Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Transformasi Linier. Definisi : Transformasi Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari R n (domain) ke R m (codomain) dituliskan : T : R n w = T(v) v.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Transformasi Linier. Definisi : Transformasi Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari R n (domain) ke R m (codomain) dituliskan : T : R n w = T(v) v."— Transcript presentasi:

1 Transformasi Linier

2 Definisi : Transformasi Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari R n (domain) ke R m (codomain) dituliskan : T : R n w = T(v) v : variabel tak bebas w : variabel bebas Sebagai suatu fungsi f : R Misalkan : Menunjukkan transformasi v ke w dari matrik A vektor RmRm R, contoh : f(x) = x 2

3 Secara umum persamaan matrik transformasi : Transformasi matrik A oleh vektor vektor Dituliskan sebagai berikut : T A : R 2 dalam R 2 menjadi dalam R 3. R3R3

4 Dengan kata lain : range(jarak) T A merupakan ruang kolom dari matrik A

5 Definisi : Transformasi Linier  Transformasi T : R n Jika : 1.T(u + v) = T(u) + T(v) untuk semua u dan v dalam R n 2.T(cv) = cT(v) untuk semua v dalam R n dan skalar c Contoh : T : R n Buktikan bahwa T adalah transformasi linier. R m disebut transformasi linier R m dinyatakan dengan

6 Jawab : Syarat 1 : T(u + v) = T(u) + T(v)

7 Syarat 2 : T(cv) = cT(v) Karena 2 syarat terpenuhi, maka T terbukti merupakan transformasi linier

8

9

10

11 Definisi transformasi linier juga dapat ditentukan dengan mengkombinasikan kedua syarat yaitu :  Transformasi T : R n jika : T(c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1 T(v 1 ) + c 2 T(v 2 ) untuk semua v 1, v 2 dalam R n dan skalar c 1, c 2  Matrik transformasi (T A ) adalah transformasi linier. Bukti : sehingga : T = T A dengan A = R m disebut transformasi linier

12  Transformasi T A : R n linier jika : T A (x) = Ax untuk x dalam R n dan A adalah matrik m x n Bukti : misalkan u dan v adalah vektor dalam R n dan c : skalar, kemudian : T A (u + v) = A(u + v)= Au + Av = T A (u)+T A (v) dan T A (cv) = A(cv) = c(Av) = cT A (v) Dengan demikian : T A merupakan transformasi linier. R m disebut transformasi

13  Misalkan T: R n Kemudian T adalah matrik transformasi, khususnya T = T A dengan A adalah matrik m x n Maka : disebut sebagai matrik standar dari transformasi linier T Bukti : x adalah vektor dalam R n dapat dituliskan: x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ……….+ x n e n Jadi T(x) = T(x 1 e 1 + x 2 e 2 + ……….+ x n e n ) = x 1 T(e 1 )+x 2 T(e 2 )+ ……..+x n T(e n ) R m merupakan transformasi linier.

14 Contoh :

15

16 Sifat-sifat transformasi linier : Jika T : V 1.T(0) = 0 2.T(– v) = – T(v) untuk semua v dalam V 3.T(u – v) = T(u) – T(v) untuk semua u dan v dalam V Contoh : Anggap T adalah transformasi linier dari R 2 ke P 2 seperti Carilah : W adalah transformasi linier, maka :

17 Jawab : Karena : setiap vektor dalam R 2 berada dalam jangkauan (B) Maka : Diperoleh nilai c 1 = – 7 dan c 2 = 3, sehingga : adalah basis dari R 2, sehingga

18 Dengan cara yang sama diperoleh bahwa : Maka :

19 Komposisi dari suatu transformasi Komposisi dari dua transformasi T: R m diikuti S: R n Jika : T: R m kemudian S T: R m maka matrik standarnya adalah : R n yang R p dituliskan : S T v T(v) S(T(v)) = (S T)(v) RmRm RnRn RpRp T S S T R n dan S: R n R p transformasi linier, R p adalah transformasi linier,

20 Contoh : Transformasi linier T: R 2 Transformasi linier S: R 3 Cari : S T : R 2 R 3 didefinisikan sebagai : R 4 didefinisikan sebagai : R4R4

