Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matematika Diskrit 4. TEORI BILANGAN Kuliah 7 Dr.-Ing. Erwin Sitompul

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matematika Diskrit 4. TEORI BILANGAN Kuliah 7 Dr.-Ing. Erwin Sitompul"— Transcript presentasi:

1 Matematika Diskrit 4. TEORI BILANGAN Kuliah 7 Dr.-Ing. Erwin Sitompul

2 7/2 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal. Misalnya: 8 ; 21 ; 8765 ; –34 ; 0.  Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil, yang mempunyai pecahan desimal. Misalnya: 8,0 ; 34,25 ; 0,02. Bilangan Bulat

3 7/3 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Misalkan a dan b bilangan bulat, a  0. Maka a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.  Notasi: a | b jika b = ac, c  Z dan a  0. Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat Contoh: (a)4 | 12 karena 12/4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3. (b)4 | 13 karena 13/4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).

4 7/4 Erwin SitompulMatematika Diskrit Teorema Euclidean 1: Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq + r dengan 0  r < n. Teorema Euclidean Contoh: (a)1987/97= 20, sisa = 97  (b)25/7= 3, sisa 4 25= 7  (c)–25/7= –4, sisa 3 –25= 7  (–4) + 3 Tetapi bukan –25 = 7  (–3) – 4, karena remainder r = –4 (sementara syarat 0  r < n)

5 7/5 Erwin SitompulMatematika Diskrit Pembagi Bersama Terbesar (PBT)  Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.  Pembagi bersama terbesar (PBT, greatest common divisor) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b.  Dalam hal ini dituliskan bahwa PBT(a,b) = d. Contoh: Tentukan PBT(45,36) !  Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.  Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.  Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9. Dengan cara enumerasi di atas, didapatkan PBT(45,36) = 9.

6 7/6 Erwin SitompulMatematika Diskrit Teorema Euclidean 2: Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0, sedemikian sehingga m = nq + r, 0  r < n. Maka PBT(m,n) = PBT(n,r). Contoh: Ambil nilai m = 66, n = 18, 66 = 18  Maka PBT(66,18) = PBT(18,12) = 6 Pembagi Bersama Terbesar (PBT)

7 7/7 Erwin SitompulMatematika Diskrit Algoritma Euclidean  Tujuan Algoritma untuk mencari PBT dari dua buah bilangan bulat.  Penemu Euclid, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritma tersebut dalam bukunya, “Element”.

8 7/8 Erwin SitompulMatematika Diskrit Algoritma Euclidean Bila m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan m  n, misalkan r 0 = m dan r 1 = n. Lakukan pembagian berikut secara berturut-turut untuk memperoleh: r 0 = r 1 q 1 + r 2 0  r 2  r 1, r 1 = r 2 q 2 + r 3 0  r 3  r 2, r i–2 = r i–1 q i–1 + r i 0  r i  r i–1, r i–1 = r i q i + 0 Menurut Teorema Euclidean 2, PBT(m,n) = PBT(r 0,r 1 ) = PBT(r 1,r 2 ) = … = PBT(r i–2,r i–1 ) = PBT(r i–1,r i ) = PBT(r i,0) = r i Jadi, PBT dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut, yaitu r i. …

9 7/9 Erwin SitompulMatematika Diskrit Algoritma Euclidean Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m  n). Algoritma Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n. Algoritma Euclidean 1. Jika n = 0 maka m adalah PBT(m,n); STOP. Jika n  0, lanjutkan ke Langkah 2. 2.Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. 3. Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali ke Langkah 1.

10 7/10 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Ambil m = 80, n = 12, dengan demikian syarat m  n dipenuhi. 80 = 12  = 8  = 4  n = 0  m = 4 adalah PBT(80,12) = 4; STOP. Algoritma Euclidean

11 7/11 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kombinasi Linier  PBT(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier (linear combination) dari a dan b dengan koefisien- koefisennya yang dapat dipilih bebas. Contoh : PBT(80,12) = 4, maka 4 = (–1)   12 Koefisien, dapat dipilih bebas Teorema Kombinasi Linier: Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBT(a,b) = ma + nb.

12 7/12 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kombinasi Linier Contoh: Nyatakan PBT(312,70) = 2 sebagai kombinasi linier dari 312 dan 70! Solusi: Terapkan Algoritma Euclidean untuk memperoleh PBT(312,70) = 2 sbb: 312 = 4  (1) 70 = 2  (2) 32 = 5  6 + 2(3) 6 = 3  2 + 0(4) Susun (3) menjadi 2 = 32 – 5  6(5) Susun (2) menjadi 6 = 70 – 2  32(6) Masukkan (6) ke (5) menjadi 2 = 32 – 5  (70 – 2  32) = 1  32 – 5   32 = 11  32 – 5  70(7) Susun (1) menjadi 32 = 312 – 4  70(8) Masukkan (8) ke (7) menjadi 2 = 11  32 – 5  70 = 11  (312 – 4  70) – 5  70 = 11  312 – 49  70 Jadi, PBT(312, 70) = 2 = 11  312 – 49  70

13 7/13 Erwin SitompulMatematika Diskrit Aritmatika Modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif, maka a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = rsedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m Hasil dari modulo m terletak di dalam himpunan { 0,1,2,…,m–1 }

14 7/14 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kongruen  Amati 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3. Maka dikatakan 38  13 (mod 5). Cara baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5.  Misalkan a dan b bilangan bulat dan m > 0. Jika m habis membagi a – b, maka a  b (mod m).  Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a  b (mod m).

