Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 6 Dr.-Ing. Erwin Sitompul

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 6 Dr.-Ing. Erwin Sitompul"— Transcript presentasi:

1 Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 6 Dr.-Ing. Erwin Sitompul

2 6/2 Erwin SitompulMatematika Diskrit Pekerjaan Rumah (PR5) Untuk tiap-tiap relasi berikut pada himpunan A = { 1,2,3,4 }, tentukanlah apakah relasi tersebut refleksif, apakah menghantar, apakah simetris, dan apakah anti simetris: (a)R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } No.1: No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah.

3 6/3 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi Pekerjaan Rumah (PR5) Diketahui: A = { 1,2,3,4 } (a)R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } tidak refleksif, karena (1,1) dan (4,4) bukan anggota R menghantar, dibuktikan dari (2,2)(2,3)(2,3) (2,2)(2,4)(2,4) (2,3)(3,2)(2,2) (2,3)(3,3)(2,3) (2,3)(3,4)(2,4) (3,2)(2,2)(3,2) dst. tidak simetris, karena (4,2)  R tidak anti simetris, karena terdapat (2,3) dan (3,2) pada R padahal 2  3 No.1:

4 6/4 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi Pekerjaan Rumah (PR5) Diketahui: A = { 1,2,3,4 } (b)S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } refleksif, karena (a,a) adalah anggota R untuk semua a anggota A menghantar, dibuktikan dari (1,1)(1,2)(1,2) (1,2)(2,2)(1,2) simetris, karena bila (a,b)  S maka juga (b,a)  S tidak anti simetris, karena terdapat (1,2) dan (2,1) pada R padahal 1  2 No.1:

5 6/5 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi Pekerjaan Rumah (PR3) Diketahui: A = { 1,2,3,4 } (c)T = { (1,2),(2,3),(3,4) } tidak refleksif, karena (1,1), (2,2), (3,3) dan (4,4) bukan anggota R tidak menghantar, karena (1,3) dan (2,4) bukan anggota R tidak simetris, karena (2,1), (3,2), dan (4,3)  R anti simetris, karena aturan tidak dilanggar No.1:

6 6/6 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi Pekerjaan Rumah (PR3) No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah (a)R= { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S= { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T= { (1,2),(2,3),(3,4) }

7 6/7 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi Pekerjaan Rumah (PR3) No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah (a)R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } RTS

8 6/8 Erwin SitompulMatematika Diskrit Mengkombinasikan Relasi  Relasi biner merupakan himpunan dari relasi-relasi yang berpasangan.  Oleh sebab itu, operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan selisih simetris antara dua relasi atau lebih akan berlaku pula pada relasi biner.  Jika R 1 dan R 2 masing-masing adalah relasi antara himpunan A dan himpunan B, maka R 1  R 2, R 1  R 2, R 1 – R 2, dan R 1  R 2 adalah juga relasi dari A ke B.

9 6/9 Erwin SitompulMatematika Diskrit Mengkombinasikan Relasi Contoh: Misalkan A = { a,b,c } dan B = { a,b,c,d }, Relasi R 1 = { (a,a),(b,b),(c,c) }, Relasi R 2 = { (a,a),(a,b),(a,c),(a,d) }, maka R 1  R 2 = { (a,a) } R 1  R 2 = { (a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d) } R 1  R 2 = { (b,b),(c,c) } R 2  R 1 = { (a,b),(a,c),(a,d) } R 1  R 2 = { (b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d) }.

10 6/10 Erwin SitompulMatematika Diskrit Komposisi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Maka komposisi relasi R dan S, dinotasikan dengan S ס R, adalah relasi dari himpunan A ke himpunan C yang didefinisikan oleh: S ס R = { (a,c)  a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b)  R dan (b, c)  S } Contoh : Misalkan R = { (1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8) } adalah relasi dari himpunan { 1,2,3 } ke himpunan { 2,4,6,8 }; dan S = { (2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u) } adalah relasi dari himpunan { 2,4,6,8 } ke himpunan { s,t,u }. Maka komposisi relasi R dan S adalah S ס R = { (1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u) }.

11 6/11 Erwin SitompulMatematika Diskrit Komposisi Relasi Komposisi relasi R dan S dapat direpresentasikan pula dengan menggunakan diagram panah: R = { (1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8) } S = { (2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u) } S ס R = { (1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u) }

12 6/12 Erwin SitompulMatematika Diskrit Jika relasi R 1 dan R 2 masing-masing dinyatakan dengan matriks M R1 dan M R2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah: M R2 ס R1 = M R1  M R2 Dengan kata lain, matriks komposisi relasi dapat diperoleh dari perkalian antara dua matriks relasi yang menyusunnya, dengan aturan:  Nilai 1 dianggap True (T), nilai 0 dianggap False (F)  Operasi perkalian diganti operasi logika “dan” (  )  Operasi penjumlahan diganti operasi logika “atau” (  ) Komposisi Relasi

