Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

MA1114 KALKULUS I1 Aplikasi integral tentu 1.Menghitung luas daerah 2.Mengitung volume benda putar 3.Menghitung panjang kurva 4.Menentukan titik berat/pusat.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "MA1114 KALKULUS I1 Aplikasi integral tentu 1.Menghitung luas daerah 2.Mengitung volume benda putar 3.Menghitung panjang kurva 4.Menentukan titik berat/pusat."— Transcript presentasi:

1

2 MA1114 KALKULUS I1 Aplikasi integral tentu 1.Menghitung luas daerah 2.Mengitung volume benda putar 3.Menghitung panjang kurva 4.Menentukan titik berat/pusat massa

3 MA1114 KALKULUS I2 Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. y x 0 a b xx y a x 0 b Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral Tentukan limitnya n   Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

4 MA1114 KALKULUS I3 Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luas sebuah partisi L i  f(x i )  x i 4. Jumlahkan luas partisi L   f(x i )  x i 5. Ambil limitnya L = lim  f(x i )  x i 6. Nyatakan dalam integral x 0 y a xixi xixi LiLi Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

5 MA1114 KALKULUS I 4 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu x, dan garis x = 3 Contoh 1. Langkah penyelesaian : 1.Gambarlah daerahnya 2.Partisi daerahnya 3.Aproksimasi luasnya L i  x i 2  x i 4. Jumlahkan luasnya L   x i 2  x i 5.Ambil limit jumlah luasnya L = lim  x i 2  x i 6.Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 3 LiLi xixi xixi Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Jawab

6 MA1114 KALKULUS I5 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu Y, dan garis y = 4 Contoh 2. Langkah penyelesaian : 1.Gambarlah daerahnya 2.Partisi daerahnya 3.Aproksimasi luasnya L  x i.  y 4. Jumlahkan luasnya L    y.  y 5.Ambil limit jumlah luasnya L = lim   y.  y 6.Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y 0 x 4 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Jawab xixi

7 MA1114 KALKULUS I6 Langkah penyelesaian: 1.Gambar dan Partisi daerahnya 2.Aproksimasi : L i  (4x i - x i 2 )  x i dan A j  -(4x j - x j 2 )  x j 3. Jumlahkan : L   (4x i - x i 2 )  x i dan A   -(4x j - x j 2 )  x j 4. Ambil limitnya L = lim  (4x i - x i 2 )  x i dan A = lim  -(4x j - x j 2 )  x j 5. Nyatakan dalam integral y 0 x 64 xixi LiLi xixi xjxj AjAj xjxj Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x 2, sumbu x, dan garis x = 6 Contoh 3. Jawab

8 MA1114 KALKULUS I7 y 0 x 64 xixi LiLi xixi xjxj AjAj xjxj Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

9 MA1114 KALKULUS I8 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Kesimpulan : y 0 x y x 0 xixi xixi yy

10 MA1114 KALKULUS I9 LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian: 1.Partisi daerahnya 2.Aproksimasi : L i  [ f(x) – g(x) ]  x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ]  x 5. Ambil limitnya : L = lim  [ f(x) – g(x) ]  x 6.Nyatakan dalam integral tertentu y b a 0 x LiLi xx x Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

11 MA1114 KALKULUS I 10 Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2 dan garis y = 2 - x Contoh 4. Langkah penyelesaian: 1.Gambar daerahnya 2.Tentukan titik potong kedua kurva x 2 = 2 – x  x 2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 3.Partisi daerahnya 4.Aproksimasi luasnya L i  (2 - x - x 2 )  x 5.Nyatakan dalam integral tertentu 0 x y LiLi xx x Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Jawab

12 MA1114 KALKULUS I 11 0 x y LiLi xx x Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

13 MA1114 KALKULUS I12 Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. y a b LiLi xx xx AiAi 0 x Luas daerah = Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

14 MA1114 KALKULUS I13 Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y 0 x Luas daerah = LiLi yy c d Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

15 MA1114 KALKULUS I14 Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y 2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Contoh 5. Langkah penyelesaian: 1.Gambar daerahnya 2.Tentukan titik potong kedua kurva y 2 = 6 – y  y 2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3.Partisi daerahnya 4.Aproksimasi luasnya L i  (6 - y - y 2 )  y 5.Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah = 2 y 6 x 0 6 LiLi yy y Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Jawab

16 MA1114 KALKULUS I15 Luas daerah = 2 y 6 x 0 6 LiLi yy y Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

17 MA1114 KALKULUS I16 Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Gb. 4

18 MA1114 KALKULUS I17 Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y 0 x y x 0 x y

19 MA1114 KALKULUS I18 Metode Cakram Volume Benda Putar Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h =  x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai  V   r 2 h atau  V   f(x) 2  x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x) 2  x V = lim   f(x) 2  x xx h=  x x x y 0 x y x a

