Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 5 Dr.-Ing. Erwin Sitompul

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 5 Dr.-Ing. Erwin Sitompul"— Transcript presentasi:

1 Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 5 Dr.-Ing. Erwin Sitompul

2 5/2 Erwin SitompulMatematika Diskrit Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku: a)A  (A  B) = A  B b)A  (A  B) = A  B Pekerjaan Rumah (PR 4)

3 5/3 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi: a) A  (A  B) = (A  A)  (A  B) Hk. Distributif = U  (A  B) Hk. Komplemen  = A  B Hk. Identitas Solusi Pekerjaan Rumah (PR 4) b) A  (A  B) = (A  A)  (A  B) Hk. Distributif =   (A  B) Hk. Komplemen  = A  B Hk. Identitas

4 5/4 Erwin SitompulMatematika Diskrit Matriks  Matriks adalah susunan elemen-elemen skalar dalam bentuk baris dan kolom.  Ukuran suatu matriks A dinyatakan dengan jumlah baris m dan jumlah kolom n, (m,n).  Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n  n.  Contoh matriks, yang berukuran 3  4, adalah:

5 5/5 Erwin SitompulMatematika Diskrit Matriks  Matriks simetri adalah matriks dengan a ij = a ji untuk setiap i dan j.  Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

6 5/6 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi  Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian (improper subset) dari A  B.  Notasi: R  (A  B)  a R b adalah notasi untuk (a,b)  R, yang artinya relasi R menghubungkan a dengan b.  a R b adalah notasi untuk (a,b)  R, yang artinya relasi R tidak menghubungkan a dengan b.  Himpunan A adalah daerah asal (domain) dari R. Himpunan B adalah daerah hasil (range) dari R.

7 5/7 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan A = { Amir, Budi, Cora } B = { Discrete Mathematics (DM), Data Structure and Algorithm (DSA), State Philosophy (SP), English III (E3) } A  B = { (Amir,DM), (Amir, DSA), (Amir,SP), (Amir,E3), (Budi,DM), (Budi, DSA), (Budi,SP), (Budi,E3), (Cora,DM), (Cora, DSA), (Cora,SP), (Cora,E3) } Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa IT pada semester Mei-Agustus, yaitu: R = { (Amir,DM), (Amir, SP), (Budi,DM), (Budi,E3), (Cora,SP) } Dapat dilihat bahwa:  R  (A  B)  A adalah daerah asal R, B adalah daerah hasil R  (Amir,DM)  R atau Amir R DM  (Amir,DSA)  R atau Amir R DSA Relasi

8 5/8 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 } Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p,q)  R jika p habis membagi q, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }. Relasi

9 5/9 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan R adalah relasi pada A = { 2,3,4,8,9 } yang didefinisikan oleh (x,y)  R jika x adalah faktor prima dari y, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9) }. Relasi  Relasi pada satu himpunan adalah suatu relasi yang khusus.  Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A  A.  Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A  A.

10 5/10 Erwin SitompulMatematika Diskrit Representasi Relasi 1. Representasi dengan Diagram Panah

11 5/11 Erwin SitompulMatematika Diskrit Representasi Relasi 2. Representasi dengan Tabel

12 5/12 Erwin SitompulMatematika Diskrit Representasi Relasi 3. Representasi dengan Matriks  Misalkan R adalah relasi dari A = { a 1,a 2, …,a m } dan B = { b 1,b 2, …,b n }.  Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m ij ] dimana:

13 5/13 Erwin SitompulMatematika Diskrit Representasi Relasi a 1 = Amir, a 2 = Budi, a 3 = Cora, dan b 1 = DM, b 2 = DSA, b 3 = SP, dan b 4 = E3 p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 4, dan q 1 = 2, q 2 = 4, q 3 = 8, q 4 = 9, q 5 = 15 a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 4, a 4 = 8, a 5 = 9

14 5/14 Erwin SitompulMatematika Diskrit 4. Representasi dengan Graf (Graph) Berarah Representasi Relasi  Relasi pada satu himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph).  Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.  Tiap anggota himpunan dinyatakan dengan sebuah simpul (vertex), dan tiap relasi dinyatakan dengan busur (arc).  Jika (a,b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).  Pasangan relasi (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang (loop).

15 5/15 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan R = { (a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d,b) } adalah relasi pada himpunan { a,b,c,d }, maka R dapat direpresentasikan dengan graf berarah sbb: Representasi Relasi

16 5/16 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Relasi-relasi pada satu himpunan disebut juga relasi biner.  Relasi biner memiliki sifat-sifat: 1.Refleksif (reflexive) 2.Menghantar (transitive) 3.Simetris (symmetric) dan anti simetris (antisymmetric) Relasi Biner

17 5/17 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi Biner 1. Refleksif (Reflexive)  Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)  R untuk setiap a  A.  Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a,a)  R. Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a)Relasi R = { (1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4) } bersifat refleksif karena terdapat anggota relasi yang berbentuk (a,a) untuk tiap a yang mungkin, yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4). (b) Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4) } tidak refleksif karena (3,3)  R.

18 5/18 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Diberikan relasi “habis membagi” untuk himpunan bilangan bulat positif. Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak? Setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri  (a,a)  R untuk setiap a  A  relasi bersifat refleksif Relasi Biner Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4,T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak? S tidak refleksif, karena walaupun (2,2) adalah anggota S, ada (a,a)  S untuk a  N, seperti (1,1), (3,3). T tidak refleksif karena bahkan tidak ada satu pun (a,a)  T yang memenuhi relasi tersebut.