13 6/13 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh : Sebelumnya, R = { (1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8) } S = { (2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u) } S ס R = { (1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u) } Komposisi Relasi

14 6/14 Erwin SitompulMatematika Diskrit Komposisi Relasi

15 6/15 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi n-er (n-ary)  Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.  Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-er atau n-ary.  Jika n = 2, maka relasi tersebut dinamakan relasi biner (bi=2).  Relasi n-ary mempunyai terapan penting di dalam Basis Data.  Misalkan A 1, A 2, …, A n adalah himpunan. Maka relasi n-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A 1  A 2  …  A n, atau dengan notasi R  A 1  A 2  …  A n.  Himpunan A 1, A 2, …, A n disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.

16 6/16 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh : Misalkan, StudentID = { , , , , , } Nama = { Amir, Budi, Cora, Dudi, Encep, Florina } Kuliah = { Discrete Mathematics (DM), Data Structure and Algorithm (DSA), State Philosophy (SP), English III (E3) } Nilai = { A, B, C, D, E } Didefinisikan relasi MHS yang terdiri atas 4-tupel (StudentID, Nama, Kuliah, Nilai), dimana MHS  StudentID  Nama  Kuliah  Nilai. Relasi n-er (n-ary)

17 6/17 Erwin SitompulMatematika Diskrit Maka, salah satu contoh relasi MHS adalah MHS = { ( , Amir, DM, B), ( , Amir, E3, A), ( , Budi, DSA, A), ( , Cora, DSA, B), ( , Cora, SP, A), ( , Cora, E3, A), ( , Dudi, DM, D), ( , Dudi, SP, C), ( , Encep, DM, E), ( , Encep, DSA, E), ( , Encep, SP, E), ( , Encep, E3, E) } Relasi n-er (n-ary)

18 6/18 Erwin SitompulMatematika Diskrit Relasi MHS dapat pula dituliskan dalam bentuk tabel. Relasi n-er (n-ary)

19 6/19 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Basisdata (database) adalah kumpulan tabel.  Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional (relational database), yang didasarkan pada konsep relasi n-ary.  Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi.  Setiap kolom pada tabel disebut atribut.  Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada. Basis Data

20 6/20 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file.  Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field.  Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah kumpulan record, dan setiap record terdiri atas sejumlah field. Basis Data atribut record field

21 6/21 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik anggota relasi disebut kunci (key).  Operasi terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.  Contoh query:  “Tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit.”  “Tampilkan daftar nilai mahasiswa dengan StudentID ”  “Tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas StudentID dan mata kuliah yang diambil.”  Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasi n-ary. Basis Data

22 6/22 Erwin SitompulMatematika Diskrit Fungsi  Misalkan A dan B himpunan, maka relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap anggota di dalam A dihubungkan dengan tepat satu anggota di dalam B.  Notasi fungsi dituliskan dengan f : A  B.  Dibaca “f memetakan A ke B.”  A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.  Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.  Kita menuliskan f(a) = b jika a  A dihubungkan dengan b  B. PENTING

23 6/23 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.  Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f.  Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (improper subset) dari B. Fungsi

24 6/24 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Fungsi adalah relasi dengan sifat khusus:  Tiap anggota di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.  Kalimat “anggota di dalam A dihubungkan dengan tepat satu anggota di dalam B” berarti bahwa jika (a,b)  f dan (a,c)  f, maka b = c.  Atau dengan cara lain, bila b = f(a) dan c = f(a), maka b = c. Fungsi

25 6/25 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka relasi berikut: (a)f = { (1,u),(2,v),(3,w) } adalah fungsi dari A ke B. Di sini, f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal f adalah A dan daerah hasil f adalah B. Jelajah f adalah { u,v,w }, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. (b)f = { (1,u),(2,u),(3,v) } adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua anggota A. Daerah asal f adalah A dan daerah hasil f adalah B. Jelajah f adalah { u,v } saja. Fungsi

26 6/26 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka relasi berikut: (c)f = { (1,u),(2,v) } bukan fungsi dari A ke B, karena tidak semua anggota A dipetakan ke B. (d)f = { (1,u),(1,v),(2,v),(3,w) } bukan fungsi dari A ke B, karena 1 dipetakan ke dua buah anggota B, yaitu u dan v. Fungsi

27 6/27 Erwin SitompulMatematika Diskrit Fungsi Satu-ke-satu (Injektif)  Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua anggota himpunan A yang memiliki bayangan sama.

