Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA."— Transcript presentasi:

1 VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

2 CROSS PRODUCT

3 DEFINISI CROSS PRODUCT Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut  antara keduanya. Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan w membentuk sebuah sistem tangan kanan

4 Hasil Cross pada Vektor basis i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j j x i = - k k x j = -i i x k = -j i k j

5 DEFINISI CROSS PRODUCT Jika u=(u 1,u 2,u 3 ) dan v =(v 1,v 2,v 3 ) adalah vektor diruang 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh : u x v = (u 1 i + u 2 j + u 3 k) x (v 1 i + v 2 j + v 3 k) = u 1 i x (v 1 i + v 2 j + v 3 k) + u 2 j x (v 1 i + v 2 j + v 3 k) + u 3 z x (v 1 i + v 2 j + v 3 k) = ( u 2 v 3 - u 3 v 2 )i + (u 3 v 1 - u 1 v 3 )j + ( u 1 v 2 - u 2 v 1 )k

6 Atau dalam notasi determinan :

7 Jika u dan v adalah vektor di ruang 3, maka : u. (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u) v. (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v) u x v = - ( v x u ) u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v) u x u = 0

8 Contoh Soal Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)

9 HASIL KALI VEKTOR DARI VEKTOR TRIPEL Pernyataan ( a x b ) x c dan a x ( b x c ) dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor tripel. Tanda kurung sangat mempengaruhi : ( i x i ) x j = 0 i x ( i x j ) = i x k = - j

10 Latihan Diketahui segitiga ABC Buktikan ab c    AB C

11

12 DIFERENSIAL, GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

13 TURUNAN BIASA VEKTOR Misalkan R (u) merupakan sebuah vektor yang bergantung pada sebuah variabel u, maka : Dimana R menunjukkan suatu pertambahan dalam variabel u

14 Turunan biasa dari vektor R(u) terhadap variabel u diberikan oleh : Turunan untuk orde lebih tinggi dari turunan diatas dinyatakan oleh :

15 Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yang menghubungkan titik asal O dari suatu sistem koordinat dan sebarang titik (x,y,z), maka : Fungsi vektor r(u) mendefinisikan x,y,z sebagai fungsi-fungsi dari u Bila u berubah, titik terminal r menggambarkan sebuah kurva ruang yang memiliki persamaan-persamaan parameter :

16 Maka limitnya akan berupa sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z) yang dinyatakan oleh :

17

18 Vektor Variable Waktu Jika u adalah waktu (t), maka menyatakan kecepatan v sepanjang kurva, Turunan dari kecepatan terhadap waktu (t) menyatakan percepatan (a) sepanjang kurva

19 RUMUS DIFERENSIASI

20 CONTOH 1 Sebuah partikel bergerak pada lengkung C, yang mempunyai persamaan parameter : x =e -t, y = 2 cos 3t dan z = 2 sin 3 t dengan t adalah waktu. Tentukan kecepatan dan percepatan setiap waktu Hitung besarnya kecepatan dan percepatan pada waktu t = 0

21 JAWAB Vektor posisi r dari partikel ditulis : r = x i + y j + z k r = e -t i + 2 cos 3t j + 2 sin 3t k Kecepatan = - e -t i - 6 sin 3t j + 6 cos 3t k Percepatan = e -t i - 18 cos 3t j - 18 sin 3t k Untuk t = 0 maka v = -i + 6k a = i – 18 j

22 CONTOH 2 Sebuah partikel bergerak pada lengkung x=2t 2, y=t 2 -4t, z=3t-5 dengan t waktu. Tentukanlah komponen dari kecepatan dan percepatan untuk t=1 dalam arah i – 3j +2k

23 Jawab

24

25 GRADIEN Misalkan f=f(x,y,z) terdefinisikan dan diferensiable pada tiap-tiap titik (x,y,z) didalam suatu daerah tertentu, maka gradien f (grad f) didefinisikan oleh :  f Mendefinisikan sebuah medan vektor Komponen dari  f dalam arah sebuah vektor-satuan a diberikan oleh  f.a dan disebut turunan arah dari f pada arah a.

26 Untuk permukaan  (x,y,z)=C, maka   merupakan vektor tegak lurus permukaan  (x,y,z)=C Contoh : Tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada permukaan x 2 y + 2 xz = 4 di titik (2,-2,3)

27 Jawab Vektor n yang tegak lurus pada permukaan  (x,y,z)= x 2 y + 2 xz = 4 ditentukan oleh :

28 DIVERGENSI Misalkan V(x,y,z)=V x i+V y j+V z k terdefinisikan dan diferensiable didalam suatu daerah tertentu dari ruang, maka divergensi dari V ( .V) didefinisikan oleh :

29 CURL Misalkan V(x,y,z)=V x i+V y j+V z k terdefinisikan dan diferensiable didalam suatu daerah tertentu dari ruang, maka curl atau rotasi dari V didefinisikan oleh :

30 Contoh Jika A=x 2 y I -2xz j + 2yz k, hitunglah curl A dan div A Curl A =  x A

31 Div A =   A

32

33 Operatorgraddivcurl is a vectora scalara vector concerns a scalar field a vector field Definition

34 SOAL (PR) Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0 (Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A terhadap bidang 0BC

35 Jika dan Tentukan : Jika dan Tentukan : pada titik (2,-1,1)

36 Suatu vektor V dikatakan irrasional jika curl V = 0. Tentukan nilai a,b,c, pada sehingga vektor V dikatakan irrasional Jika dan, tentukan :

37


Download ppt "VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google