Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Bab 8 Turunan 14 December 2014. Turunan mempelajari Kasus Maksimum dan Minimum Penyelesaian Limit Tak Tentu Kecepatan dan Percepatan Persamaan Garis Singgung.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Bab 8 Turunan 14 December 2014. Turunan mempelajari Kasus Maksimum dan Minimum Penyelesaian Limit Tak Tentu Kecepatan dan Percepatan Persamaan Garis Singgung."— Transcript presentasi:

1 Bab 8 Turunan 14 December 2014

2 Turunan mempelajari Kasus Maksimum dan Minimum Penyelesaian Limit Tak Tentu Kecepatan dan Percepatan Persamaan Garis Singgung Aturan Rantai Rumus Dasar Turunan AplikasiGrafik Fungsi Fungsi Naik, Turun, dan Stasioner Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma Turunan Fungsi Aljabar 14 December 2014 Turunan Fungsi Trigonometri

3 1. Tentukan gradien dari garis f(x) = x 2 + 2x di titik (a, b). 2. Diketahui f’(x) = 2x + 2. Tentukan. 3. Samakan hasil 1 dan 2? Apa sebenarnya hubungan antara soal 1 dan 2? 14 December 2014

4 1. Pengertian Turunan Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut. Bentuk limit sudah disinggung di Bab 7. Coba diingat lagi! 14 December 2014

5 Contoh: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x Jawab: 14 December 2014

6 2. Turunan Ditinjau Dari Sudut Pandang Geometri Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Secara geometri turunan fungsi diartikan sebagai gradien (kemiringan). Gradien garis singgung di titik P(a, b) yang terletak pada fungsi y = f(x) adalah sebagai berikut. m = f’(a) = Secara geometris, ilustrasinya dapat dilihat pada gambar berikut. 14 December 2014

7

8 Contoh: Tentukan gradien garis singgung kurva yang memiliki persamaan untuk x ≠ 0 di x = 2. Jawab: Gradien garis singgung kurva y = f(x) untuk x = 2 adalah m = f'(2) = –1. Dengan kata lain, laju perubahan fungsi f(x) di x = 2 adalah –1. 14 December 2014

9 Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x) turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan Jika f(x) = c maka turunannya adalah f'(x) = 0. Jika f(x) = x n maka turunannya adalah f'(x) = nx n – 1. Jika f(x) = ax n maka turunannya adalah f'(x) = anx n – December 2014

10 Contoh: Tentukan turunan dari f(x) = 6x 4. Jawab: f(x) = 6x 4 Mengacu rumus di atas, diperoleh nilai a = 6 n = 4 Jadi, f'(x)= 6(4x 4 – 1 ) = 24x 3 14 December 2014

11 1. Turunan Fungsi Sinus 2. Turunan Fungsi Kosinus Dengan menggunakan rumus akan diperoleh 14 December 2014 Jika f(x) = sin x, maka turunannya adalah f'(x) = cos x Jika f(x) = cos x, maka turunannya adalah f'(x) = –sin x. a. Jika f(x) = a sin x maka f'(x) = a cos x. b. Jika f(x) = a cos x maka f'(x) = –a sin x. c. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec 2 x. d. Jika f(x) = csc x maka f'(x) = –csc x cot x. e. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x. f. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –csc 2 x.

12 a. f(x) = c u(x), turunannya f'(x) = c u'(x). b. f(x) = u(x) ± v(x), turunannya f'(x) = u'(x) ± v'(x). c. f(x) = u(x) v(x), turunannya f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x). d.f(x) =, v(x) ≠ 0, turunannya e. f(x) = u(x) n, turunannya f'(x) = n(u(x)) n – 1 u'(x). 14 December 2014

13 Contoh: Tentukan f'(x) jika diketahui f(x) = (7x 2 – 5) 8. Jawab: f(x) = {u(x)} 8 u(x) = 7x 2 – 5 Dengan demikian, u'(x) = 14x. f'(x) = 8(7x 2 – 5) 8 – 1 (14x) = 112(7x 2 – 5) 7 Jadi, f'(x) = 112(7x 2 – 5) December 2014