21 Jawab : Matrik standar : dan

22 Cara lain : Dengan mensubstitusikan ke S, maka diperoleh :

23 Anggap : T : R 2 S : P 1 yang ditunjukkan oleh : Carilah : Jawab : transformasi linier P1P1 P2P2

24 Invers dari Transformasi Linier Definisi : Transformasi linier T: V transformasi linier T: W Maka : T’ disebut invers dari T Contoh : Tunjukkan bahwa pemetaan T : R 2 dinyatakan sebagai : merupakan invers ! W memiliki invers jika ada V sehingga T’ T = I v dan T T’ = I w P 1 dan T’: P 1 R 2 yang

25 Jawab : Dan : c +(c+(d – c))x= c + dx Jadi : Oleh karena itu : T dan T’ merupakan invers

26 Kernel dan range transformasi linier Definisi : Jika T : V Kernel T yang ditulis ker(T) adalah himpunan semua vektor dalam V yang merupakan pemetaan hasil T ke 0 dalam W. Range T yang ditulis range(T) adalah himpunan semua vektor dalam W yang merupakan bayangan vektor V hasil T W adalah transformasi linier ker (T) = {v dalam V : T(v)= 0 range (T) = {T(v) : v dalam V} = {w dalam W: w = T(v) untuk semua v dalam V}

27 Jika T : V Maka : a.Kernel T merupakan subruang V dan dimensi kernel dikenal sebagai nulity : nullity (T) b.Range T merupakan subruang W dan dimensi range dikenal sebagai rank : rank (T) W adalah transformasi linier Kernel dan range dari T : V W T V W 0 0 range(T) ker(T)

28 Transformasi satu - satu T : V T merupakan pemetaan vektor dalam V ke vektor dalam W T : satu - satu Untuk semua u dan v dalam V u ≠ v T(u) ≠ T(v) T(u) = T(v) u = v W adalah transformasi linier satu - satu jika T WV T WV T : bukan satu - satu

29 Transformasi Onto : T : V w dalam W jika minimal terdapat 1 v dalam V sehingga : W adalah transformasi linier onto untuk semua T : onto T : bukan onto w = T(v)

30  Misalkan dim V = dim W = n dan transformasi linier T: V onto. Bukti : Jika T adalah satu – satu, maka nulity (T) = 0 Teorema rank : rank (T) = dim V – nulity(T) = n – 0 = n Oleh karena itu T adalah onto. Sebaliknya, jika T adalah onto, maka rank(T)= dim W = n Teorema rank : nulity (T) = dim V – rank (T) = n – n = 0 Sehingga ker (T) = {0} dan T adalah satu -satu W adalah satu – satu, jika dan hanya jika :

31 Contoh : Transformasi T : R 2 merupakan transformasi satu-satu atau onto ? Jawab : Misalkan : Sehingga diperoleh : x 1 = x 2 dan y 1 = y 2 Jadi : R3R3 dinyatakan dengan :,maka : maka T adalah satu-satu

32 T bukan onto, karena range tidak semua dari R 3 menjadi nyata. Terdapat besaran bukan vektor dalam R 2 seperti : Contoh : Tunjukkan bahwa T : R 2 sebagai : adalah transformasi linier satu - satu P 1 dinyatakan

33 Jawab : Jika Sehingga diperoleh : Akibatnya : ker (T) = Dengan menggunakan teorema rank : Rank(T) = dim R 2 – nulity(T) = 2 – 0 = 2 Oleh karena range (T) dimensi 2 dalam sub-ruang R 2 Maka T adalah onto adalah ker (T), maka : dan T adalah satu - satu

34 Kesamaan bentuk (isomorph) ruang vektor Definisi : Transformasi linier T : V satu – satu dan onto. Jika V dan W merupakan ruang vektor yang memiliki kesamaan bentuk disebut V isomorph W dan dituliskan : V Sifat-sifat isomorph : 1. Jika T merupakan isomorph, maka demikian juga T T merupakan isomorph jika dan hanya jika ker(T) = {0} dan range (T) = W 3. Jika v 1, v 2 ……..v k adalah basis dalam V, maka T(v 1 ), T(v 2 )…..T(v k ) adalah basis dalam W 4. Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi terbatas, maka V isomorph W jika dan hanya jika dim(V) = dim (W). W dikatakan isomorph, jika W

35 Latihan : 1.Tunjukkan apakah T : R 3 dalam : merupakan transformasi linier ! 2. Tunjukkan apakah T : R 3 dalam : merupakan transformasi linier ! P 2 yang dinyatakan M 2x2 yang dinyatakan


Download ppt "Transformasi Linier. Definisi : Transformasi Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari R n (domain) ke R m (codomain) dituliskan : T : R n w = T(v) v."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google