15 7/15 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kongruen Contoh:  17  2 (mod 3)  3 habis membagi 17–2 = 15  –7  15 (mod 11)  11 habis membagi –7–15 = –22  12  2 (mod 7)  7 tidak habis membagi 12–2 = 10  –7  15 (mod 3)  3 tidak habis membagi –7–15 = –22

16 7/16 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kongruen Contoh :  17  2 (mod 3)  17 =  3  –7  15 (mod 11)  –7 = 15 + (–2)  11 Contoh :  23 mod 5 = 3  23  3 (mod 5)  6 mod 8 = 6  6  6 (mod 8)  0 mod 12 = 0  0  0 (mod 12)  –41 mod 9 = 4  –41  4 (mod 9)  –39 mod 13 = 0  –39  0 (mod 13) a  b (mod m) dapat dituliskan sebagai a = b + km (k adalah bilangan bulat). a mod m = r dapat juga ditulis sebagai a  r (mod m).

17 7/17 Erwin SitompulMatematika Diskrit Teorema Kongruen: Misalkan m adalah bilangan bulat positif. 1.Jika a  b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat, maka i. (a + c)  (b + c) (mod m) ii. ac  bc (mod m) iii. a p  b p (mod m), p bilangan bulat tak-negatif 2. Jika a  b (mod m) dan c  d (mod m), maka i. (a + c)  (b + d) (mod m) ii. ac  bd (mod m) Kongruen

18 7/18 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kongruen Contoh : Misalkan 17  2 (mod 3) dan 10  4 (mod 3), maka menurut Teorema Kongruen,   (mod 3)  22  7 (mod 3)  17  5  2  5 (mod 3)  85  10 (mod 3)   (mod 3)  27  6 (mod 3)  17  10  2  4 (mod 3)  170  8 (mod 3)

19 7/19 Erwin SitompulMatematika Diskrit Bilangan Prima  Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p. Contoh : 23 adalah bilangan prima, karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.  Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Contoh : 20 adalah bilangan komposit, karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

20 7/20 Erwin SitompulMatematika Diskrit Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBT(a,b) = 1. Relatif Prima Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga ma + nb = 1. Contoh :  20 dan 3 relatif prima, sebab PBT(20,3) = 1.  7 dan 11 relatif prima, karena PBT(7,11) = 1.  20 dan 5 tidak relatif prima, sebab PBT(20,5) = 5 ≠ 1. Contoh :  Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBT(20,3) =1, sehingga dapat ditulis 2  20 + (–13)  3 = 1 (m = 2, n = –13).  Bilangan 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBT(20,5) ≠ 1, sehingga 20 dan 5 tidak dapat dituliskan m  20 + n  5 = 1.

21 7/21 Erwin SitompulMatematika Diskrit Inversi Modulo  Di dalam aritmatika bilangan riil, inversi (balikan, inverse) dari perkalian adalah pembagian.  Contohnya, inversi 4 adalah 1/4, sebab 4  1/4 = 1.  Di dalam aritmatika modulo, masalah menghitung inversi modulo lebih sukar.  Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka terdapat inversi (balikan) dari a modulo m.  Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat x sedemikian sehingga ax  1 (mod m).

22 7/22 Erwin SitompulMatematika Diskrit Inversi Modulo Contoh : Tentukan balikan dari 4 (mod 9) ! Solusi: Karena PBT(4,9) = 1, maka inversi dari 4 (mod 9) ada. Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa 9 = 2  Susun persamaan di atas menjadi –2   9 = 1. Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa –2 adalah inversi (balikan) dari 4 (mod 9).  Periksa bahwa –2  4  1 (mod 9)

23 7/23 Erwin SitompulMatematika Diskrit Inversi Modulo Catatan: Setiap bilangan yang kongruen dengan –2 (mod 9) adalah juga inversi dari 4. Contoh :  7  –2 (mod 9)  9 habis membagi 7 – (–2) = 9  –11  –2 (mod 9)  9 habis membagi –11 – (–2) = –9  16  –2 (mod 9)  9 habis membagi 16 – (–2) = 18

