Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

KALKULUS II Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT. MATERI YANG AKAN DIBERIKAN 1. FUNGSI TRANSENDEN A. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL B. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "KALKULUS II Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT. MATERI YANG AKAN DIBERIKAN 1. FUNGSI TRANSENDEN A. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL B. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI."— Transcript presentasi:

1 KALKULUS II Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT

2 MATERI YANG AKAN DIBERIKAN 1. FUNGSI TRANSENDEN A. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL B. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI EKSPONENSIAL C. FUNGSI INVERS D. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI E. TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI INVERS/TRIGONOMETRIK 2. TEKNIK INTEGRASI A. INTEGRASI PARSIAL DAN INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI B. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL PECAHAN PARSIAL C. TEKNIK-TEKNIK INTEGRASI YANG LAIN 2. APLIKASI-APLIKASI INTEGRAL TERTENTU A. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR B. MENGHITUNG ISI BENDA C. PANJANG SUATU KURVA PADA BIDANG

3 Logaritmik Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.matematika pemangkatanmatematika pemangkatan Rumus dasar logaritma: Rumus dasar logaritma: b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan b log a = c sebagai log b a = c Beberapa orang menuliskan b log a = c sebagai log b a = c Dalam aljabar, logaritma didefinisikan sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 dan b ≠ 1, maka untuk x positif didefinisikan “ log b x ” Dalam aljabar, logaritma didefinisikan sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 dan b ≠ 1, maka untuk x positif didefinisikan “ log b x ” (baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai pangkat untuk b yang menghasilkan x. (baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai pangkat untuk b yang menghasilkan x.

4 Kegunaan logaritma Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan b n = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial. Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan b n = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.integral pengakaranfungsi eksponensialintegral pengakaranfungsi eksponensial

5 Contoh: Log = 2 Log = 2 Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk menghasilkan 100. Dengan cara sama, Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk menghasilkan 100. Dengan cara sama, Log 2 8 = 3,karena 2 3 = 8 Log 2 8 = 3,karena 2 3 = 8 Log 10 1/1000 = -3,karena = 1/1000 Log 10 1/1000 = -3,karena = 1/1000 Log 10 1 = 0,karena 10 0 = 1 Log 10 1 = 0,karena 10 0 = 1 Log 3 81 = 4,karena 3 4 = 81 Log 3 81 = 4,karena 3 4 = 81

6 Umumnya jika y = log b x, maka y merupakan pangkat untuk b yang harus menghasilkan x, jadi x = b y. Kebalikannya, jika x = b y, maka y = log b x, sehingga pernyataan : Y = log b x dan x = b y adalah ekivalen. Dengan mensubsitusikan setiap persamaan diperoleh : log b b y = y dan b logb x = x (1.1) Logaritma yang pertama kali dipelajari adalah logaritma dengan basis 10, yang disebut logaritma umum (common logarithmsi). Untuk logaritma seperti itu biasanya basis tidak secara eksplisit dirujuk dan ditulis “log” tidak “log10”. Jadi, (1.1) menjadi: Log 10 x = x dan 10 log x = x log b a= x dan log b c = y (1.2)

7 TEOREMA a). Log b 1 = 0 b) log b b = 1 c). Log b ac = Log b a + Log b c d) log b a/c = log b a – log b c e). Log b a r = r Log b a f) log b 1/c = -log b c

8 Akan dibuktikan (a) dan (c), Bukti (a). karena b 0 = 1, maka log b 1 = 0 Bukti (c). Misalkan x = log b a dan y = log b c Jadi, b x = a dan b y = c Oleh karena itu, ac = b x b y = b x+y atau ekivalen dengan log b ac = x+y selanjutnya, dari (1.2) log b ac = Log b a + Log b c

9 Bilangan e logaritma natural Logaritma yang paling penting dalam aplikasi adalah yang disebut logaritma natural; ini mempunyai basis irrasional tertentu yang ditunjukkan dengan e. e ~ 2, dan Diturunkan menjadi :

