Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB V (lanjutan) VEKTOR. Vektor-vektor Ortogonal Jika u dan v adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus (dapat ditulis dengan lambang u ⊥ v), maka.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB V (lanjutan) VEKTOR. Vektor-vektor Ortogonal Jika u dan v adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus (dapat ditulis dengan lambang u ⊥ v), maka."— Transcript presentasi:

1 BAB V (lanjutan) VEKTOR

2 Vektor-vektor Ortogonal Jika u dan v adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus (dapat ditulis dengan lambang u ⊥ v), maka kedua vektor tersebut dikatakan vektor-vektor ortogonal, dan memenuhi u. v = 0. Sifat-sifat Hasil Kali Titik Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada bidang atau ruang, dan k adalah skalar, maka berlaku: a) u.v = v.u b) u.(v + w) = uv + uw c) k(u.v) = (ku).v = u.(kv) d) v.v > 0 jika v  0 e) v.v = 0 jika v = 0

3 Proyeksi Ortogonal Tempatkan vektor u dan a sedemikian rupa sehingga titik-titik awalnya berimpit di Q. Selanjutnya vektor u dapat diuraikan sebagai berikut. Q w1w1 w2w2 u a Tarik garis tegak lurus dari ujung u yang memotong a. Gambar vektor w 1 dari titik Q yang berimpit dengan a sampai ke perpotongan grs tegak lurus dgn a. Gambarkan vektor –w 1 dari ujung vektor u Gambarkan vektor w 2 dengan cara menarik garis dari Q tegak lurus vektor –w 1 –w 1

4 Q w1w1 w2w2 u a Vektor w 1 disebut proyeksi ortogonal u pada a atau komponen vektor u sepanjang a atau ditulis dalam notasi, w 1 = proj a u Vektor w 2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Karena w 2 = u – w 1, maka w 2 = u – proj a u

5 Rumus-rumus untuk menghitung proj a u dan u – proj a u Jika u dan a adalah vektor-vektor pada bidang atau ruang dan jika a  0, maka berlaku, (komponen ortogonal u sepanjang a) (komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)

6 Contoh 5.8 Misal u = (2, –1, 3) dan a = (4, –1, 2). Tentukan komponen vektor u sepanjang a dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Penyelesaian u.a = (2, –1, 3).(4, –1, 2) = (2)(4) + (–1)(–1) + (3)(2) = 15 ||a|| 2 = (–1) = 21 Komponen vektor u sepanjang a adalah

7 Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a adalah

8 y x ax + by + c = 0  P 0 (x 0, y 0 )  Q(x 1, y 1 ) D D n(a, b) Misal Q(x 1, y 1 ) adalah sembarang titik pada garis ax + by + c = 0 dan titik awal vektor n(a, b) berimpit dengan titik Q. Tarik garis proyeksi dari titik P 0 ⊥ n dan garis ax+by+c = 0. Tarik garis dari Q yg sejajar n ke perpotongan garis proyeksi. Garis yang didapat adalah D, yaitu jarak terdekat titik P 0 ke garis ax + by + c = 0 Jarak antara sebuah titik koordinat ke garis

9 Contoh 5.9 Tentukan jarak D dari titik (1, 2) ke garis 3x + 4y – 6 = 0 (1, 2) x 3x + 4y – 6 = 0  D y O Penyelesaian x 0 = 1, y 0 = 2 a = 3, b = 4, c = –6

10 Latihan I. Diketahui a) u = (6, 2), a = (3, –9) b) u = (–1, –2), a = (–2, 3) c) u = (3, 1, –7), a = ( 1, 0, 5) d) u = (1, 0, 0), a = (4, 3, 8) Tentukan: 1.Proyeksi ortogonal u pada a 2.Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a II. Tentukan lima buah vektor yang ortogonal terhadap (– 5, 4, 6) III. Tentukan jarak antara garis dan titik koordinat berikut a) 4x + 3y + 4 = 0 ; (–3, 1) b) y = 1 – 4 x + 2 ; (2, –5)

11 5.11 Hasil Kali Silang Jika u = (u 1, u 2, u 3 ) dan v = (v 1, v 2, v 3 ) adalah vektor- vektor pada ruang dimensi 3, maka hasil kali silang (cross product) u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai, (u 2 v 3 – u 3 v 2, u 3 v 1 – u 1 v 3, u 1 v 2 – u 2 v 1 ) Ingat! Hasil kali silang hanya dapat diterapkan pada ruang (dimensi 3) Untuk mendapatkan rumus diatas, lakukan langkah- langkah sebagai berikut. 1.Bentuk matriks 2 baris 3 kolom. Baris pertama terdiri dari komponen vektor u. Sedangkan baris kedua berasal dari vektor v.

