Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Dua.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Dua."— Transcript presentasi:

1 Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Dua

2 4/15/2015KALKULUS LANJUT2 Integral Lipat Dua Z=f(x,y) x y z b a R cd xkxk ykyk 1.Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian. 2.Pilih pada setiap sub interval pada [x i, x i-1 ] dan [y i, y i-1 ] 3.Bentuk jumlah Riemann. 4.Jika n   (|P|  0) diperoleh limit jumlah Riemann. Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a  x  b, c  y  d}

3 4/15/2015KALKULUS LANJUT3 Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh : atau

4 4/15/2015KALKULUS LANJUT4 Arti Geometri Integral Lipat Dua Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y)  0 pada persegpanjang R, maka menyatakan volume benda padat yang terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan di atas R.

5 4/15/2015KALKULUS LANJUT5 Menghitung Integral Lipat Dua Jika f(x,y)  0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ y x z z= f(x,y) c a b d ab z x A(y)

6 4/15/2015KALKULUS LANJUT6 Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka

7 4/15/2015KALKULUS LANJUT7 Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan) (ii) Sejajar bidang YOZ y x z z= f(x,y) c a b d cd z y A(x)

8 4/15/2015KALKULUS LANJUT8 Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka

9 4/15/2015KALKULUS LANJUT9 Contoh 1. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x,y) | 0  x  6, 0  y  4} Jawab: R 6 4 y x

10 4/15/2015KALKULUS LANJUT10 Contoh Atau,

11 4/15/2015KALKULUS LANJUT11 Contoh 2. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x,y) | 0  x /2, 0  y  /2} R /2 y x Jawab:

12 4/15/2015KALKULUS LANJUT12 Latihan 1. Hitung 2.untuk fungsi a. f(x,y)= (x + 2y) 2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2] b. f(x,y)= x 2 + y 2 dengan R = [0, 1] x [0, 1] c. f(x,y)= y 3 cos 2 x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]

13 4/15/2015KALKULUS LANJUT13 Sifat Integral Lipat Dua Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R Jika R = R 1 + R 2, maka 4. Jika f(x,y)  g(x,y), maka

14 4/15/2015KALKULUS LANJUT14 Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang Ada dua tipe  Tipe I D = {(x,y) | a  x  b, p(x)  y  q(x) }  Tipe II D = {(x,y) | r(y)  x  s(y), c  y  d }

15 4/15/2015KALKULUS LANJUT15 Tipe I Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : D={(x,y)| axb, p(x)yq(x)} x y

16 4/15/2015KALKULUS LANJUT16 Tipe II Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : D={(x,y)|r(y)xs(y), cyd} x y D c d r (y) s (y) x

17 4/15/2015KALKULUS LANJUT17 Aturan Integrasi  Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).  Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya. daerah integrasi  Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

18 4/15/2015KALKULUS LANJUT18 Contoh 1. Hitung,R dibatasi x= y 2, y =1, sumbu y x R x y x = y R = {(x,y)| 0  x  y 2, 0  y  1}

19 4/15/2015KALKULUS LANJUT19 Contoh Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu: R R = {(x,y)| 0  x  1,  x  y  1} y x y x = y 2 1 1

20 4/15/2015KALKULUS LANJUT20 Contoh Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0  x  4, x/2  y  2} Jawab: x R x y y = x/2 4 2 y Diubah urutan pengintegralannya, yaitu: R = {(x,y)| 0 x 2y, 0  y  2} Sehingga x=2y

21 4/15/2015KALKULUS LANJUT21 Latihan

22 4/15/2015KALKULUS LANJUT22 Integral lipat dalam koordinat kutub/polar Hitung, D={(x,y)|x 2 +y 2 4} Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan. Sistem Koordinat Kutub  r P(r,) x y =0 (sumbu kutub) Hubungan Kartesius – Kutub x = r cos  x 2 +y 2 =r 2 y = r sin   = tan -1 (y/x)

23 4/15/2015KALKULUS LANJUT23 Transformasi kartesius ke kutub Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D D={(r, )| a  r  b,     } Sumbu Kutub AkAk r=b r=a == == D AkAk r k-1 rkrk  Pandang satu partisi persegi panjang kutub A k Luas juring lingkaran dengan sudut pusat  adalah ½ r 2  A k = ½ r k 2  - ½ r k-1 2  = ½ (r k 2 - r k-1 2 )  = ½ (r k + r k-1 ) (r k - r k-1 ) = r r  Jika |P|  0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)

