Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Oleh Isty Yulianti 0700781. TEORI BILANGAN AKAR PRIMITIF TEOREMA EULER ORDER BILANGAN BULAT.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Oleh Isty Yulianti 0700781. TEORI BILANGAN AKAR PRIMITIF TEOREMA EULER ORDER BILANGAN BULAT."— Transcript presentasi:

1 Oleh Isty Yulianti

2 TEORI BILANGAN AKAR PRIMITIF TEOREMA EULER ORDER BILANGAN BULAT

3 Bilangan bulat modulo m yang bagaimanakah yang memiliki akar primitif? Berapa banyak akar primitif yang ada pada suatu bilangan bulat modulo m? 1 2

4 Misalkan a, m dengan m > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ord m a adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga a n ≡1 mod m.

5 Order dari 2 modulo 7 dapat diperoleh dengan mencari pangkat positif dari 2 yang menghasilkan residu 1 (modulo 7). Maka, 2 1 ≡ 2 mod 7, 2 2 ≡ 4 mod 7, dan 2 3 ≡ 1 mod 7. Jadi order dari 2 modulo 7 adalah 3, yang dinotasikan dengan ord 7 2 = 3.

6 TEOREMA EULER Jika ppb(a, m) = 1, maka a  (m) mod m = 1 atau a  (m)  1 (mod m). DEFINISI ORDER Jika a, m dengan m > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ord m a adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga a n  1 (mod m).

7 Jika ada suatu bilangan bulat r dan order dari r modulo m adalah (m), maka r disebut akar primitif modulo m Ord m r = (m)

8 Perhatikan Bilangan Bulat Modulo 7! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 7 adalah 6 1 bukan akar primitif modulo 7 karena ord 7 1 = 1 ≠ (7). 2 bukan akar primitif modulo 7 karena ord 7 2 = 3 ≠ (7). 3 adalah akar primitif modulo 7 karena ord 7 3 = 6 = (7). Apakah semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif? Apakah akar primitif modulo 7?

9 Perhatikan Modulo 8! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 8 adalah 4 yaitu 1, 3, 5, dan 7 sehingga (8) = 4. Berdasarkan definisi, maka uji untuk bilangan bulat yang relatif prim dengan 8. ord 8 1 = 1 ord 8 3 = 2 ord 8 5 = 2 dan ord 8 7 = 2 Jadi, modulo 8 tidak memiliki akar primitif. Tidak semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif

10 Apakah akar primitif modulo m itu unik? Perhatikan Modulo 14! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 adalah 6 yaitu 1, 3, 5, 9, 11, dan 13. Berdasarkan definisi, uji bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 tersebut! ord 14 1 = 1 karena 1 1  1 (mod 14) ord 14 3 = 6 karena 3 6  1 (mod 14) ord 14 5 = 6 karena 5 6  1 (mod 14) ord 14 9 = 3 karena 9 3  1 (mod 14) ord = 3 karena 11 3  1 (mod 14) ord = 2 karena  1 (mod 14) Jadi, 3 dan 5 adalah akar primitif modulo 14.

11 Bagaimana cara mengatahui berapa banyak akar primitif pada bilangan bulat modulo m? TEOREMA Jika akar primitif modulo m ada, maka terdapat tepat sebanyak ((m)) akar primitif yang tidak saling kongruen _______

12 Bagaimanakah akar primitif pada bilangan prima? Misal p sebuah bilangan prima dan d ∊ dengan d > 0 dan d ‌‌ ∣ p -1. Maka terdapat tepat sebanyak ( d ) bilangan bulat yang tidak saling kongruen yang mempunyai order d modulo p.

13 Misal p bilangan prima, maka terdapat tepat sebanyak ( p – 1) akar primitif yang tidak saling kongruen modulo p. akar primitif dari suatu bilangan prima selalu ada

14 Adakah bilangan lain yang memiliki akar primitif? Dari contoh sebelumnya, Modulo 7 memiliki akar primitif Modulo 8 tidak memiliki akar primitif Semua bilangan prima memiliki akar primitif

15 Modulo 2 Modulo 4 Modulo 8 Modulo 16 Modulo 2 n

16 Tidak ada akar primitif modulo 2 n dimana n ∊ dan n ≥ 3. _________

17 Bagaimana akar primitif pada bilangan yang berbentuk mn dengan m dan n yang relatif prim? Bagaimana akar primitif pada bilangan yang berbentuk mn dengan m dan n yang relatif prim? Contoh 2. Diketahui 3 dan 4 saling relatif prim. Maka akan dicari akar primitif modulo (3.4) atau modulo 12. (12)= 4 yaitu 1, 5, 7 dan  1 (mod 12) ⇒ ord 12 1 = 1 ≠ (12) 5 2  1 (mod 12) ⇒ ord 12 5 = 2 ≠ (12) 7 2  1 (mod 12) ⇒ ord 12 7 = 2 ≠ (12) 11 2  1 (mod 12) ⇒ ord = 2 ≠ (12) Jadi, modulo 12 tidak memiliki akar primitif Contoh 2. Diketahui 3 dan 4 saling relatif prim. Maka akan dicari akar primitif modulo (3.4) atau modulo 12. (12)= 4 yaitu 1, 5, 7 dan  1 (mod 12) ⇒ ord 12 1 = 1 ≠ (12) 5 2  1 (mod 12) ⇒ ord 12 5 = 2 ≠ (12) 7 2  1 (mod 12) ⇒ ord 12 7 = 2 ≠ (12) 11 2  1 (mod 12) ⇒ ord = 2 ≠ (12) Jadi, modulo 12 tidak memiliki akar primitif Contoh 1. Diketahui 1 dan 2 saling relatif prim. Maka akar primitif modulo (1.2) atau modulo 2 adalah  1 (mod 2) ⇒ ord 2 1 = 1 = (2) Contoh 1. Diketahui 1 dan 2 saling relatif prim. Maka akar primitif modulo (1.2) atau modulo 2 adalah  1 (mod 2) ⇒ ord 2 1 = 1 = (2)

18 _______ _______ Tidak ada akar primitif modulo mn dimana m, n ∊, m, n > 2 dan ppb(m, n)=1.

19 Misalkan m dengan m > 0. Jika m dapat dibagi oleh dua bilangan prima ganjil yang berbeda atau m dapat dibagi oleh bilangan prima ganjil dan 4, maka tidak akan ada akar primitif modulo m

20 Jika akar primitif modulo m ada, maka m harus sama dengan 1, 2, 4, p n, atau 2 p n dimana p adalah bilangan prima ganjil dan n adalah bilangan bulat positif. Jika akar primitif modulo m ada, maka m harus sama dengan 1, 2, 4, p n, atau 2 p n dimana p adalah bilangan prima ganjil dan n adalah bilangan bulat positif. KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF


Download ppt "Oleh Isty Yulianti 0700781. TEORI BILANGAN AKAR PRIMITIF TEOREMA EULER ORDER BILANGAN BULAT."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google