10 Standar untuk mengartikan logaritma natural dari x adalah ln x dan tidak log e x. jadi ln x itu merupakan pangkat untuk e yang harus menghasilkan x, contoh : ln 1 = 0 (karena e 0 = 1) Secara umum: a. y = ln x dan x = e y ekivalen ln e = 1 (karena e 1 = e) b. ln e x = x dan e ln x = x ln 1/e = -1 (karena e -1 = 1/e) ln (e 2 ) = 2 (karena e 2 = e 2 )

11 Teorema : Bukti ; Misalkan y = log b x. Jadi b y = x Log a b y = Log a x y Log a b = Log a x

12 Contoh soal: 1. Nyatakan : Kedalam penjumlahan, pengurangan dan perkalian: = =

13 Contoh Soal 2: Tulis dalam bentuk logaritma tunggal: a. 2 log 5 + log 8 – log 2 = Log log 8 – log 2 = Log 25 + log 8 – log 2 = Log 25.8 – log 2 = Log 200/2 = log 100 = 2 b.1/3 ln x – ln(x 2 +1)+5 ln(x-2)= ln x 1/3 – ln(x 2 +1) + ln(x-2) 5 = Ln

14 Contoh 3; a. log x = -3, x = = 0,001 b. ln(2x-3) = 7, 2x-3 = e 7, x = ½(e 7 +3) c. 2 x = 3, log 2 x = log 3 x log 2 = log 3 x = log3/log2 = 1,585 d. e 2x = 81, ln e 2x = ln 81 2x = ln 9 2 2x = 2 ln 9 x = ln 9 = 2,197225

15 TIPE LAIN DARI PERSAMAAN LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL. Metode – metode yang digunakan dalam contoh – contoh sebelumnya dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan tipe – tipe lain logaritmik dan eksponensial.

16 Fungsi logaritmik dan fungsi eksponensial PERAN LOGARITMA NATURAL DALAM KALKULUS Pada sub bab ini akan diperlihatkan logaritma dan pangkat dari sudut pandang fungsi. Untuk b > 0, b x disebut fungsi eksponensial berbasis b dan log b x disebut fungsi logaritma berbasis b. dalam kasus dimana b = e, e x disebut fungsi eksponensial natural dan ln x = log b x disebut logaritma natural. Fungsi logaritma natural mempunyai peran khusus dalam kalkulus yang dapat memotivasi pendiferensialan f (x) = log b x, dimana b sembarang basis. Dengan mengasumsikan bahwa fungsi log b x dapat didiferensialkan, oleh karena itu kontinu untuk x > 0.

17 TURUNAN DAN INTEGRAL YANG BERKAITAN DENGAN Ln X Jika u(x)>0, dan fungsi u dapat dideferensilkan di x, maka diperoleh : dan Diferensiasi Logaritmik Contoh : Turunan dari ; Turunan Pangkat Irrasional x: y=x r

18 Turunan dan Integral yang berkaitan dengan b x Untuk memperoleh turunan dari b x, andaikan y = b x, gunakan diferensiasi logaritmik : Ln y = ln b x = x ln b 1/y dy/dx = ln b, dy/dx = y ln b = b x ln b Jadi : dlm kasus khusus b=e Ln e= 1, shg ; Jika u fungsi x yg terdiferensial, maka diperoleh : dan

19 Integral Fungsi Eksponensial Rumus Integral yg terkait dgn turunan-turunan dan Contoh : 1. 2.Tentukan nilai : 3. Tentukan nilai :

20 Untuk menyajikan persoalan-persoalan yang lebih rumit, kita memerlukan perluasan fungsi-fungsi yang dapat dipakai. Fungsi Logaritma Natural Fungsi Logaritma Natural (disingkat ln), ditulis f(x)=ln x, didefinisikan sebagai, Daerah definisi (Df) dan Daerah nilai (Rf) fungsi ini adalah Df = (0,+∞) dan Rf = R. Fungsi ini ada hubungannya dengan fungsi logaritma yang telah dipelajari pada sekolah lanjutan.