12 2. Untuk menghitung komponen pertama, hilangkan kolom pertama dari matriks dan hitung determinann ya 3. Untuk menghitung komponen kedua, hilangkan kolom kedua dari matriks dan hitung determinann ya. 4. Untuk menghitung komponen ketiga, hilangkan kolom ketiga dari matriks dan hitung determinann ya. Contoh 5.9 Tentukan u x v jika u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian u x vu x v

13 Latihan 1.Misal u = (3, 2, –1), v = (0, 2, –3), w = (2, 6, 7) Tentukan a) v x w b) u x (v x w) c) u x (v –2w) d) (u x v) x (v x w) 2. Tentukan hasil kali triple skalar u.(v x w) dari vektor-vektor: a) u = (–1, 2, 4), v = (3, 4, –2), w = (–1, 2, 5) b) u = (3, –1, 6), v = (2, 4, 3), w = (5, –1, 2)

14 Hubungan antara Hasil Kali Silang dan Hasil Kali Titik Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 3, maka berlaku: a)u. (u x v) = 0(u x v adalah ortogonal terhadap u) b)v. (u x v) = 0 (u x v adalah ortogonal terhadap v) c)||u x v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2 (identitas Lagrange) d)u x ( v x w) = (u.w) v – (u.v) w (hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang) e) (u x v) x w = (u.w) v – (v.w) u (hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang)

15 Sifat-sifat Hasil Kali Silang Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 3, dan k adalah sembarang skalar, maka berlaku: a)(u x v) = – (v x u) b) u x (v + w) = (u x v) + (u x w) c) (u + v) x w) = (u x w) + (v x w) d) k (u x v) = (ku) x v = u x (kv) e) u x 0 = 0 x u = 0 f) u x u = 0

16 z y x Vektor Satuan Standar Perhatikan vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Masing-masing vektor tersebut memiliki panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu-sumbu koordinat. k i j (0, 1, 0) (1, 0, 0) Vektor-vektor ini disebut vektor satuan standar pd ruang dimensi 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) pada ruang dimensi 3 dapat dinyatakan dalam bentuk i, j, dan k, karena kita dapat menulis: v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 (1, 0, 0) + v 2 (0, 1, 0) + v 3 (0, 0, 1) = v 1 i + v 2 j + v 3 k (0, 0, 1)

17 Hasil kali silang vektor satuan Telah diketahui bahwa: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) i x ii x i j x i i x ji x j Didapat:

18 Hasil perkalian silang lainnya dapat dilihat pada diagram berikut. i k j Hasil perkalian silang dua vektor yang searah jarum jam adalah vektor berikutnya. Hasil perkalian silang dua vektor yang berlawanan jarum jam adalah negatif vektor berikutnya. Hasil perkalian silang dua buah venktor yang sama adalah nol. i x k = –j k x i = j j x k = i k x j = –i j x j = 0 k x k = 0

19 Bentuk Determinan dari Hasil Kali Silang u x vu x v Contoh 5.10 Jika u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1) u x vu x v

20 Interpretasi Geometrik dari Hasil Kali Silang ||u x v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2 (identitas Lagrange) Telah dijelaskan sebelumnya bahwa, u. v = ||u|| ||v|| cos  Jadi (u. v) 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2  Sehingga didapat ||u x v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2  = ||u|| 2 ||v|| 2 (1 – cos 2  ) = ||u|| 2 ||v|| 2 sin 2  (1) 0    , maka sin   0, sehingga dari (1) dapat ditulis, ||u x v|| = ||u|| ||v|| sin  (2)

21  ||v||sin  ||v|| ||u|| v u Dari gambar diketahui bahwa ||u|| ||v|| sin  adalah luas jajaran genjang yang dibatasi oleh u dan v Dari persamaan (2) dapat disimpulkan bahwa, ||u x v|| adalah luas jajaran genjang yang dibatasi oleh u dan v

22 P 1 (2, 2, 0) P 3 (0, 4, 3) P 2 (–1, 0, 2) x z y Contoh 5.11 Tentukan luas segitiga yang dibatasi oleh titik P 1 (2, 2, 0), P 2 (–1, 0, 2), dan P 3 (0, 4, 3) Penyelesaian = ((–1 – 2), (0 – 2), (2 – 0) = ((0 – 2), (4 – 2), (3 – 0) = (–3, –2, 2) = (–2, 2, 3)