14 Misal terdapat fungsi y = f(u(x)), turunan fungsinya ditentukan dengan rumus Misalkan terdapat fungsi y = f(u(v(x))), turunan fungsinya dapat ditentukan dengan 14 December 2014

15 Contoh 1: Tentukan turunan fungsi y = (3x – 2) 2. Jawab: Misalkan u = 3x – 2. Dengan demikian, y = u 2  u = 3x – 2 = Jadi, = 2u × 3 = 2(3x – 2)(3) =18x – December 2014

16 Contoh 2: Tentukan turunan fungsi y = cos (sin (2x – 1 )). Jawab: Misalkan u = 2x – 1 v = sin u y = cos v 14 December 2014

17 1. Turunan Fungsi Eksponen (y = e x ) Secara umum, dapat ditentukan turunan fungsi y = e ax + b Jika y = e x maka y' = e x. Jika y = e ax + b maka y' = ae ax + b 14 December 2014

18 Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut. a. y = e 5x b. y = e –x + 3 Jawab: a. y = e 5x maka y' = 5e 5x b. y = e –x + 3 maka y' = –e –x December 2014

19 Secara umum, dapat ditentukan turunan y = ln u, dengan u = f(x), adalah sebagai berikut. ln x = y  x = e y Jika y = ln x maka Jika y = ln u, dengan u = f(x) maka 14 December 2014

20 Perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut. a. y = 2 ln x maka b. y = ln (kx + c) Misalkan u = kx + c. Oleh karena itu, u' = k sehingga c. y = ln (6x 5 – 3x 2 + 2x) u = 6x 5 – 3x 2 + 2x. Oleh karena itu, u' = 30x 4 – 6x + 2 sehingga 14 December 2014

21 1.Pengertian Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner Grafik fungsi f(x) naik pada interval a < x < b dan interval d < x < e. Grafik fungsi turun pada interval b < x < c. Grafik fungsi tidak naik dan tidak turun (stasioner) pada interval c < x < d. 14 December 2014 Y 0 X a b C d e f(x)f(x)

22 Cara menentukan interval suatu fungsi naik atau turun. Misalkan diberikan fungsi y = f(x). a.Grafik f(x) naik jika f'(x) > 0. b.Grafik f(x) turun jika f'(x) < 0. c.Grafik f(x) stasioner (tidak naik dan tidak turun) jika f'(x) = December 2014

23 Contoh: Tentukan interval yang menyebabkan fungsi f(x) = x 2 + 2x + 1 naik atau turun, serta titik stasionernya. Jawab: f(x) = x 2 + 2x + 1  f'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1). Fungsi naik jika f'(x) > 0  2(x + 1) > 0  x > –1. Fungsi turun jika f'(x) < 0  2(x + 1) < 0  x < –1. Fungsi stasioner jika f'(x) = 0  2(x + 1) = 0  x = –1 sehingga f(–1) = 0. Jadi, titik stasionernya (–1, 0). Secara geometris, dapat dilihat pada grafik f(x) = x 2 + 2x + 1 berikut. 14 December 2014

24 Grafik f(x) = x 2 + 2x + 1

25 a X Turun Naik a X Turun Naik a X (a)(b) (c) a X Turun (d) 14 December 2014

26 Misalkan x = a adalah stasioner.  Jika pada x a, f(x) naik maka x = a adalah titik balik minimum. (Gambar (a))  Jika pada x a, f(x) turun maka x = a adalah titik balik maksimum. (Gambar (b))  Jika pada x a, f(x) juga naik maka x = a adalah titik belok. (Gambar (c))  Jika pada x a, f(x) juga turun maka x = a adalah titik belok. (Gambar (d)) 14 December 2014

27 Contoh: Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = x 2 – 3x + 2 dan jenisnya. Jawab: f(x) = x 2 – 3x + 2  f'(x) = 2x – 3. Nilai stasioner dicapai jika f'(x) = 0, yaitu di titik. Untuk fungsinya turun. Untuk maka fungsinya naik. Dengan demikian, nilai stasioner pada yaitu adalah titik balik minimum, tepatnya adalah titik 14 December 2014

28 Secara geometris dapat dilihat pada grafik berikut.

29 Dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x), langkah- langkah yang perlu kalian perhatikan adalah sebagai berikut. 1. Menentukan titik potong fungsi f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). 2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan jenisnya. 3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk memperhalus grafik. 14 December 2014

