Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PENGGUNAAN INTEGRAL 1.Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2.Menghitung volume benda putar. 9 Luas daerah.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PENGGUNAAN INTEGRAL 1.Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2.Menghitung volume benda putar. 9 Luas daerah."— Transcript presentasi:

1

2 PENGGUNAAN INTEGRAL 1.Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2.Menghitung volume benda putar. 9 Luas daerah di bawah kurva Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y

3 = = 2(2) 3 – 2(2) 2 – [2(-1) 3 – 2(-1) 2 ] = 16 – = 12 Integral Tentu Luas Daerah Luas Daerah Hitunglah nilai dari Contoh 1 : Jawab Next Back Home Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Teorema Dasar Kalkulus

4 Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. y x 0 a b xx y a x 0 b Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral Tentukan limitnya n   Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Next Back Home

5 Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luas sebuah partisi L i  f(x i )  x i 4. Jumlahkan luas partisi L   f(x i )  x i 5. Ambil limitnya L = lim  f(x i )  x i 6. Nyatakan dalam integral x 0 y a xixi xixi LiLi Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Next Back Home

6 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu x, dan garis x = 3 Contoh 1. Langkah penyelesaian : 1.Gambarlah daerahnya 2.Partisi daerahnya 3.Aproksimasi luasnya L i  x i 2  x i 4. Jumlahkan luasnya L   x i 2  x i 5.Ambil limit jumlah luasnya L = lim  x i 2  x i 6.Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 3 LiLi xixi xixi Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Jawab Next Back Home

7 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu Y, dan garis y = 4 Contoh 2. Langkah penyelesaian : 1.Gambarlah daerahnya 2.Partisi daerahnya 3.Aproksimasi luasnya L  x i.  y 4. Jumlahkan luasnya L    y.  y 5.Ambil limit jumlah luasnya L = lim   y.  y 6.Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 4 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Jawab Next Back Home xixi

8 Langkah penyelesaian: 1.Gambar dan Partisi daerahnya 2.Aproksimasi : L i  (4x i - x i 2 )  x i dan A j  -(4x j - x j 2 )  x j 3. Jumlahkan : L   (4x i - x i 2 )  x i dan A   -(4x j - x j 2 )  x j 4. Ambil limitnya L = lim  (4x i - x i 2 )  x i dan A = lim  -(4x j - x j 2 )  x j 5. Nyatakan dalam integral y 0 x 64 xixi LiLi xixi xjxj AjAj xjxj Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x 2, sumbu x, dan garis x = 6 Contoh 3. Jawab Next Back Home

9 y 0 x 64 xixi LiLi xixi xjxj AjAj xjxj Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Next Back Home

10 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Next Back Home Kesimpulan : y 0 x y x 0 xixi xixi yy

11 LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian: 1.Partisi daerahnya 2.Aproksimasi : L i  [ f(x) – g(x) ]  x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ]  x 5. Ambil limitnya : L = lim  [ f(x) – g(x) ]  x 6.Nyatakan dalam integral tertentu y b a 0 x LiLi xx x Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Next Back Home

12 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2 dan garis y = 2 - x Contoh 4. Langkah penyelesaian: 1.Gambar daerahnya 2.Tentukan titik potong kedua kurva x 2 = 2 – x  x 2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 3.Partisi daerahnya 4.Aproksimasi luasnya L i  (2 - x - x 2 )  x 5.Nyatakan dalam integral tertentu 0 x y LiLi xx x Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Jawab Next Back Home

13 0 x y LiLi xx x Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Next Back Home

14 Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. y a b LiLi xx xx AiAi 0 x Luas daerah = Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Next Back Home

15 Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y 0 x Luas daerah = LiLi yy c d Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Next Back Home

16 Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y 2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Contoh 5. Langkah penyelesaian: 1.Gambar daerahnya 2.Tentukan titik potong kedua kurva y 2 = 6 – y  y 2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3.Partisi daerahnya 4.Aproksimasi luasnya L i  (6 - y - y 2 )  y 5.Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah = 2 y 6 x 0 6 LiLi yy y Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Jawab Next Back Home

17 Luas daerah = 2 y 6 x 0 6 LiLi yy y Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Home Back Next

18 Pendahuluan Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar. Volume Benda Putar

19 Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Gb. 4 Home Next Back

20 Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y 0 x y x 0 x y Next Back Home

21 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram. Next Back Home

22 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h =  x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai  V   r 2 h atau  V   f(x) 2  x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x) 2  x V = lim   f(x) 2  x xx h=  x x x y 0 x y x a Next Back Home

23 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 7. Langkah penyelesaian: 1.Gambarlah daerahnya 2.Buat sebuah partisi 3.Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4.Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. y 2 x xx 1 y h=  x x x x Jawab Next Back Home

24 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar y h=  x x x  V   r 2 h  V   (x 2 + 1) 2  x V    (x 2 + 1) 2  x V = lim   (x 2 + 1) 2  x Next Back Home

