Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

MODUL 3 TURUNAN FUNGSI Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi1.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "MODUL 3 TURUNAN FUNGSI Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi1."— Transcript presentasi:

1 MODUL 3 TURUNAN FUNGSI Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi1

2 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi2 TURUNAN FUNGSI Turunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh : jika limitnya ada f(x) f(x+h) x x+h f(x+h)-f(x) h y x Notasi dan pengertian turunan fungsi Gradien garis singgung Kecepatan sesaat Laju massa per satuan waktu Laju perubahan panas per satuan waktu Perubahan entalpi akibat perubahan temperatur Perubahan tekanan akibat perubahan volume

3 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi3 Contoh Menghitung Turunan: Jawab : Hitung f’(x) f(x+h) = 3(x+h) 2 – 4(x+h)+6 = 3x 2 + 6xh + 3h 2 – 4x – 4h + 6 f(x+h)-f(x) = 6xh + 3h 2 – 4h = 6x - 4

4 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi4 Menghitung Turunan Grafik fungsi f(x) Y=4x-x 2 Y=4-2x Y=2x Y=2 Y=5-(x-3) 2 Y=1.5x 2 –4x+6 Y=3x-4 Y=-2(x-3)

5 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi5 Rumus Dasar Turunan Fungsi y=uv  y' = u' v + uv' Contoh-contoh (1). y=5x 4 + 5x - 10 (2). y = (x )(x 5 – 5) u=x u′=4x 3 v=x 5 – 5 v′=5x 4 y' = u' v + uv‘ = (4x 3 )(x 5 –5)+(x 4 +10)(5x 4 ) u=x 3 +4 u′=3x 2 v=x v′=4x 3

6 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi6 Aturan Rantai Misalkan diberikan, y = (x 4 + 3) 6 xu=x 4 +3y=u 6 u=g(x)y=f(u) Rumus Umum y=f(u), u = g(x)  y=f(g(x)) Kasus kedua, y = {4+3(x 4 +1) 5 } 7 x u=x 4 +1v=4+3u 5 y=v 7 u=g(x)v=h(u) y=f(v) Rumus Umum y=f(v), v = h(v), u = g(x)  y=f{h[g(x)]}

7 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi7 SOAL LATIHAN

8 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi8 Dengan menggunakan rumus-rumus aturan rantai hitunglah, dy/dx

9 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi9 Rumus Dasar Turunan Trigonometri Contoh-contoh Hitunglah y′ dari : y=x 4 sin 3x Jawab u=x 4, v=sin 3x u′=4x 3, v′=3 cos 3x y′ = u v′ + u′v = x 4 (3 cos 3x) + (4x 3 ) sin 3x Hitunglah y′ dari : Jawab u=x, v=x+sec 2 x u′=1, v′=1+2sec 2 x tan x

10 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi10 Hitunglah y′ dari : y = cos 4 (x 2 + 1) Jawab: y= [cos(x 2 +1)] 4 xu=x 2 +1v=cos uy=v 4 = 4(cos u) 3 {–sin(x 2 +1) } (2x) = 4 [cos(x 2 +1)] 3 {–sin(x 2 +1)} (2x) Hitunglah y′ dari : y = cos(x 2 + 1) 4 Jawab: xu=x 2 +1v=u 4 y=cos v = (-sin u 4 ){4(x 2 +1) 3 }(2x) = -sin(x 2 +1) 4 {4(x 2 +1) 3 }(2x) Hitunglah y′ dari : Jawab: x v=u 4 w=sec v y=w 3

11 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi11 Dalam soal latihan hitunglah turunan dy/dx, untuk fungsi- fungsi berikut ini. 6. y = sin(2 – 3x + x 3 ) 7. y = cos(4 – 8x + x 6 ) 8. y = tan(x + sin x) 9.y = sin(x 2 ) cos 2 x 10. y = (1 + x 2 ) 5 sec(1 + x 2 ) 11. y = tan(x 2 + 1) y = cot 5 (x 3 + 1) 13. y = (x 2 + sin 2 x) y = sec 5 (tan 7 (1 + x 2 )) 15.y = (3x + x 3 ) 4 sin 2 x 16. y = sec 3 (2x – x 2 ) y = sin 3 [cos 5 (x – 3x 2 )] 18. y = sin 3 x tan 4 x 19. y = sec 3 x tan 2 x 20. y = cos 3 x cot 4 x

12 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi12 Penurunan Secara Implisit Persamaan fungsi Penulisan Menghitung Turunan Fungsi (1). y = x 3 – sin 4x + 10 Eksplisit Gunakan rumus-rumus dasar (2). x 3 + y 3 – 3xy 2 = 3x 2 y Implisit Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit adalah : (1)Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada persamaan, (2)Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang lain di ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan Contoh : Tentukan dy/dx dari x 3 + y 3 – 3xy 2 = 3x 2 y Jawab :

13 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi13 Turunan Orde-n / Tingkat Tinggi TurunanNotasi x5x5x5x5 sin 2x Pertamay 5x 4 2 cos 2x Kedua y  5(4x 3 ) - 4 sin 2x Ketiga y  20(3x 2 ) - 8 cos 2x Keempat y (4) 60(2x) 16 sin 2x Kelima y (5) 120 (1) 32 cos 2x Ke-n y(n)y(n)y(n)y(n)

14 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi14 Dalam soal-soal berikut ini tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari : Tentukan rumus turunan orde-n dari :

15 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi15 Soal latihan Khusus x+b a y Soal 1. Diketahui, tan y = (x+b)/a, hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari x+b a Soal 2. Hitung turunan pertama, kedua dan ketiga dari