21 u uudx

22

23

24 Fungsi Balikan (Invers). Misalkan fungsi y=f(x), dengan x є Df dan y є Rf. Bila f dapat dibalik, maka diperoleh fungsi x= f -1 (y). Fungsi f -1 disebut balikan (invers) dari fungsi f. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x 3 -1, maka x=f -1 (y)= Tidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x 2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinya dibatasi. Teorema 3. Eksistensi Fungsi Balikan. Jika fungsi f monoton murni pada daerah definisinya, maka f mempunyai balikan.

25 Langkah-langkah mencari inver fungsi y=f(x), 1. Nyatakan x dengan y dari persamaan y=f(x); 2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai f -1 (y)→x= f -1 (y); 3. Ganti y dengan x dan x dengan y dari x= f -1 (y), diperoleh y= f -1 (x). Contoh 3. Tentukan rumus untuk f -1 (x) bila y=f(x)=x/(1-x). Jawab. Langkah1: y = x/(1-x)↔(1-x).y=x ↔x(1+y)=y↔x=y/(1+y); Langkah2: f -1 (y) = y/(1+y); Langkah3: f -1 (x) = x/(1+x);

26 Bila f mempunyai balikan f -1 maka f -1 juga memiliki balikan f sehingga diperoleh, f -1 (f(x)) = x dan f(f -1 (y)) = y.

27 Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi: f(g(x)) = x, untuk setiap x dalam domain g g(f(x)) = x, untuk setiap x dalam domain f maka dapat dikatakan bahwa, f invers dari g dan g invers dari f, atau dengan kata lain, f dan g adalah merupakan fungsi-fungsi invers. Contoh ; fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 1/2 x adalah fungsi invers sebab : f(g(x)) = f(1/2x) = 2(1/2x) = x g(f(x)) = g(2x) = ½.2x = x jadi : untuk f(x) = 1/2 x, f -1 (x) = 2x dan, g(x) = 2x, g -1 (x) = 1/2x dapat dikatakan bahwa suatu fungsi hanya mempunyai satu invers (tunggal)

28 Turunan Fungsi Invers.(Halaman pembetulan) Karena grafik f dan f -1 merupakan pencerminan satu dengan lainnya pada garis y=x, secara intuitif jelas bahwa jika grafik f -1 tidak mempunyai sudut, maka grafik f juga demikian. Hubungan antara turunan- turunan dari f dan f -1 dapat diperoleh sebagai berikut: Misalkan (x 0,y 0 ) titik pada grafik f -1 dan andaikan f dapat diturunkan pada y 0 dan f’(y 0 ) tidak nol. Hubungan ini bila dinyatakan dalam turunan-turunan, akan diperoleh; (f -1 )’(x 0 ) = 1/f’(y 0 ) dan (f -1 )’(x 0 ) = 1/f’(f -1 (x 0 )), untuk lebih mudah, y = f -1 (x) sedemikian hingga x = f(y) Jadi : dy/dx = (f -1 )’(x) dan dx/dy = f’(y)= f’(f -1 (x)) Atau :

29 Contoh soal: Fungsi f(x) = x 5 + 7x 3 + 4x + 1 mempunyai invers: a. dapatkan turunan dari f -1 dengan menggunakan rumus turunan fungsi invers b. dapatkan turunan dari f -1 dengan differensial implisit Penyelesaian : a. jika dimisalkan y = f -1 (x), maka: x = f(y)=y 5 + 7y 3 + 4y +1, diperoleh:

30 b. pendiferensialan secara implisit terhadap x, menghasilkan : Yang sama dengan jawaban (b)

31 Fungsi Eksponen Natural. Bilangan e adalah suatu bilangan real yang merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln x = 1. Nilai hampirannya adalah e = 2,71828………. Fungsi eksponen natural adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh persamaan f(x) = e x. Teorema 5. (Hubungan Fungsi ln dengan exp). Fungsi f : R → (0,+∞), f(x) = e x adalah invers dari fungsi g : (0,+∞) → R, g(x) = ln x. Bentuk lain dapat ditulis y = e x ↔x = ln y.