25 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 8. Langkah penyelesaian: 1.Gambarlah daerahnya 2.Buatlah sebuah partisi 3.Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4.Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 2 y yy x y x y h=yh=y y Jawab Next Back Home

26 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar  V   r 2 h  V   (  y) 2  y V    y  y V = lim   y  y x y h=yh=y y 2 Next Back Home

27 Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin. Next Back Home

28 Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V=  (R 2 – r 2 )h h r R Gb. 5 Next Back Home

29 Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 9. Langkah penyelesaian: 1.Gambarlah daerahnya 2.Buat sebuah partisi 3.Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4.Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 4 y y = 2x 2 x xx x x2x2 2x2x y x Jawab Next Back Home

30 Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar y x 4 y y = 2x 2 x xx x r=x 2 R=2x  V   (R 2 – r 2 ) h  V   [ (2x) 2 – (x 2 ) 2 ]  x  V   (4x 2 – x 4 )  x V    (4x 2 – x 4 )  x V = lim   (4x 2 – x 4 )  x Next Back Home

31 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. Next Back Home

32 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar rr r h h 2r2r ΔrΔr V = 2  rh Δ r Next Back Home

33 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2, garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 10. Langkah penyelesaian: 1.Gambarlah daerahnya 2.Buatlah sebuah partisi 3.Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4.Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 0 x 12 x xx x2x2 y Jawab Next Back Home

34 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar 0 x 12 x xx x2x2 y r = x xx h = x 2 0 x y  V  2  rh  x  V  2  (x)(x 2 )  x V   2  x 3  x V = lim  2  x 3  x Next Back Home

35 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. 0 x y  V   (R 2 – r 2 )  y  V   (4 - x 2 )  y V    (4 – y)  y V = lim   (4 – y)  y 0 x 12 x y yy r=x R = 2 Home Back Next

36 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali Latihan (6 soal) Home Next Back

37 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai X Y 2 4 Soal 1. A B C D E HomeBack Next

38 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai.... Soal 1. 0 X Y 2 4 A B C D E  L  (4 – x 2 )  x L   (4 – x 2 )  x L = lim  (4 – x 2 )  x ( Jawaban D ) Jawaban Anda Benar Home Next Back

39 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai.... Soal 1. A B C D E 0 X Y 2 4 xx x 4 - x 2  L  (4 – x 2 )  x L   (4 – x 2 )  x L = lim  (4 – x 2 )  x ( Jawaban D ) Jawaban Anda Salah Home Next Back

40 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas 0 X Y HomeBack Next

41 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas 0 X Y  L  (4 – x 2 )  x L   (4 – x 2 )  x L = lim  (4 – x 2 )  x ( Jawaban E ) Jawaban Anda Benar Home Next Back

42 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas 0 X Y 2 -2 xx x  L  (4 – x 2 )  x L   (4 – x 2 )  x L = lim  (4 – x 2 )  x ( Jawaban E ) Jawaban Anda Salah Home Next Back

43 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas 0 X Y HomeBack Next

44 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas  L  (8 – x 2 -2x)  x ( Jawaban D ) 0 X Y 2 Jawaban Anda Benar Home Next Back

45 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas 0 X Y 2  L  (8 – x 2 -2x)  x ( Jawaban D ) Jawaban Anda Salah Home Next Back

46 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. A B C D E Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas HomeBack Next

47 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. A B C D E Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas ( Jawaban B )  L  [(2 – y ) – y 2 ]  y 0 X Y -2 1 Jawaban Anda Benar Home Next Back

48 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral ( Jawaban B )  L  [(2 – y ) – y 2 ]  y Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. A B C D E Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas 0 X Y -2 1 Jawaban Anda Salah Home Next Back

49 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360 . Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah.... A B C D E Soal 5. 0 X Y 4 2 HomeBack Next

50 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360 . Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah.... A B C D E Soal 5. 0 X Y 4 2 ( Jawaban D )  V  2  x  x  x Jawaban Anda Benar Home Next Back

51 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral ( Jawaban D )  V  2  x  x  x Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360 . Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah.... A B C D E Soal 5. 0 X Y 4 2 x Jawaban Anda Salah Home Next Back

52 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah …. A B C D E Soal 6. 4  satuan volum 6  satuan volum 8  satuan volum 12  satuan volum 15  satuan volum 0 X Y 4 2 HomeBack Next

53 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah …. A B C D E Soal 6. 4  satuan volum 6  satuan volum 8  satuan volum 12  satuan volum 15  satuan volum 0 X Y 4 2 ( Jawaban C )  V   (  x) 2  x Jawaban Anda Benar HomeBack Next

54 Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral ( Jawaban C )  V   (  x) 2  x Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah …. A B C D E Soal 6. 4  satuan volum 6  satuan volum 8  satuan volum 12  satuan volum 15  satuan volum 0 X Y 4 2 x Jawaban Anda Salah HomeBack Next


Download ppt "PENGGUNAAN INTEGRAL 1.Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2.Menghitung volume benda putar. 9 Luas daerah."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google