20 MA1114 KALKULUS I19 Metode Cakram Volume Benda Putar xx h=  x xx y 0 x y x a x h=yh=y y y yy x y

21 MA1114 KALKULUS I20 Metode Cakram Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 7. Langkah penyelesaian: 1.Gambarlah daerahnya 2.Buatlah sebuah partisi 3.Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4.Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. 2 y yy x y x y h=yh=y y Jawab

22 MA1114 KALKULUS I21 Metode Cakram Volume Benda Putar x y h=yh=y y 2 y = x 2

23 MA1114 KALKULUS I22 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 6. Langkah penyelesaian: 1.Gambarlah daerahnya 2.Buat sebuah partisi 3.Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4.Nyatakan dalam bentuk integral. y 2 x xx 1 y h=  x x x x Jawab

24 MA1114 KALKULUS I23 Metode Cakram Volume Benda Putar y h=  x x x

25 MA1114 KALKULUS I24 Metoda Cincin a. Daerah diputar terhadap sumbu x h(x) g(x) a b D Daerah D Benda putar ? Volume benda putar

26 MA1114 KALKULUS I25 h(x) g(x) a b D Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris, hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x). sehingga h(x) g(x)

27 MA1114 KALKULUS I26 Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh, sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1 2 y=-1 1 D Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar Sehingga Volume benda putar :

28 MA1114 KALKULUS I27 Catatan : -Metoda cakram/cincin Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap a.Garis y = 4 b. Garis x = 3

29 MA1114 KALKULUS I28 a. Sumbu putar y = 4 (i) Metoda cincin 2 D y=4 Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam = Jari-jari luar = 4 Sehingga Volume benda putar

30 MA1114 KALKULUS I29 b. Sumbu putar x=3 (i) Metoda cincin 2 D x=3Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam = 1 Jari-jari luar = 3 Sehingga Volume benda putar

31 MA1114 KALKULUS I30 D. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x y = sin x, y = cos x, x = 0, x =  /4 5.

32 MA1114 KALKULUS I31 E. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu y y = -x+1, y = x 2, dan x = 0 di kuadran 1 5.

33 MA1114 KALKULUS I32 Metoda Kulit Tabung Diketahui f(x) a b D Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar Daerah D Benda putar Volume benda putar ?

34 MA1114 KALKULUS I33 Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris, hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. f(x) a b D Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal x f(x) x sehingga

35 MA1114 KALKULUS I34 Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh, sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y 2 D x Jika irisan dengan tinggi,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi, tebal dan jari jari x Sehingga Volume benda putar

36 MA1114 KALKULUS I35 Catatan : -Metoda cakram/cincin Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap a.Garis y = 4 b. Garis x = 3

37 MA1114 KALKULUS I36 (ii) Metoda kulit tabung 2 D y=4 y Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan Jari-jari = r = Tinggi = h = Tebal = Sehingga Volume benda putar

38 MA1114 KALKULUS I37 (ii) Metoda kulit tabung 2 D x=3 x Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan Tinggi = h = Jari-jari = r = 3 3-x Tebal = Sehingga Volume benda putar

39 MA1114 KALKULUS I38 F. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x(4) sumbu y (2) garis x = -1(5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4 G. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x (3) sumbu y (2) garis x = 6 (4) garis y = -1

40 Panjang Kurva MA1114 KALKULUS I39 Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t) y = g(t) Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva. Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika (1) (i)dan kontinu pada [a,b] Kurva tidak berubah sekonyong-konyong (ii) dan tidak secara bersamaan nol pada (a,b)

41 MA1114 KALKULUS I40 Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva Langkah 1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian ab ●● ●● Partisi pada [a,b] Paritisi pada kurva ● ● ● ● ●

42 MA1114 KALKULUS I41 2. Hampiri panjang kurva panjang busur panjang tali busur Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat sehingga

43 MA1114 KALKULUS I42 dengan sehingga Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh

44 MA1114 KALKULUS I43 Ctt: Jika persamaan kurva y=f(x), Jika persamaan kurva x=g(y),

45 MA1114 KALKULUS I44 Contoh : Hitung panjang kurva 1. Panjang kurva

46 MA1114 KALKULUS I45 2. antara x =1/3 dan x=7 Jawab :

47 MA1114 KALKULUS I46 E. Hitung panjang kurva berikut


Download ppt "MA1114 KALKULUS I1 Aplikasi integral tentu 1.Menghitung luas daerah 2.Mengitung volume benda putar 3.Menghitung panjang kurva 4.Menentukan titik berat/pusat."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google