Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Z n = { 0, 1, 2,…,n-1 } dari bilangan bulat modulo n. Jika a, b dalam Z n maka pergandaan dari a b ( mod.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Z n = { 0, 1, 2,…,n-1 } dari bilangan bulat modulo n. Jika a, b dalam Z n maka pergandaan dari a b ( mod."— Transcript presentasi:

1

2 Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Z n = { 0, 1, 2,…,n-1 } dari bilangan bulat modulo n. Jika a, b dalam Z n maka pergandaan dari a b ( mod n ) adalah : Gandakan bilangan bulat a dan b Ambil sisa pembagian dari ab dengan n yaitu r. Berarti a b = r. Mudah dibuktikan bahwa untuk n > 1, Z n mengandung identitas pergandaan 1. Tetapi dalam Z n, invers terhadap pergandaan tidak selalu ada sehingga Z n bukanlah grup terhadap operasi pergandaan. Untuk n  2 didefinisikan Z n * = { x dalam Z n | x mempunyai invers pergandaan dalam Z n }.

3 Teorema V.1 Untuk n  2 maka merupakan grup abelian. Contoh V.1 Z 2 * = { x dalam Z 2 | x mempunyai invers pergandaan dalam Z 2 } = { 1 }. Berarti Z 2 * mempunyai order 1 dan elemen 1 dalam Z 2 * mempunyai order 1. Grup bagian dalam Z 2 * hanyalah Z 2 *.

4 Contoh V.2 Z 3 * = { x dalam Z 3 | x mempunyai invers pergandaan dalam Z 3 } = { 1, 2 }. Berarti Z 3 * mempunyai order 2 dan elemen 1 dalam Z 3 * mempunyai 1 karena (1) = { 1 }. Elemen 2 dalam mempunyai order 2 karena (2) = { 2 k | k  Z } = { 1, 2}. Grup bagian dalam Z 3 * hanyalah {1} dan Z 3 *. Demikian juga karena ada elemen dalam yang mempunyai order 2 maka merupakan grup siklik.

5 Contoh V.4: Dapat dibuktikan bahwa Z 8 * =  1, 3, 5, 7  dan merupakan suatu grup abelian dengan orde 4 dan anggotanya memenuhi 1 1 = 3 2 = 5 2 = 7 2 = 1. Oleh karena itu anggota-anggotanya mempunyai orde 1 atau 2 dan akibatnya Z 8 * tidak siklik. Teorema V.2 Anggota Z n * adalah anggota a dalam Z n sehingga pembagi persekutuan terbesar dari a dan n adalah 1 atau d = FPB( a, n ) = 1.

6

7 Contoh V.5 Jika p bilangan prima maka sebarang anggota tidak nol dalam Z p akan prima relatif dengan p sehingga Z p * =  1, 2, 3, ….., p-1  dan berarti orde dari Z p * adalah p-1. Contoh V.6 Z 15 * mengandung semua anggota a dalam Z 15 sehingga a prima relatif dengan 15. Dalam hal ini Z 15 * =  1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14  dan 9  Z 15 * karena (9,15) = 3.

8 LATIHAN Berikan sifat-sifat dari Z 4 *. Berikan sifat-sifat dari Z 5 *. Berikan sifat-sifat dari Z p * dengan p bilangan prima. Buktikan mengapa setiap Z n * dengan n  3 mempunyai orde genap. Diketahui G grup dan a dalam G yang memenuhi a 8  e dan a 16 = e. Tentukan orde a dan beri alasannya. Berikan contoh khusus dari grup G dan a dalam G yang memenuhi a 6  e dan a 12 = e tetapi order dari a tidak sama dengan 12. Berikan sifat dari yaitu Z 6 *, Z 9 * dan Z 25 *.

9


Download ppt "Pergandaan dapat didefinisikan pada himpunan Z n = { 0, 1, 2,…,n-1 } dari bilangan bulat modulo n. Jika a, b dalam Z n maka pergandaan dari a b ( mod."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google