24 7/24 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh : Tentukan balikan dari 17 (mod 7) ! Solusi: Karena PBT(17,7) = 1, maka inversi dari 17 (mod 7) ada. Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa 17 = 2  7 + 3(1) 7 = 2  (2) 3 = 3  (3) Susun (2) menjadi 1 = 7 – 2  3 (4) Susun (1) menjadi 3 = 17 – 2  7(5) Masukkan (5) ke (4) 1 = 7 – 2  (17 – 2  7) 1 = –2   7 Inversi Modulo Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa –2 adalah inversi (balikan) dari 17 (mod 7)  Periksa –2  17  1 (mod 7)

25 7/25 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh : Tentukan balikan dari 18 (mod 10) ! Solusi: Karena PBT(18,10) = 2 ≠ 1, maka inversi dari 18 (mod 10) tidak ada. Inversi Modulo

26 7/26 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kongruensi Linier Kongruensi linier berbentuk: ax  b (mod m), dimana m > 0, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah variabel bilangan bulat. Pemecahan: ax = b + km  x = (b + km) / a Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang memberikan hasil x bilangan bulat.

27 7/27 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kongruensi Linier Contoh : Tentukan solusi untuk 4x  3 (mod 9) ! Solusi: 4x  3 (mod 9)  x = (3 + k  9 ) / 4 k = 0  x = (3 + 0  9) / 4 = 3/4  bukan solusi k = 1  x = (3 + 1  9) / 4 = 3  solusi k = 2  x = (3 + 2  9) / 4 = 21/4  bukan solusi k = 3, k = 4  tidak memberi solusi k = 5  x = (3 + 5  9) / 4 = 12  solusi … k = –1  x = (3 – 1  9) / 4 = –6/4  bukan solusi k = –2  x = (3 – 2  9) / 4 = –15/4  bukan solusi k = –3  x = (3 – 3  9) / 4 = –6  solusi … k = –7  x = (3 – 7  9) / 4 = –15  solusi … Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …

28 7/28 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh : Tentukan solusi untuk 2x  3 (mod 4) ! Solusi: 2x  3 (mod 4)  x = (3 + k  4 ) / 2  Oleh karena k  4 adalah selalu bilangan genap, maka 3 + k  4 akan selalu memberikan hasil bilangan ganjil.  Bila bilangan ganjil dibagi 2, maka hasilnya akan selalu bilangan pecahan.  Dengan demikian, tidak ada nilai x yang memenuhi 2x  3 (mod 4). Kongruensi Linier

29 7/29 Erwin SitompulMatematika Diskrit Kongruensi Linier Contoh : Tentukan x sedemikian hingga 3x  4 (mod 7) ! Solusi: 3x  4 (mod 7) (3) –1  3x  (3) –1  4 (mod 7) x  (3) –1  4 (mod 7) x  –2  4 (mod 7) x  –8 (mod 7) x  6 (mod 7) x={..., –8, –1, 6, 13, 19,...}

30 7/30 Erwin SitompulMatematika Diskrit Aplikasi Teori Bilangan: ISBN  ISBN (International Standard Book Number)  Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0– 3015–4561–9.  ISBN terdiri atas empat bagian kode:  Kode yang mengidentifikasikan bahasa  Kode yang mengidentifikasikan penerbit  Kode unik untuk buku tersebut  Karakter uji pada posisi terakhir (berupa angka atau huruf X)

31 7/31 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Karakter uji dipilih sedemikian hingga Aplikasi Teori Bilangan: ISBN Contoh : ISBN 0–3015–4561–8 0: kode kelompok negara berbahasa Inggris, 3015: kode penerbit 4561: kode unik buku yang diterbitkan 8 : karakter uji. Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut: 1          1 = 151 Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8

32 7/32 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh : ISBN  Mulai Januari 2007 digunakan ISBN dengan 13 digit  Cara perhitungan menjadi berbeda dan dipergunakan modulo 10 Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut: 9             3 = 100 Jadi, karakter ujinya adalah x 13  0 (mod 10) x 13 = 0 Aplikasi Teori Bilangan: ISBN

33 7/33 Erwin SitompulMatematika Diskrit Pekerjaan Rumah (PR7) Tentukan PBT(216,88) dan nyatakanlah PBT tersebut sebagai kombinasi linier 216 dan 88. No.1: No.2: Diberikan sebuah kode ISBN-13: Periksalah apakah kode tersebut sahih atau tidak. Petunjuk: Periksa karakter uji dari ISBN tersebut.

34 7/34 Erwin SitompulMatematika Diskrit Pekerjaan Rumah (PR7) New Tentukan solusi untuk 5x  7 (mod 11) ! No.1: No.2: Bila diberikan kode ISBN-10: , periksa apakah kode ini adalah valid atau tidak. Petunjuk: Periksa karakter uji dari kode ISBN tersebut. No.3: Sukarela untuk tambahan 20 poin Kode ISBN-13: A054 adalah valid. Berapakah nilai dari A?


Download ppt "Matematika Diskrit 4. TEORI BILANGAN Kuliah 7 Dr.-Ing. Erwin Sitompul"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google