30 Contoh: Sketsalah grafik fungsi f(x) = 2x 3 – x 4. Jawab: Langkah 1: f(x) = 2x 3 – x 4 = x 3 (2 – x) = 0 x = 0 atau x = 2  (0, 0) dan (2, 0). Titik potong dengan sumbu Y, x = 0 sehingga f(0) = 0  (0, 0) Langkah 2: f(x) = 2x 3 – x 4  f'(x) = 6x 2 – 4x 3 = 2x 2 (3 – 2x) = 0 x = 0 atau 14 December 2014

31 a)Untuk x = 0 Untuk x 0  fungsi f(x) naik. Untuk x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok Untuk maka f'(x) > 0  f(x) naik. Jadi x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok. b) Untuk Untuk maka f'(x) > 0  f(x) naik. Untuk maka f'(x) < 0  f(x) turun. Jadi titik balik maksimum 14 December 2014

32 Grafiknya adalah seperti gambar berikut. Arah gradiennya seperti ditunjukkan gambar berikut.

33 1.Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva  Persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah y – b = m(x – a).  Karena gradien garis singgung f(x) di titik (a, b) adalah y' = f '(a), persamaannya dapat dirumuskan dengan y – b = f'(a)(x – a) 14 December 2014

34 Contoh: Tentukan persamaan garis singgung fungsi f(x) = x 2 di titik (2, 4). Jawab: f(x) = x 2 f'(x) = 2x. f'(2) = 2(2) = 4. Oleh karena itu, persamaan garis singgungnya adalah y – 4 = 4(x – 2)  y = 4x – 4 14 December 2014

35 2. Perhitungan Kecepatan dan Percepatan Kecepatan rata-rata = v(t) =  s = perubahan jarak;  t = perubahan waktu. Jika Δt → 0, kecepatan v(t) dirumuskan dengan v(t) = atau v(t) = Misalkan percepatan pada saat t dinotasikan dengan a(t). a(t) = 14 December 2014

36 Contoh: Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak yang ditempuh benda tersebut dalam waktu t detik adalah meter. Tentukan kecepatan benda pada waktu t = 2 detik. Jawab: Kecepatan benda saat t = 2 detik adalah sebagai berikut. v(t) = = 2t 2 – 9t + 10 v(2) = 2(2) 2 – 9(2) + 10 Hal ini berarti pada saat t = 2 detik, benda berhenti sesaat karena pada waktu itu kecepatannya nol. 14 December 2014

37 3.Menentukan Limit Tak Tentu Salah satu manfaat turunan adalah menentukan nilai limit fungsi jika limit tersebut memiliki bentuk tak tentu. Aplikasi ini sering disebut dengan dalil L’Hopital. Jika f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) = g(a) = 0, sedangkan f'(a) dan g'(a) tidak nol, berlaku rumus berikut. 14 December 2014

38 Contoh: Tentukan nilai. Jawab: f(x) = x – 2 g(x) = x 2 – 4 Kita cek, f(2) = 0 dan g(2) = 0. Akibatnya,. Kita gunakan dalil L’Hopital: Diperoleh f'(x) = 1 dan g'(x) = 2x. Jadi,. 14 December 2014

39 4. Menyelesaikan Kasus Maksimum atau Minimum Contoh: Suatu persegi panjang mempunyai keliling 200 cm. Tentukan panjang dan lebarnya agar luas bangun itu maksimum. Jawab: Misalkan panjang = p dan lebarnya = l. Kelilingnya adalah K = 2p + 2l  200 = 2p + 2l  p = 100 – l Luasnya L = pl = (100 – l)l = 100l – l December 2014

40 Agar luasnya maksimum, turunan fungsi L harus nol. =100 – 2l = 0  l = 50 p = 100 – l = 100 – 50 = 50 Dengan demikian, agar luas bangun itu maksimum, lebarnya 50 cm dan panjangnya 50 cm.


Download ppt "Bab 8 Turunan 14 December 2014. Turunan mempelajari Kasus Maksimum dan Minimum Penyelesaian Limit Tak Tentu Kecepatan dan Percepatan Persamaan Garis Singgung."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google