Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Diferensial #1 Turunan Fungsi-Fungsi Oleh: Sudaryatno Sudirham.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Diferensial #1 Turunan Fungsi-Fungsi Oleh: Sudaryatno Sudirham."— Transcript presentasi:

1 Diferensial #1 Turunan Fungsi-Fungsi Oleh: Sudaryatno Sudirham

2 Cakupan Bahasan  Turunan Fungsi-Fungsi Mononom. Polinom. Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial

3 Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian Pengertian-Pengertian Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah Bagaimanakah dengan garis lengkung? ΔxΔx ΔyΔy x y

4 P1P1 ΔyΔy ΔxΔx x y P2P2 y = f(x) Δx di perkecil menjadi  x* pada kondisi Δx mendekati nol fungsi turunan dari di titik P ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian P1P1 Δy*Δy* Δx*Δx* x y y = f(x)

5 (x1,y1)(x1,y1) (x2,y2)(x2,y2) x y f ′(x) di titik (x 1,y 1 ) adalah turunan y di titik (x 1,y 1 ), f ′(x) di titik (x 2,y 2 ) adalah turunan y di titik (x 2,y 2 ) Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian

6 maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut” Jika pada suatu titik x 1 di mana benar ada kita baca “turunan fungsi y terhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan. Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian

7 Fungsi Mononom

8 Turunan Fungsi, Mononom Contoh-1.1 Contoh x y Fungsi ramp Fungsi tetapan

9 Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus) Turunan Fungsi, Mononom Contoh-1.3 Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola) Contoh-1.4

10 Turunan Fungsi, Mononom Secara umum, turunan mononom adalah Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus dan turunannya berupa nilai konstan, Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x, Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi turunan dari *) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian *)

11 disebut turunan pertama, turunan kedua, turunan ke-tiga, dst. Turunan Fungsi, Mononom Contoh-1.5:

12 Turunan Fungsi, Mononom Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya Contoh-1.6: dan turunan-turunannya Fungsi

13 Fungsi Polinom

14 Turunan Fungsi, Polinom Contoh-1.7: f 1 (x) = 4x ,500,511,52 x y Turunan fungsi ini sama dengan turunan f(x)=4x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0. Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka F ʹ (x) = f (x) Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu

15 x y Contoh-1.8: Turunan Fungsi, Polinom

16 Contoh-1.9: Contoh-1.10: Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.

17 Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

18 Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Jika maka Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

19 Contoh-1.16: Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Turunan adalah Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi Jika Contoh-1.17: Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

20 Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Contoh-1.18: Contoh ini menunjukkan bahwa Secara Umum:

21 Contoh-1.19: Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

22 Fungsi Rasional

23 Turunan Fungsi, Fungsi Rasional Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi atau Jadi:

24 Turunan Fungsi, Fungsi Rasional Contoh-1.20: Contoh-1.21: (agar penyebut tidak nol) Contoh-1.22:

25 Fungsi Implisit

26 Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x.

27 Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh Contoh-1.23: kita peroleh turunan Jika

28 Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh Contoh-1.24: kita dapat memperoleh turunan Untuk

29 Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

30 Turunan Fungsi, Fungsi Berpangkat Tidak Bulat (v adalah fungsi yang bisa diturunkan) dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 Bilangan tidak bulat Jika y ≠ 0, kita dapatkan sehingga Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

31 Kaidah Rantai

32 Turunan Fungsi, Kaidah Rantai Kaidah rantai dapat diturunkan terhadap t, dapat diturunkan terhadap x dan Jika dapat diturunkan terhadap t menjadi maka Apabila kita mempunyai persamaan maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

33 Diferensial dx dan dy

34 Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy dx dan dy didefinisikan sebagai berikut: 1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x; 2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx, jika dx  0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x:

35 P dx dy  x y P dx dy  x y P dx dy  x y Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Penjelasan secara grafis P dx dy  y x Ini adalah peubah bebas Ini adalah fungsi (peubah tak bebas) P dx dy  y x Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”. ; besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx laju perubahan y terhadap perubahan x.

36 Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x. DiferensialTurunan Fungsi

37 Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx. 2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel) Contoh-1.25: sehingga Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

38 Fungsi Trigonometri

39 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri maka Jika Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos  x = 1 dan sin  x =  x. Oleh karena itu

40 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri maka Jika Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos  x = 1 dan sin  x =  x. Oleh karena itu

41 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

42 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Contoh-1.26: Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2  farad merupakan fungsi sinus v C = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalah vCvC pCpC iCiC vCiCpCvCiCpC t [detik]

43 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Contoh-1.27: Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus i L =  0,2cos400t ampere. Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalah vLiLpLvLiLpL vLvL pLpL iLiL t[detik]

44 Fungsi Trigonometri Inversi

45 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Inversi Turunan Fungsi Trigonometri Inversi x 1 y x 1 y

46 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri x 1 y x 1 y

47 1 x y 1 x y

48 Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

49 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v = f(x), maka

50 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Jika w = f(x), maka

51 Fungsi Logaritmik dan Fungsi Eksponensial

52 Turunan Fungsi Logaritmik Turunan Fungsi, Fungsi Logaritmik didefinisikan melalui suatu integral Fungsi logaritmik luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x x t 1/x 1/t x +Δx 1/(x+Δx) y Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx  1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx  1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx  1/x). ln(x+  x)  lnx Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut

53 Turunan Fungsi Eksponensial Turunan Fungsi, Fungsi Eksponensial penurunan secara implisit di kedua sisi atau Jadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri dst.. Jika

54 Courseware Diferensial #1 Sudaryatno Sudirham


Download ppt "Diferensial #1 Turunan Fungsi-Fungsi Oleh: Sudaryatno Sudirham."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google