Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matematika Diskrit 6. GRAF Kuliah 9 Dr.-Ing. Erwin Sitompul

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matematika Diskrit 6. GRAF Kuliah 9 Dr.-Ing. Erwin Sitompul"— Transcript presentasi:

1 Matematika Diskrit 6. GRAF Kuliah 9 Dr.-Ing. Erwin Sitompul

2 9/2 Erwin SitompulMatematika Diskrit Pekerjaan Rumah (PR7) Seorang ketua dan seorang bendahara dari Himpunan Mahasiswa IT, Extension Program, PU, akan dipilih dari 50 orang anggotanya. Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih ketua dan bendahara, apabila: (a)Tidak ada pembatasan khusus. (b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua. (c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau tidak sama sekali. (d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama. Posisi ketua himpunan berbeda dengan posisi bendahara himpunan. Urutan penentuan posisi dalam hal ini diperhatikan. Permasalahan pada PR ini berhubungan dengan permutasi.

3 9/3 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi Pekerjaan Rumah (PR7) (a)Tidak ada pembatasan khusus. (b)Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua. Amir terpilih sebagai ketua, dengan 49 pilihan untuk mengisi posisi bendahara Amir tidak terpilih sebagai ketua dan tidak mau bertugas, akibatnya dari 49 anggota lain akan dipilih ketua dan bendahara

4 9/4 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi Pekerjaan Rumah (PR7) (c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau tidak sama sekali. Budi dan Cora terpilih untuk bertugas bersama- sama, terdapat 2 cara Keinginan Budi dan Cora tidak tercapai, dari 48 orang akan dipilih 2 orang untuk mengisi posisi yang tersedia

5 9/5 Erwin SitompulMatematika Diskrit Solusi Pekerjaan Rumah (PR7) (d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama. Dudi sebagai ketua, Encep tidak sebagai bendahara Dudi dan Encep sama-sama tidak terpilih, baik sebagai ketua maupun bendahara Keseluruhan cara yang mungkin Kejadian dimana Dudi dan Encep bekerja bersama-sama Dudi sebagai bendahara, Encep tidak sebagai ketua Encep sebagai ketua, Dudi tidak sebagai bendahara Encep sebagai bendahara, Dudi tidak sebagai ketua

6 9/6 Erwin SitompulMatematika Diskrit Definisi Graf  Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antara obyek-obyek tersebut.  Gambar di bawah ini adalah sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.

7 9/7 Erwin SitompulMatematika Diskrit Jembatan Königsberg (1736)  Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula?  Sebuah graf dapat merepresentasikan rangkaian jembatan Königsberg:  Simpul (vertex)  menyatakan daratan  Busur (arc) atau sisi (edge)  menyatakan jembatan

8 9/8 Erwin SitompulMatematika Diskrit Representasi Graf Graf G = (V,E) dimana: V=Himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices) ={ v 1,v 2,...,v n } E= Himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul ={ e 1,e 2,...,e n }

9 9/9 Erwin SitompulMatematika Diskrit Representasi Graf G1G1  G 1 adalah graf dengan V = { 1,2,3,4 } E = { (1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4) } Graf sederhana

10 9/10 Erwin SitompulMatematika Diskrit Representasi Graf G2G2 Graf ganda  G 2 adalah graf dengan V= { 1,2,3,4 } E= { (1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4) } = { e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7 }

11 9/11 Erwin SitompulMatematika Diskrit Representasi Graf G3G3 Graf semu  G 3 adalah graf dengan V= { 1,2,3,4 } E= { (1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3) } = { e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7,e 8 }

12 9/12 Erwin SitompulMatematika Diskrit Klasifikasi Graf Berdasarkan ada tidaknya gelang (loop) atau sisi ganda (double edge) pada suatu graf, maka graf diklasifikasikan atas 2 jenis: 1.Graf sederhana (simple graph), yaitu graf yang tidak mempunyai gelang maupun sisi ganda. 2.Graf tak-sederhana (unsimple graph), yaitu graf mempunyai sisi ganda atau gelang.

13 9/13 Erwin SitompulMatematika Diskrit Klasifikasi Graf Berdasarkan orientasi arah pada sisinya, maka secara umum graf diklasifikasikan atas 2 jenis: 1.Graf tak-berarah (undirected graph), yaitu graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. 2.Graf berarah (directed graph atau digraph), yaitu graf yang setiap sisinya mempunyai orientasi arah.