19 5/19 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi Biner  Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n.  Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan dengan adanya gelang pada setiap simpulnya.

20 5/20 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi Biner 2. Menghantar (Transitive)  Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b)  R dan (b,c)  R, maka (a,c)  R untuk semua a, b, c  A.

21 5/21 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan A = { 1, 2, 3, 4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a)R = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3) } bersifat menghantar. (b)R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2)  R, tetapi (2,2)  R, juga (4,2) dan (2,3)  R, tetapi (4,3)  R. (c)R = { (1,2), (3,4) } bersifat menghantar karena tidak ada pelanggaran untuk aturan { (a,b)  R dan (b,c)  R }  (a,c)  R. Relasi Biner Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = { (4,5) } selalu menghantar.

22 5/22 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar atau tidak? Bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c, maka pasti a habis membagi c. { a R b  b R c }  a R c Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4,T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat menghantar atau tidak? S tidak menghantar, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S, tetapi (3,3) dan (1,1) bukan anggota S. T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidak menghantar karena (3,7)  R. Relasi Biner

23 5/23 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a,b)  R, maka (b,a)  R untuk semua a,b  A.  Relasi R pada himpunan A tidak simetris jika (a,b)  R sedemikian sehingga (b,a)  R.  Relasi R pada himpunan A sedemi- kian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R hanya jika a = b untuk a,b  A disebut anti simetris.  Relasi R pada himpunan A tidak anti simetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R. Relasi Biner 3. Simetris (Symmetric) dan Anti Simetris (Antisymmetric) Relasi Simetris Relasi Anti Simetris

24 5/24 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a)R = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4) } bersifat simetris, karena jika (a,b)  R maka juga (b,a)  R. Disini, (1,2) dan (2,1)  R, begitu juga (2,4) dan (4,2)  R. bersifat tidak anti simetris, karena misalnya (1,2)  R dan (2,1)  R padahal 1  2. (b)R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } bersifat tidak simetris, karena (2,3)  R, tetapi (3,2)  R. bersifat tidak anti simetris, karena terdapat (2,4)  R dan (4,2)  R padahal 2  4. Relasi Biner

25 5/25 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (c)R = { (1,1),(2,2),(3,3) } bersifat simetris dan anti simetris, karena (1,1)  R dan 1 = 1, (2,2)  R dan 2 = 2, dan (3,3)  R dan 3 = 3. (d)R = { (1,1),(1,2),(2,2),(2,3) } bersifat tidak simetris, karena (2,3)  R, tetapi (3,2)  R. bersifat anti simetris, karena (1,1)  R dan 1 = 1 dan, (2,2)  R dan 2 = 2. Relasi Biner

26 5/26 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (e)R = { (1,1),(2,4),(3,3),(4,2) } bersifat simetris. bersifat tidak anti simetris, karena terdapat (2,4) dan (4,2) pada R padahal 2  4. (f)R = { (1,2),(2,3),(1,3) } bersifat tidak simetris. bersifat anti simetris, karena tidak ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R.

27 5/27 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(4,4)} tidak simetris dan tidak anti simetris. R tidak simetris, karena (4,2)  R tetapi (2,4)  R. R tidak anti simetris, karena (2,3)  R dan (3,2)  R tetapi 2  3. Relasi Biner

28 5/28 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi Biner Contoh: Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat simetris? Anti simetris? Bersifat tidak simetris, karena jika a habis membagi b, maka b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Contohnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2,4)  R tetapi (4,2)  R. Bersifat anti simetris, karena jika a habis membagi b, dan b habis membagi a, maka hanya berlaku untuk a = b. Contohnya, 3 habis membagi 3, maka (3,3)  R dan 3 = 3.

29 5/29 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi Biner Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4,T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat simetris? Anti simetris? S bersifat simetris, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S. S bersifat tidak anti simetris, karena walaupun terdapat (2,2)  R, terdapat pula { (3,1),(1,3) }  R padahal 3  1. T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidak simetris. T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  anti simetris.

30 5/30 Erwin SitompulMatematika Diskrit Inversi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R –1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh: R –1 = { (b,a) | (a,b)  R }.

31 5/31 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 }. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p,q)  R jika p habis membagi q, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }. R –1 adalah inversi dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan: (q,p)  R –1 jika q adalah kelipatan dari p. Maka akan diperoleh: R –1 = { (2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4) }. Inversi Relasi

32 5/32 Erwin SitompulMatematika Diskrit Inversi Relasi Jika M adalah matriks yang merepresentasikan R, maka matriks yang merepresentasikan R –1, misalkan N, adalah transpose dari matriks M. N = M T berarti bahwa baris- baris dari M menjadi kolom- kolom dari N

33 5/33 Erwin SitompulMatematika Diskrit Pekerjaan Rumah (PR5) Untuk tiap-tiap relasi berikut pada himpunan A = { 1,2,3,4 }, tentukanlah apakah relasi tersebut refleksif, apakah menghantar, apakah simetris, dan apakah anti simetris: (a)R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } No.1: No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah.


Download ppt "Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 5 Dr.-Ing. Erwin Sitompul"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google