32

33

34

35 Fungsi Eksponen Umum Fungsi eksponen dengan bilangan dasar a>0 dan peubah bebas real x didefinisikan sebagai, f(x) = a x = e x ln a. Akibatnya, ln a x = x ln a. Teorema 8. (Sifat-sifat eksponen umum). 1. a 0 = 1, a>0; 5. a-x = 1/ax, a>0, x,yЄR; 2. a 1 = a, a>0; 6. (ax)y = axy, a>0, x,yЄR; 3. a x.a y = a x+y, a>0, x,yЄR; 7. (ab) x = a x.b x,a,b>0, yЄR ; 4. a x /a y = a x-y, a>0, x,yЄR;8. (a/b) x = a x /b x,a,b>0, yЄR

36

37

38

39

40

41

42 Grafik y = sin x dan grafik y = sin -1 x. Fungsi y = f(x) = sin -1 x mempunyai Df = [-1, 1]dan Rf = [-π/2, π/2].

43 Teorema : y = sin -1 x ekivalen dgn sin y=x Jika : -1≤ x ≤ 1 dan -π/2 ≤ y ≤ π/2 Contoh Dapatkan : a. sin -1 (1/2) b. sin -1 (-1/ √2) c. sin -1 (-1) Penyelesaian: a. misalkan y = sin -1 (1/2), persamaan ini ekivalen dengan, sin y = ½, -π/2 ≤ y ≤ π/2 Jadi dicari sudut yg mempunyai sinus ½, yaitu sudut y = π/6. Jadi : sin -1 (1/2) = π/6. b.y = sin -1 (-1/ √2) ekivalen dgn sin y = (-1/ √2), diperoleh sudutnya = - π/4 c. y = sin -1 (-1) ekivalen dengan sin y = -1, Diperoleh sudutnya = - π/2

44

45

46 Grafik y = sec x dan grafik y = sec-1 x. Fungsi y = f(x) = sec-1x mempunyai Df = R – [-1,1] dan Rf = [0, π] –{π/2}.

47

48 Contoh-contoh soal; 1.Dapatkan dy/dx jika, a. y = sin -1 (x 3 ) b. y =sec -1 (e x ) Penyelesaian : a. b. 2. Hitung Misalkan ;u= √3x, du = √3 dx, menghasilkan :

49 Berlaku hubungan :cosh 2 x – sinh 2 x = 1

50

51

52

53 Pembuktian rumus sinh -1 x x = sinh y = atau e y - 2x –e -y = 0 Kalikan persamaan dengan e y, diperoleh: e 2y -2xe y – 1 = 0 e y = Karena e y >0, maka yang minus diabaikan e y = x + √x Dengan mengambil nilai ln nya : ln e y = ln (x + √x 2 + 1, y = ln (x + √x sinh -1 x = ln (x + √x 2 + 1

54 Rumus-rumus turunan: a. b. c. d. e. f.

55 Bentuk Integralnya: tanh -1 u + C, jika |u| <1 coth -1 u + C, jika |u| >1

56 PEMAKAIAN INTEGRAL TERTENTU 1. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR A. LUAS DAERAH ANTARA GRAFIK Y=f(X) DAN SUMBU X DARI X=a HINGGA X=b S = | |

57 B. LUAS DAERAH DIANTARA DUA GRAFIK, y 1 =f 1 (X) dan y 2 =f 2 (x) S =

58 C. Luas daerah diantara dua kurva yang berpotongan S = S =

59 D. Luas daerah yang dibatasi oleh 3 buah grafik S =

60 E. Luas antara grafik x=v(y) dan grafik x=w(y)

61 Beberapa Contoh Soal 1. Hitung luas daerah antara grafik y = x 2 +1 Terhadap sumbu x dari x=-1 dan x=2 2. Hitung luas daerah antara grafik y 1 =x+6 dan y 2 =x 2 3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = sinx dengan sumbu x dari x=0 s/d x=2π 4. Hitung luas daerah antara grafik y 1 =2-x 2 dan grafik

62 2. Menghitung luas benda dari 2 buah grafik y1=f(x) dan y2=f(x) dengan sumbu x Contoh ; Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh x=y 2 dan y=x-2 terhadap sumbu x. Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh x=y 2 dan y=x-2 terhadap sumbu x.