28 6/28 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w,x }, maka relasi berikut: (a)f = { (1,w),(2,u),(3,v) } adalah fungsi satu-ke-satu, karena tidak ada anggota A yang memiliki bayangan sama. (b)f = { (1,u),(2,u),(3,v) } bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u. Fungsi Satu-ke-satu (Injektif)

29 6/29 Erwin SitompulMatematika Diskrit Fungsi Pada (Surjektif)  Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap anggota himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih anggota himpunan A.  Dengan kata lain seluruh anggota B merupakan jelajah dari f.  Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

30 6/30 Erwin SitompulMatematika Diskrit Fungsi Pada (Surjektif) Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka relasi berikut: (a)f = { (1,u),(2,u),(3,v) } bukan fungsi pada, karena w tidak termasuk jelajah dari f. (b)f = { (1,w),(2,u),(3,v) } adalah fungsi pada, karena semua anggota B merupakan jelajah dari f.

31 6/31 Erwin SitompulMatematika Diskrit Fungsi Korespondensi Satu-ke-satu (Bijeksi)  Fungsi f dikatakan berkorespondensi satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika f adalah fungsi satu-ke-satu dan sekaligus juga fungsi pada. Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka relasi f = { (1,w),(2,u),(3,v) } adalah fungsi berkorespondensi satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu- ke-satu dan juga fungsi pada.

32 6/32 Erwin SitompulMatematika Diskrit Latihan satu-ke-satu, bukan pada bukan satu-ke-satu, bukan pada bukan satu-ke-satu, pada bukan fungsi

33 6/33 Erwin SitompulMatematika Diskrit Inversi Fungsi  Inversi dari fungsi f akan didapatkan jika dan hanya jika f adalah suatu fungsi yang berkorespondensi satu-ke-satu dari A ke B.  Inversi fungsi f dilambangkan dengan f –1, yang merupakan fungsi berkorespondensi satu-ke-satu dari B ke A.  Misalkan a  A dan b  B, jika f(a) = b maka f –1 (b) = a.  Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu disebut juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena inversi fungsinya dapat didefinisikan.  Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika fungsi tersebut bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

34 6/34 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Misalkan A = { 1,2,3 } dan B = { u,v,w }, maka untuk relasi berikut: (a)f = { (1,u),(2,u),(3,v) } bukan fungsi berkorespondensi satu-ke-satu. f –1 = { (u,1),(u,2),(v,3) } bukan fungsi sama sekali  inversi tidak terdefinisikan. (b)f = { (1,w),(2,u),(3,v) } adalah fungsi berkorespondensi satu-ke-satu. f –1 = { (w,1),(u,2),(v,3) } adalah fungsi  inversi dapat didefinisikan  f adalah fungsi yang invertible Inversi Fungsi

35 6/35 Erwin SitompulMatematika Diskrit Komposisi Fungsi Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan g adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan g ס f, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh: (g ס f)(a) = g(f(a)) Contoh: Diberikan fungsi f = { (1,u),(2,u),(3,v) } yang memetakan A = { 1,2,3 } ke B = { u,v,w }, dan fungsi g = { (u,y),(v,x),(w,z) } yang memetakan B = { u,v,w } ke C = { x,y,z }. Fungsi komposisi dari A ke C adalah: g ס f = {(1, y), (2, y), (3, x) }

36 6/36 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x Tentukan f ס g dan g ס f. Komposisi Fungsi Solusi: (a)(f ס g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = (x 2 + 1) – 1 = x 2 (b) (g ס f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1) = x 2 – 2x + 2

37 6/37 Erwin SitompulMatematika Diskrit Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil yang nilainya berada diantara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x, dinotasikan  x , menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Fungsi ceiling dari x, dinotasikan  x  menyatakan nilai bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x.

38 6/38 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling:  3.5  = 3  3.5  = 4  0.45  = 0  0.45  = 1  4.8  = 4  4.8  = 5  – 0.5  = – 1  – 0.5  = 0  –3.75  = – 4  –3.75  = – 3 Beberapa Fungsi Khusus

39 6/39 Erwin SitompulMatematika Diskrit 2. Fungsi Modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif, maka a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = rsedemikian sehingga a = mq + r, dengan q adalah sembarang bilangan bulat dan 0  r < m Beberapa Fungsi Khusus Nilai r dapat dicari dengan rumus: r = a – mqdimana q =  a/m 

40 6/40 Erwin SitompulMatematika Diskrit Beberapa Fungsi Khusus Contoh: Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling: 25 mod 7 = 4,  25/7  = 3 dan 25 – 7  3 = 4 15 mod 4 = 3,  15/4  = 3 dan 15 – 4  3 = mod 45 = 12,  3612/45  = 80 dan 3612 – 45  80 = 12 0 mod 5 = 0,  0/5  = 0 dan 0 – 5  0 = 0 –25 mod 7 = 3,  –25/7  = –4 dan –25 – 7  (–4) = 3

41 6/41 Erwin SitompulMatematika Diskrit Pengumuman UUjian Tengah Semester: 22 Juni 2010 JJam – WIB BBahan: Kuliah 1 - Kuliah 6


Download ppt "Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 6 Dr.-Ing. Erwin Sitompul"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google