Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1 Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM EL 2028 Medan Elektromagnetik.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1 Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM EL 2028 Medan Elektromagnetik."— Transcript presentasi:

1

2 1 Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM EL 2028 Medan Elektromagnetik

3 Dasar-dasar Vektor 2 Konvensi: Vektor ditulis dengan anak panah diatas atau cetak tebal Vektor biasanya fungsi dari koordinat spasial Konvensi: vektor satuan dilambangkan dengan topi diatasnya magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z) ke arah sumbu-y

4 Penjumlahan vektor 3 Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)

5 Vektor posisi dan vektor jarak 4 Vektor R 12 adalah vektor dari P 1 ke P 2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d:

6 Vektor posisi dan vektor jarak 5 Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1) Vektor posisi OP = r P = a x + 2a y + 3 a z Vektor posisi OQ = r Q = 2a x - 2a y + a z Vektor jarak R PQ = r Q - r P = a x - 4a y - 2 a z

7 Perkalian titik (perkalian skalar) 6 Selalu menghasilkan bilangan skalar A cos(  AB ) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: A·A=|A| 2 =A 2

8 Perkalian titik (perkalian skalar) 7

9 Perkalian silang (perkalian vektor) 8 Aturan sekrup putar bisa dipakai: Pemutaran A ke B menggerakkan sekrup ke arah vektor hasil Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal. !!!!PENTING!!!

10 Perkalian silang (ljt) 9 Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.

11 Triple Products 10 Hasil operasi lain yang penting: Scalar triple product Vector triple product (aturan bac-cab) Menghasilkan skalar Menghasilkan vektor

12 11 VECTOR REPRESENTATION 3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: RECTANGULAR CYLINDRICAL SPHERICAL Choice is based on symmetry of problem Examples: Sheets - RECTANGULAR Wires/Cables - CYLINDRICAL Spheres - SPHERICAL

13 Sistem Koord. Kartesian 12 x y z (x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d !

14 Sistem Koord. Kartesian 13

15 Sistem Koord. Tabung atau Silindris 14 z y x   ( , , z) Perhatikan kuantitas diferensial: dV, dS and d !

16 Sistem Koord. Tabung atau Silindris 15

17 Sistem Koordinat Bola 16 z y x r   (r, ,  nb : harga  adalah 0 sampai  , bukan 0 sampai 2  Lihat lagi kuantitas diferensial: dV, dS and d !

18 Sistem Koordinat Bola 17

19 Transformasi Koordinat 18 Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola : Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan

20 Soal Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3) Cari : Vektor dari A ke C Vektor satuan dari B ke A Jarak dari B ke C -a x +8a y -4a z 0,762a x -0,127a y -0,635a z 12,45

21 Soal Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x 2 y a x – (7x+2z) a y + (4xy+2z 2 ) a z Cari : Besar medan di P(2,-3,4) Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P Titik mana pd sumbu z, besar W mrpk vektor satuan 53,4 -0,899ax-0,412ay+0,150az +- 0,455

22 Soal Diketahui F = 2a x -5a y -4a z ; G = 3a x +5a y +2a z Cari : F.G Sudut antara F dan G Panjang proyeksi F pada G Proyeksi vektor F pada G -27,0 130,8 o -4,38 -2,13a x -3,55a y -1,42a z

23 Soal Diketahui F = -45a x +70a y +25a z ; G = 4a x -3a y +2a z Cari : F x G a x (a y x F) (a y x a x ) x F Vektor satuan yang tegak lurus F pada G 215ax+190ay-145az -45ay -70ax-45ay +- (0,669a x +0,591a y -0,451a z )

24 Soal Diketahui P( ρ =6, φ =125 0, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4) Cari : Jarak dari P ke titik asal Q tegak lurus pada sumbu z P ke Q 6,71 3,16 11,20

25 Soal2 6. a. Nyatakan T=240+z 2 -2xy dalam koordinat tabung b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya z 2 –ρ 2 sin 2φ 8,66

26 Soal2 7.a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)a y dalam koordinat tabung b. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= ρ cos φ a ρ 25 =ρ(cos φ- sin φ)(sin φ a ρ +cos φ a φ

27 Operator Del =  26

28 Grad, Div dan Curl 27

29 Gradien dari medan skalar 28 Jika  (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad  atau  Adalah vektor menurut aturan berikut: dibaca “del phi” Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu- kaan yang digambarkan oleh  (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu. Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor.

30 Contoh gradien 29 Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah turunan berarah

31 Rapat fluks 30 Operator divergensi dinyatakan sbg  dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor ! Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor). Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya). medan seragam medan tak seragam

32 Divergensi 31 Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya: Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.

33 Contoh divergensi 32 Di titik (2,-2,0) Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.

34 Curl (Rotasi=Pusaran) 33 Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya. Medan B seragam, curl-nya nol. medan tak-seragam, Curl-nya tidak nol.

35 Perhitungan curl 34

36 Operator penting lainnya 35 Dua rumus ini sangat bermanfaat pd pembaha- san mendatang. Operator Laplacian

37 36 Operator Laplacian (1) Ingat: Sekarang Untuk praktisnya ditulis: baca “del kuadrat”

38 Laplacian (2) 37 Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor Jika Maka, Dapat juga ditunjukkan bahwa: “curl curl dari E”

39 Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl 38

40 Teorema integral 39 Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan. Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan menjadi integral garis. permukaan atau lintasan tertutup

41 Integral garis/permukaan 40 Contoh: teorema Stoke Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan. Hitung integral ini sepanjang garis-batas dari segmen.

42 Permasalahan nilai batas 41 Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas. Secara umum ada tiga jenis syarat batas: Syarat batas jenis Dirichlet Syarat batas jenis Neumann Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)

43 Syarat batas jenis Dirichlet 42 S Daerah S dibatasi oleh kurva. Misalkan kita ingin menentukan suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada. Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet.

44 Syarat batas jenis Neumann 43 Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada. S Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.

45 Contoh (1) batas bidang (planar) 44 HiHi EiEi ErEr HrHr x rr ii tt HtHt EtEt 2222 1111 Kita perlu pernyataan mengenai medan normal dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus- kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang lainnya (y<0). y incident reflected transmitted

46 Contoh (2): bumbung gelombang 45 X Y a b ,  Perlu E z =0 pada semua dinding  syarat batas Dirichlet perlu pada dinding.  syarat batas Neumann

47 46 Syarat batas dalam EM E t1 n 111111 222222 E t2 E tangensial kontinyu n 111111 222222 H t2 H t1 n × (H 1 -H 2 )=J s n 111111 222222 B n1 B n2 B normal kontinyu n 111111 222222 D 2n D 1n n·(D 1 -D 2 )=  s Ekivalen

48 Lihat contoh berikut 47 E t1 n 111111 222222 E t2 E tangensial kontinyu Hal ini menyatakan bahwa medan (listrik) tangensial dalam daerah-1 adalah sama dengan medan (listrik) tangensial pada daerah-2. Ini tdk menyatakan apapun mengenai kompenen lain dr E. Jika kita punya: Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!

49 Dan satu contoh lagi 48 n 111111 222222 H t2 H t1 n × (H 1 -H 2 ) = J s Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus. Hal ini umum terjadi. Jika medium kedua konduktif sempurna, σ 2 →∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi: Ini berarti bahwa komponen tangensial dari medan H adalah arus permukaan. “permukaan”

50 Contoh: 49 z 00 dd E i atau E r EtEt Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa (pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu.


Download ppt "1 Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM EL 2028 Medan Elektromagnetik."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google