16 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi16 Deferensial dan Hampiran Diferensial. Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x. Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy didefinisikan oleh : dy = f (x) dx Hubungan antara diferensial dan turunan adalah : 1) Karena dy = f (x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx, dihasilkan : Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan hasil bagi dua diferensial. 2)Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan mengalikan dengan dx. 3)Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel x dan y variabel bebas

17 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi17 Hampiran Perhatikanlah sketsa berikut ini x x+  x f(x) f(x+  x) dy yy Soal-soal 1)Sebelum tangki berbentuk silinder dengan ujung-ujungnya berbentuk setengah bola. Silinder panjangnya 100 cm dan jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat yang diperlukan untuk melapisi bagian luar tangki dengan ketebalan 1 milimeter. 2)Semua sisi kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 inci, dan volume kotak sebelah dalam adalah 49 inci kubik. Gunakanlah diferensial untuk mencari aproksimasi volume baja yang digunakan untuk membuat kotak. Jika x mendapat tambahan  x, maka y mendapatkan tambahan sebesar  y, dimana dapat dihampiri oleh dy, dimana  y = f(x +  x) – f(x). Jadi : f(x +  x)  f(x) + dy = f(x) + f (x)  x

18 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent18 FUNGSI TRANSENDENT FUNGSI LOGARITMA ASLI t=1t=x t y R Menurut definisi integral tentu : A(R) = 0, jika x = 1 A(R) > 0, jika x >1 A(R) < 0, jika x < 1 Definisi Fungsi logaritma asli ditulis ln adalah fungsi yang didefinisikan oleh, Sifat-sifat Logaritma Asli Apabila a dan b adalah bilangan- bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka : (1). ln 1 = 0 (2). ln ab = ln a + ln b

19 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent19 Turunan Fungsi Logaritma Asli Dengan menerapkan Teorema dasar Kalkulus dihasilkan Jika u fungsi dari x yang diferensiabel dan u(x) > 0, maka Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(x 2 + 4x + 5) Jawab : Ambil, u = x 2 + 4x + 5. Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(1 + x 2 )(1 + x 3 ) Jawab : Cara 1. Ambil u = (1 + x 2 )(1 + x 3 ) Cara 2. Dengan sifat logaritma y = ln(1 + x 2 )(1 + x 3 ) = ln(1+ x 2 ) + ln(1+x 3 ) Maka :

20 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent20 Grafik Fungsi Logaritma sifat-sifat fungsi logaritma asli, yaitu : (1)Fungsi kontinu si semua bilangan riil yang terletak pada daerah asal, x > 0 (2)Grafik fungsinya naik pada seluruh daerah asal, karena f (x) = 1/x selalu positif atau lebih besar 0. (3)Grafik fungsinya cekung terbuka kebawah untuk semua titik pada daerah asal, karena f (x) = – 1/x 2 selalu negatif atau lebih kecil dari 0 (4)Asimtot grafik adalah sumbu y negatif, dan grafik fungsinya terketak pada kuadran keempat Contoh grafik fungsi logaritma y=ln x y = x ln x y x

21 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent21 Contoh Grafik Y = 100 x –2 ln x

22 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent22 Diferensial Logaritmik Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat logaritma dan penurunan fungsi secara implisit Contoh : Hitunglah dy/dx dari y = x 3 cos 4 x (1 + sin x) 5 Jawab : ln y = ln{x 3 cos 4 x (1 + sin x) 5 } = ln x 3 + ln cos 4 x +ln(1 + sin x) 5 = 3 ln x+4 ln cos x+5ln(1+sin x) Diferensial secara implisit Contoh : Hitung dy/dx dari Jawab Diferensial secara implisit

23 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent23 FUNGSI EKSPONENSIAL ASLI Fungsi eksponensial asli ditulis exp(x) didefinisikan oleh : y = exp(x) = e x  x = ln y Sifat-sifat eskponensial asli : (1). exp(ln x) = e ln x = x, x > 0 (2). ln(exp x) = ln(e x ) = x, (3). e 0 = 1 (4). ln e = 1 (5). e a e b = e a+b (6). (e a ) b = e ab y y = ln x y=x y=e x Sketsa grafik

24 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent24 Rumus turunan Contoh : Hitunglah dy/dx dari Jawab Misalkan, u = x 4 ln x, y = e u Maka : Contoh : Hitunglah turunan ketiga dari Jawab Dengan aturan rantai, dihasilkan

25 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent25 Contoh : sketsa grafik fungsi, y = 4 x 2 e –0.5x

26 Soal-soal latihan Hitunglah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :

27 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent27 Soal Latihan : Hitunglah dy/dx dari :

28 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent28 FUNGSI INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI Definisi : (1). y = sin –1 x  x = sin y (2). y = cos –1 x  x = cos y (3). y = tan –1 x  x = tan y (4). y = sec –1 x  x = sec y (5). y = csc –1 x  x = csc y (6). y = cot –1 x  x = cot y Catatan : (i). cos –1 x = arc cos x (ii). cos –1 x  (cos x) –1 Grafik Fungsi Invers Trigonometri y=tan –1 x y=sin –1 x y x

29 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent29 Rumus Umum Turunan Fungsi Invers Trigonometri Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y=x 2 sin –1 x + x Jawab :

30 Kalkulus PrayudiModul IX Fungsi Transendent30 Contoh Hitunglah turunan ketiga dari y= 2x 2 tan –1 x – x ln(1+ x 2 ) Jawab : = 4x tan –1 x – ln(1+ x 2 ) Contoh Hitunglah turunan dari Jawab : y = sec –1 v

31 Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi31 SOAL-SOAL LATIHAN Tentukanlah turunan pertama kedua dan ketiga dari,


Download ppt "MODUL 3 TURUNAN FUNGSI Kalkulus PrayudiModul V : Turunan Fungsi1."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google