23 P 1 (2, 2, 0) P 3 (0, 4, 3) P 2 (–1, 0, 2) x z y Contoh 5.11 Tentukan luas segitiga yang dibatasi oleh titik P 1 (2, 2, 0), P 2 (–1, 0, 2), dan P 3 (0, 4, 3) Penyelesaian = (–10, 5, –10) Luas segitiga = ½ (15) = 15/2

24 Definisi Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka u. ( v x w ) disebut sebagai hasil kali tripel skalar (scalar triple product) Dikatahui bahwa u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ) Hasil kali tripel skalar u. ( v x w ) didapat,

25 Contoh 5.12 Hitung hasil kali tripel skalar u.( v x w ) dari vektor-vektor u = 3i – 2j – 5k, v = 3i – 2j – 5k, w = 3i – 2j – 5k Penyelesaian = 3(20) + 2(2) – 5(3) = –15 = 49

26 Interpretasi Geometrik dari Determinan y x u (u 1, u 2 ) O Nilai absolut dari = luas jajaran genjang pada ruang berdimensi 2 yang dibatasi oleh vektor-vektor u = (u 1, u 2 ) dan v = (v 1, v 2 ) (v 1, v 2 ) v

27 pada ruang berdimensi 3 yang dibatasi oleh vektor-vektor u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ) v u = luas balok genjang Nilai absolut dari z x O y w (u 1, u 2, u 3 ) (v 1, v 2, v 3 ) (w 1, w 2, w 3 )

28 Jika vektor-vektor u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ) mempunyai titik awal yang sama, maka vektor-vektor tersebut akan terletak pad bidang yang sama jika dan hanya jika, Contoh 5.13 Tentukan apakah u, v, dan w berikut terletak pada bidang yang sama jika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berhimpitan. u = (–1, –6, 1), v = (3, 0, –2), w = (5, –4, 0)

29 Penyelesaian = 8+60 – 12 = 56 Jadi vektor-vektor u, v, dan w tidak terletak pada bidang yang sama karena u. ( v x w)

30 Latihan 1.Tentukan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi: a) u = (2, 5), v = (4, 3) b) u = (1, 4), v = (5, 1) 2. Tentukan volume balok genjang dengan sisi-sisi: a) u = (2, –6, 2), v = (0, 4, –2), w = (2, 2, –4) b) u = (3, 1, 2), v = (4, 5, 1), w = (1, 2, 4)

31 5. 12 Garis dan Bidang Pada Ruang berdimensi Bidang pada Ruang berdimensi 3 P(x, y, z) P 0 (x 0, y 0, z 0 ) n z y x Persamaan bidang yang melewati titik P 0 (x 0, y 0, z 0 ) dan memiliki vektor n(a, b, c) adalah, a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) + c(z – z 0 ) = 0 Persamaan diatas adalah bentuk normal-titik dari persamaan suatu bidang

32 Persamaan bidang yang melewati tiga titik P 1 (x 1, y 1, z 1 ), P 2 (x 2, y 2, z 2 ), dan P 3 (x 3, y 3, z 3 ). ax + by + cz + d = 0 Contoh 5.13 Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik (3, –1, 7) dan tegak lurus thd. vektor n (4, 2, –5) dengan menggunakan persamaan bidang bentuk normal-titik ! Penyelesaian: 3(x – 4) –1(y – 2) + 7(z +5) = 0 3x – 12 – y z + 35 = 0 3x – y + 7z + 25 = 0

33 Contoh 5.14 Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik-titik P 1 (1, 2, –1), P 2 (2, 3, 1), dan P 3 (3, –1, 2)! Penyelesaian a + 2b – c + d = 0 2a + 3b + c + d = 0 3a – b + 2c + d = 0 Didapat: a = 9b = 1 c = –5d = –16 Maka persamaan bidang adalah: 9x + y – 5z – 16 = 0

34 Bentuk vektor dari Persamaan Suatu Bidang Misal r = (x, y, z) adalah vektor dari titik asal ke titik P(x, y, z). Misal r 0 (x 0, y 0, z 0 ) adalah vektor dari titik asal ke titik P 0 (x 0, y 0, z 0 ) dan misal n(a, b, c) adalah vektor normal terhadap bidang. r –r 0 P(x, y, z) P 0 (x 0, y 0, z 0 ) n z y x r r0r0 Maka P 0 P = r – r 0, sehingga n. (r – r 0 ) = 0 Persamaan diatas adalah bentuk vektor dari persamaan suatu bidang