63 Menghitung luas benda dari grafik x=f(y) dengan sumbu y Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh x=y 2 dan y=x-2 terhadap sumbu y.

64 3. MENGHITUNG VOLUME BENDA MENDAPATKAN VOLUME DENGAN IRISAN; CAKRAM DAN CINCIN 1. IRISAN CINCIN 2. IRISAN CAKRAM

65 A. Menghitung VOLUME BIDANG PERPOTONGAN YG TEGAK LURUS SUMBU -X Perhatikan gambar benda dibawah ini yang dibatasi oleh dua bidang datar tegak lurus sumbu x di titik x=a dan x=b

66 B. Volume Benda Putar dengan metode cakram Misalkan y=f(x) tak negatif dan kontinyu pada (a,b) dan R adalah luas yg batas atasnya adalah grafik y=f(x), batas bawahnya sb x, sisi2nya dibatasi x=a s/d x =b. Bila diputar thdp sb x, terjadi suatu benda padat berupa lingkaran. S= A(x)=πr 2 = πy 2 =π[f(x)] 2  V=

67 Menentukan volume benda dengan metode cakram ► Contoh ; dapatkan volume benda padat yg didapat dari daerah dibawah kurva y= pada selang (1,4) diputar terhadap sb x ► V = ► ► = y=

68 C. Menentukan volume benda dengan metode cincin Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x. Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x. Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya adalah ; Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya adalah ; A(x)= π[f(x)] 2 – π[g(x)] 2 =π{[f(x)] 2 -[g(x)] 2 } A(x)= π[f(x)] 2 – π[g(x)] 2 =π{[f(x)] 2 -[g(x)] 2 } Sehingga Volume benda putarnya ; Sehingga Volume benda putarnya ; V = V =

69 Contoh: menentukan volume benda padat dengan metode cincin Dapatkan volume dari benda padat yang dibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+x 2 dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) terhadap sumbu-x Dapatkan volume dari benda padat yang dibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+x 2 dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) terhadap sumbu-x V= = V= = V= V=

70 Menentukan volumen benda padat dengan irisan cakram dan cincin terhadap sumbu y

71 Volume benda padat dengan irisan cincin terhadap sumbu y

72 Contoh soal : volume benda diputar terhadap sb y Dapatkan volume benda yang diputar terhadap sb- y dari grafik; y= dan y=2, x=0 Dapatkan volume benda yang diputar terhadap sb- y dari grafik; y= dan y=2, x=0

73 Panjang suatu kurva pada bidang  Menghitung panjang busur dari suatu kurva bidang dengan integral tertentu  Hanya memperhatikan kurva2 yang merupakan grafik suatu fungsi  Panjang Busur  jika f’ kontinyu pada suatu selang dimana  Y=f(x) adalah kurva mulus 

74 Masalah panjang busur Andaikan f adalah fungsi mulus pada selang (a,b). Dapatkan panjang busur L dari kurva y=f(x) pada selang (a,b)

75 Bagilah lintasan fungsi f=y(x) menjadi n bagian seperti gambar dibawah ini, dari selang (a,b) Misalkan P 0,P 1,………P n adalah titik-titik pada kurva yang koordinat-x nya adalah a, x 1,x 2 …..x n-1,b dan hubungkan titik tsb dengan segmen garis lurus. Bentuk segmen tersebut adalah lintasan polygonal atau sebagai pendekatan dari kurva y=f(x)

