Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II."— Transcript presentasi:

1 Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II

2 Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y

3 Koordinat Kartesius y x

4 Sistem Koordinat 3 Dimensi Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus

5 Koordinat Kartesius x y z

6 Koordinat Polar Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

7 Koordinat Polar O (titik kutub) Sumbu Polar Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

8 Titik P dengan koordinat polar (r,  ) berarti berada diposisi: -  derajat dari sumbu-x (sb. polar) (  diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial  : koordinat sudut

9 Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r,  ) = (- r,  + n  ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n  ), untuk n bil. Bulat genap Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2,  /3), (-2, 4  /3), (2, 7  /3), (-2, -2  /3).

10 Koordinat Polar r 

11 Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos , y = r sin  Maka r 2 = x 2 + y 2, tan  = y/x, jika x  0 Catt. menentukan  Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -  /2 <  <  /2   = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

12 Koordinat Polar Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a : r = a Contoh: Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0, a ): r = 2 a sin  - berpusat di ( a,0): r = 2 a cos 

13 Koordinat Polar Jika a=1, maka r = 2 sin  r = 2 cos 

14 Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r 2 = 2r sin  x 2 + y 2 = 2y x 2 + y 2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x 2 + (y -1) 2 = 1

15 Titik 3D dalam koordinat tabung  r Koordinat Polar dalam bidang datar

16 Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,  ).  r

17  r Titik 3D dalam koordinat tabung  r (r,,z)(r,,z)

18 Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius  r  r (r, ,z)

19 Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola (x,y,z)(x,y,z) 

20 Titik-titik 3D dalam koordinat bola

21

22

23

24 Sudut .

25 Suatu titik dalam koordinat bola ( , ,  ) 

26 Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius  (x,y,z)(x,y,z) z  r

27  (x,y,z)(x,y,z) z  r

28  (x,y,z)(x,y,z) z  r

29 Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Integral

30 Integral: Koordinat Kartesius Riemann Sum dalam triple integral sbb: Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang., lebar, dan tinggi

31 Integral: Koordinat Tabung Bagaimana dengan ukuran-ukuran dalam koordinat tabung r,  and z ? Dengan menganggap kasus 2D dalam koordinat polar  r  r

32 Integral: Koordinat Tabung Dengan ekspansi jari- jari ukuran kecil r r+  r r

33 Integral: Koordinat Tabung r+  r r Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+  r. r r+  r

34 Integral: Koordinat Tabung Sudut  Ada penambahan sudut sebesar .   

35 Integral: Koordinat Tabung  Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut 

36 Integral: Koordinat Tabung Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari  r dan sudut 

37 Integral: Koordinat Tabung Dengan penambahan  z.

38 Integral dalam Koordinat Tabung Untuk mencari volume benda padat

39 Integral dalam Koordinat Tabung Maka...

40 Soal 1. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).

41 Soal 2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

42 Soal 3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat tabung & gambarkan

43 Soal 4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a. b. c. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

44 Soal 5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat bola& gambarkan


Download ppt "Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google