35 Contoh 5.15 Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik (6, 3, –4) dan tegak lurus terhadap vektor n(–1, 2, 5) dengan menggunakan persamaan bidang bentuk vektor! Penyelesaian: n. (r – r 0 ) = 0  (–1, 2, 5). (x – 6, y – 3, z + 4) = 0 –1(x – 6) + 2(y – 3) + 5(z + 4)= 0 –x y – 6 + 5z + 20 = 0 –x + 2y + 5z + 20 = 0 x – 2y – 5z – 20 = 0

36 Garis pada Ruang Berdimensi 3 P 0 P = tv (x – x 0, y – y 0, z – z 0 ) = (ta, tb, tc) x – x 0 = ta, y – y 0 = tb, z – z 0 = tc x = x 0 + ta, y = y 0 + tb, z = z 0 + tc (-  < t < +  ) Persamaan diatas adalah persamaan parametrik untuk l z y x P 0 (x 0,y 0,z 0 ) P(x, y, z) l (a, b, c) v Contoh 5.16 Tentukan persamaan parametrik garis yang melewati titik (1, 2, –3) dan sejajar dengan vektor v(4, 5, –7)! Penyelesaian: x = 1+ 4t, y = 2 + 5t, z = –3 – 7t (-  < t < +  )

37 Contoh 5.17 Tentukan persamaan parametrik untuk garis l yang melewati titik-titik P 1 (2, 4, –1) dan P 2 (5, 0, 7). Dimanakah garis tersebut memotong bidang xy? Penyelesaian: P 1 P 2 = (3, –4, 8) sejajar dengan l dan P 1 (2, 4, –1) terletak pada l, maka garis l mempunyai persamaan- persamaan parametrik: x = 2 + 3t, y = 4 – 4t, z = –1 + 8t (-  < t < +  ) Garis tersebut memotong bidang xy pada z = –1 + 8t = 0. Didapat t = 1/8. Substitusi nilai t ke persamaan parametrik, ddidapat: (x, y, z) = ((19/8), (7/2), (0))

38 Contoh 5.18 Tentukan persamaan-persamaan parametrik untuk garis perpotongan bidang-bidang: 3x + 2y – 4z – 6 = 0 dan x – 3y – 2z – 4 = 0 Penyelesaian: Garis potong terdiri dari semua titik (x, y, z) yang memenuhi kedua persaman dalam sistem: 3x + 2y – 4z = 6 x – 3y – 2z = 4 Dengan menyelesaikan kedua sistem persamaan tersebut akan diperoleh: (-  < t < +  )

39 Jarak Titik dan Bidang Jarak D antara titik P 0 (x 0, y 0, z 0 ) dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah Contoh 5.18 Tentukan jarak antara titik (1, –4, –3) dan bidang 2x – 3y + 6z = –1 Penyelesaian: 2x – 3y + 6z = –1  2x – 3y + 6z +1 = 0

40 Contoh 5.19 Tentukan jarak antara bidang x + 2y – 2z = 3 dan bidang 2x – 3y + 6z = –1 Penyelesaian: Ambil sembarang titik pada salah satu bidang, misal pada bidang x + 2y – 2z = 3. Jika y = 0, z = 0, maka x = 3, sehingga titik yang diambil adalah P 0 (3, 0, 0). Jadi jarak kedua bidang tersebut adalah

41 Latihan 1.Tentukan bentuk normal titik dari persaman suatu bidang yang melewati P dan memiliki n sebagai normalnya. a.P(–1, 3, –2); n = (–2, 1, –1) b.P(1, 1, 4); n = (1, 9, 8) 2. Tentukan persamaan bidang yang melewati titik berikut. a. P(–4, –1, –1), Q(–2, 0, 1), R(–1, –2, –3) b.P(5, 4, 3), Q(4, 3, 1), R(1, 5, 4) 3. Tentukan, apakah bidang-bidang berikut sejajar a. 4x – y + 2z = 5 dan 7x – 3y + 4z = 8 b. x – 4y – 3z – 2 = 0 dan 3x – 12y – 9z – 7 = 0


Download ppt "BAB V (lanjutan) VEKTOR. Vektor-vektor Ortogonal Jika u dan v adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus (dapat ditulis dengan lambang u ⊥ v), maka."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google