76 Diambil satu segmen bagian dari lintasan polygonal tsb yaitu : selang-k = L k dengan teorema nilai tengah, ada titik antara dan Berarti panjang dari seluruh lintasan polygonal adalah ;

77 Rumus Panjang Busur Jika f adalah fungsi mulus pada (a,b) maka panjang busur L dari kurva y = (x) dari x=a, x=b didefinisikan ; Untuk kurva dlm bentuk x=g(y) dengan g’ kontinyu pada (c,d) panjang busur L dari y=c ke y=d adalah:

78 Contoh Soal 1. Dapatkan panjang busur dari kurva y=x 3/2 1. Dapatkan panjang busur dari kurva y=x 3/2 Dari (1,1) ke (2,2√2), terhadap sumbu-x dan terhadap sumbu-y Dari (1,1) ke (2,2√2), terhadap sumbu-x dan terhadap sumbu-y 2. Dapatkan panjang busur dari kurva y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-x dan sumbu-y 2. Dapatkan panjang busur dari kurva y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-x dan sumbu-y

79 Integral tak Wajar Aturan ‘Hopital Yang disebut Integral tak wajar: 1. Integral yang Integrannya menjadi tak hingga dalam selang integral a≤x≤b Menjadi tak terhingga pada x=1 (tak kontinyu) 2. Integral pada selang –selang tak terhingga Sebab b=∞

80 Cara menyelesaikan Integral tak wajar A 1 )Fungsi f(x) diskontinyu di x=a Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi x=a+є, menjadi wajar

81 A 2 )Fungsi f(x) diskontinyu di x=b Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi x=b-є, menjadi wajar

82 A 3 )Fungsi f(x) diskontinyu di x=c, (a

83 B 1 )Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞ Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi a=∞, menjadi wajar

84 B 2 )Fungsi f(x) diskontinyu di x=b=∞ Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi b=∞, menjadi wajar

85 B 3 )Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞ dan x=b=∞ Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi x=a=∞, dan x=b=∞ menjadi wajar

86 Bentuk tak Tentu Tipe 0/0 Aturan L ’ Hopital Aturan L ’ Hopital Untuk setiap limit ; Untuk setiap limit ; dan dan Penyebut dan pembilangnya keduanya mendekati nol, limit seperti ini sebagai bentuk tak tentu tipe 0/0. Penyebut dan pembilangnya keduanya mendekati nol, limit seperti ini sebagai bentuk tak tentu tipe 0/0. Limit ini dapat mempunyai harga bilangan riil atau divergen. Limit ini dapat mempunyai harga bilangan riil atau divergen. Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak dapat ditentukan tanpa beberapa kerja tambahan Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak dapat ditentukan tanpa beberapa kerja tambahan

87 Teorema Aturan L’Hopital bentuk 0/0 Misalkan limit menyatakan salah satu limit Misalkan limit menyatakan salah satu limit Dan anggap bahwa lim f(x)=0 dan lim g(x)=0 Jika lim mempunyai niai berhingga L, atau jika limit ini +∞ atau -∞ maka lim =

88 Langkah-langkah Aturan L ’ Hopital Langkah 1;periksa bahwa berbentuk tak tentu, jika tidak, tidak dpt digunakan Langkah 2;diferensialkan f dan g secara terpisah Langkah 3;tentukan.Jika limit ini berhingga, +∞, atau -∞, maka itu = Contoh : dan

89 SOAL UJIAN QUIS 1. Hitung luas bidang datar dr fungsi ; F(x)=x dengan g(x)=x+4 2.Hitung volume benda yg diputar terhadap sb x dari: y=x+1, x=3, y=0 3.Hitung panjang busur dari y=x 3/2 thdp sbx, dr titik (1,2) dan (2,4) 4.Apakah Integral2 dibawah ini termasuk integral tak wajar?selesaikan! A. dx B.


Download ppt "KALKULUS II Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT. MATERI YANG AKAN DIBERIKAN 1. FUNGSI TRANSENDEN A. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL B. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google