24 4/15/2015KALKULUS LANJUT24 Transformasi kartesius ke kutub Sehingga 1. Hitung, D={(x,y)|x 2 +y 2 4} Contoh: 2. Hitung, D adalah daerah di kuadran I di dalam lingkaran x 2 +y 2 =4 dan di luar x 2 +y 2 =1

25 4/15/2015KALKULUS LANJUT25 Contoh dengan D = {(x,y)| x 2 +y 2  4} D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r,)| 0  r  2, 0    2} Sehingga 2 2 x y D r  Jawab.

26 4/15/2015KALKULUS LANJUT26 Contoh dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x 2 +y 2 =4 di luar x 2 +y 2 =1 D = {(r,)| 1  r  2, 0    /2} Sehingga 2 1 x y D r 

27 4/15/2015KALKULUS LANJUT27 Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x 2 +y 2 dan di dalam tabung x 2 + y 2 = 9 dengan menggunakan koordinat kutub.

28 4/15/2015KALKULUS LANJUT28 D daerah sembarang/umum 1.D={(r, )|  1 ()  r   2 (),     } 2.D={(r, )| a  r  b,  1 (r)     2 (r)} Sumbu Kutub r= 2 () r= 1 () == == D Sumbu Kutub r=b r=a = 2 (r) = 1 (r) D

29 4/15/2015KALKULUS LANJUT29 Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar D={(r, )| 0  r  2 cos ,– /2    /2} Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1 D Jadi, (x – 1) 2 + y 2 = 1 x 2 – 2x y 2 = 1 x 2 + y 2 = 2x r 2 = 2r cos  r 2 – 2r cos  =0 r (r – 2 cos  )=0 r = 0 atau r = 2 cos  Untuk batas  (dari gambar)  =–  /2   =  /2 Sehingga,

30 4/15/2015KALKULUS LANJUT30 Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar D={(r, )| sec   r  2 cos ,0    /4} =/4 1 2 x y D x = 1  x = 2 y = 0  y = y 2 = 2x – x 2 x 2 + y 2 – 2x = 0 (x – 1) 2 + y 2 = 1 ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1 Sehingga koordinat polarnya adalah Untuk batas r dihitung mulai x = 1 r cos  = 1 r = sec  Untuk batas  (dari gambar)  =0   =  /4 hingga r = 2 cos 

31 4/15/2015KALKULUS LANJUT31 Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar D={(r, )| 0  r  2 sin ,0    } Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1 Jadi, x 2 + (y – 1) 2 = 1 x 2 + y 2 – 2y + 1 = 1 x 2 + y 2 = 2y r 2 = 2r sin  r 2 – 2r sin  =0 r (r – 2 sin  )=0 r = 0 atau r = 2 sin  Untuk batas  (dari gambar)  =0   =  Sehingga,

32 4/15/2015KALKULUS LANJUT32 Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 1 D={(r, )| 0  r  sec ,0    /4} x = 0  x = 1 y = 0  y = x Sehingga koordinat polarnya adalah Untuk batas r x = 1 r cos  = 1 r = sec  Untuk batas  (dari gambar)  =0   =  /4 D

33 4/15/2015KALKULUS LANJUT33 Contoh 1. Hitung Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x = 1  x = 2 y = 0  y = y 2 = 2x – x 2 x 2 + y 2 – 2x = 0 (x – 1) 2 + y 2 = 1 ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1 =/4 1 2 x y D Koordinat polarnya adalah D={(r, )| sec   r  2 cos ,0    /4}

34 4/15/2015KALKULUS LANJUT34 Contoh (Lanjutan) Sehingga,

35 4/15/2015KALKULUS LANJUT35 Latihan 1. Hitung, S daerah dalam lingkaran r = 4 cos dan di luar r = 2 2. Hitung 3. Hitung, D daerah kuadran I dari lingkaran x 2 +y 2 =1 antara y=0 dan y=x (dengan koordinat kutub)


Download ppt "Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Dua."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google