1) dengan menggunakan koordinat tangan kanan, hitunglah v = u x v !

14 = Jawab: u x v =

15 Parallelogram Jika u dan v vektor dengan titik asal sama maka ||uxv|| merupakan luas daerah parallelogram yang ditentukan oleh uxv. Jika u dan v vektor dengan titik asal sama maka ||uxv|| merupakan luas daerah parallelogram yang ditentukan oleh uxv. Luas jajaran genjang PQRS Luas jajaran genjang PQRS = alasxtinggi = ||u|| ||v|| sinθ = ||uxv|| Luas segitiga PQS = ½ luas jajaran genjang = ½ ||uxv|| Luas segitiga PQS = ½ luas jajaran genjang = ½ ||uxv|| θ u  ||u|| v  ||v|| ||v||sinθ P Q R S parallelogram

16 Harga mutlak dari determinan adalah Harga mutlak dari determinan adalah sama dengan luas parallelogram di R 2 yang ditentukan oleh vektor u=(u 1 u 2 ) dan v=(v 1,v 2 ) Harga mutlak dari determinan Harga mutlak dari determinan adalah sama dengan volume parallelogram di R 3 yang ditentukan oleh vektor u=(u 1,u 2,u 3 ), v=(v 1,v 2 ), dan w=(w 1,w 2,w 3 )

17 Contoh soal 2: Contoh soal 2: Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (2,0,3 ). Hitung luas segitiga tersebut. Jawab : Misal u dan v berturut-turut merupakan vektor posisi dari ruas garis AB dan AC.

18 Vektor Ortogonal Misal u,v vektor di R 2 /R 3 /R n, maka u dikatakan tegak lurus v atau u disebut vektor ortogonal, jika u.v=0 Misal u,v vektor di R 2 /R 3 /R n, maka u dikatakan tegak lurus v atau u disebut vektor ortogonal, jika u.v=0

19 Proyeksi Ortogonal Diberikan vektor a  0 dan vektor u  0 Diberikan vektor a  0 dan vektor u  0 w 1 +w 2 = u w 1 = u-w 2 w 1 = u-w 2 Vektor w 1 disebut proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a (w 1 =Proj a u) Vektor w 1 disebut proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a (w 1 =Proj a u) Vektor w 2 disebut komponen vektor u yang tegak lurus vektor a (w 2 =u-Proj a u) Vektor w 2 disebut komponen vektor u yang tegak lurus vektor a (w 2 =u-Proj a u) u w2w2 w1w1 a

20 Jika a vektor di R 2 /R 3 dan a  0 maka Jika a vektor di R 2 /R 3 dan a  0 maka w 1 = Proj a u = w 2 = u-Proj a u =

21 Ex: Ex: u=(2,-1,3) dan a=(4,-1,2) Tentukan Proj a u dan ||Proj a u|| ! Penyelesaian: u.a = (2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2) = 15 ||a|| 2 = = 21 w 1 = Proj a u = 15/21.(4,-1,2) = ||w 1 || =

22 SCALAR TRIPLE PRODUCT

23 Scalar Triple Product

24 Sifat Hasil Kali Triple Scalar

25 Latihan (1) 1. Diketahui a = (2,1,-3), b = (3,1,1), c = (0,2,-2). Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) : a. a x (b - 2 c) c. a x b x c b. a·b x c 2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bila a. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4) b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1). 3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya. a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 ) b. A ( 0,4,-3 ), B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )

26 Summary Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah tangan kanan Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah tangan kanan

27 Selamat Mengerjakan


Download ppt "Vektor III Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan) Erna Sri Hartatik."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google