Kalkulus Teknik Informatika

Presentasi berjudul: "Kalkulus Teknik Informatika"— Transcript presentasi:

1 Kalkulus Teknik Informatika
INTEGRAL Kalkulus Teknik Informatika

2 PENDAHULUAN INTEGRAL DIFERENSIAL

3 Contoh Integral Temukan anti turunan dari
Dari teori derivarif kita tahu

4 Teorema A : Aturan Pangkat
Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali (-1), maka : Jika r = 0 ? Perhatikan bahwa untuk anti derivatif suatu pangkat dari x kita tambah pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yg baru. Anti turunan sering disebut dengan Integral Tak Tentu Dalam notasi disebut tanda integral, sedangkan f(x) disebut integran

5 Teorema B : Kelinearan integral tak tentu
Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka  k f(x) dx = k  f(x) dx  [ f(x) + g(x) ] dx =  f(x) dx +  g(x) dx  [ f(x) - g(x) ] dx =  f(x) dx -  g(x) dx

6 Teorema C Aturan pangkat yang diperumum
Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil rasional bukan (-1), maka : Contoh : Carilah integral dari f(x) sbb.

7 Integral Tentu Teorema Kalkulus yg penting Jika fungsi f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, maka dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x) pada a ≤ x ≤ b.

8 Contoh Solusi =

9 Contoh Solusi = = = 11

10 Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi berikut ini
Solusi

11 Grafik

12 Area diantara dua kurva Area diantara 2 kurva f(x) dan g(x)

13 Contoh Solusi Carilah area R yang berada diantara kurva dan kurva
Carilah titik pertemuan antara 2 kurva => => x=1 or x=0 => = = =

14 Contoh Solusi Carilah area yang dibatasi oleh garis dan kurva
Carilah titik pertemuan:

15 Sifat-sifat Integral Tentu

16 Sifat-sifat Integral Tentu

17 Volume Benda Putar

18 Metode Cakram

19 Metode Cakram

20 Metode Cakram

21 TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Metode Cakram TURUNAN DAN DIFERENSIAL

22 TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

23 Contoh 2

24 Metode Kulit Tabung

25 Metode Kulit Tabung

26 Metode Kulit Tabung

27 Metode Kulit Tabung

28 Contoh

29 Latihan

30 Integral Partial Berdasarkan pada pengitegralan rumus turunan hasil dua kali fungsi : Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi : d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu Integral Parsial

31 Aturan yg hrs diperhatikan
Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasikan tidak boleh lebih sulit daripada Contoh 1 : Misal : u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x Integral Parsial

32 Rumus integralnya : = x sin x + cos x + c b. Misal diambil :
u dv u v v du = x sin x + cos x + c b. Misal diambil : u = cos x dv = x dx du = -sin x dx v = x2/2 Rumus Integral Parsialnya : Penting Sekali pemilihan u dan v Integralnya lebih susah Integral Parsial

33 Pengintegralan Parsial Berulang
Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang beberapa kali Misal : u = x2 dv = sin x dx du = 2x dx v = -cos x Maka : Tampak bahwa pangkat pada x berkurang Perlu pengintegralan parsial lagi Integral Parsial

34 = -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K
Dari contoh 1 : = -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x + K Integral Parsial

35 Contoh 3 : Misal : u = ex dan dv = sinx dx du = exdx dan v = - cosx
Maka : Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua u = ex dv = cos x dx du = exdx v = sin x Integral Parsial

36 Sehingga : Bila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama
Integral Parsial