14 9/14 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Analisa Program Contoh Terapan Graf t:=0; read(x); while x <> 1945 do begin if x < 0 then writeln(‘Tahun tidak boleh negatif.’); else t:=t+1; read(x); end; writeln(‘Tertebak sesudah’,t,’kali coba.’); 1: t:=0 2: read(x) 3: x <> : x < 0 5: writeln(‘Tahun...’) 6: t:=t+1 7: read(x) 8: writeln(‘Tertebak...)

15 9/15 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Teori Automata pada Mesin Penjaja (Vending Machine) Contoh Terapan Graf D: Dime (10 cent) Q: Quarter (25 cent) Harga 1 botol minuman 45 cent

16 9/16 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf 1. Ketetanggaan (Adjacency)  Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.  Tinjau graf G 1 : Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3. Simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4. G1G1

17 9/17 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf 2. Bersisian (Incidency)  Untuk sembarang sisi e = (v j,v k ) dikatakan e bersisian dengan simpul v j, dan e bersisian dengan simpul v k.  Tinjau graf G 1 : Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3. Sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4. Sisi (1,2) tidak bersisian dengan simpul 4. G1G1

18 9/18 Erwin SitompulMatematika Diskrit 3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)  Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.  Tinjau graf G 4 : Simpul 5 adalah simpul terpencil. Terminologi Graf G4G4

19 9/19 Erwin SitompulMatematika Diskrit 4. Graf Kosong (Empty Graph, Null Graph)  Graf kosong adalah graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.  Tinjau graf G 5 : merupakan graf kosong. Terminologi Graf G5G5

20 9/20 Erwin SitompulMatematika Diskrit 5. Derajat Simpul (Degree of Vertex)  Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut.  Notasi: d(v).  Tinjau graf G 1 : d(1) = d(4) = 2. d(2) = d(3) = 3. G1G1 Terminologi Graf

21 9/21 Erwin SitompulMatematika Diskrit  Tinjau graf G 4 : d(5) = 0  simpul terpencil d(4) = 1  simpul gantung (pendant vertex)  Tinjau graf G 6 : d(1) = 3  bersisian dengan sisi ganda d(3) = 4  bersisian dengan sisi gelang (loop) G4G4 G6G6 Terminologi Graf

22 9/22 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf  Pada graf berarah: d in (v)= derajat-masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke simpul d out (v)= derajat-keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari simpul v d(v)= d in (v) + d out (v)

23 9/23 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf G7G7  Tinjau graf G 7 : d in (1) = 2d out (1) = 1 d in (2) = 2d out (2) = 3 d in (3) = 2d out (3) = 1 d in (4) = 1d out (4) = 2

24 9/24 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf Lemma Jabat Tangan (Handshake Lemma)  Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut.  Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka G1G1  Tinjau graf G 1 : d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = = = 2  jumlah sisi = 2  5

25 9/25 Erwin SitompulMatematika Diskrit G4G4 G6G6  Tinjau graf G 4 : d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) = = 2  jumlah sisi = 2  4 Terminologi Graf  Tinjau graf G 6 : d(1) + d(2) + d(3) = = 2  jumlah sisi = 2  5

26 9/26 Erwin SitompulMatematika Diskrit Contoh: Diketahui bahwa sebuah graf memiliki lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing- masing simpulnya adalah: (a) 2, 3, 1, 1, 2 ? (b) 2, 3, 3, 4, 4 ? Terminologi Graf Solusi: (a) Tidak dapat, karena = 9 adalah ganjil. (b) Dapat, karena = 16 adalah genap.

27 9/27 Erwin SitompulMatematika Diskrit G1G1 Terminologi Graf 6. Lintasan (Path)  Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v 0 ke simpul tujuan v n di dalam graf G ialah urutan berselang-seling antara simpul dan sisi yang berbentuk v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., v n –1, e n, v n sedemikian sehingga e 1 = (v 0, v 1 ), e 2 = (v 1, v 2 ),..., e n = (v n–1, v n ) adalah sisi-sisi dari graf G.  Panjang lintasan ditentukan oleh jumlah sisi dalam lintasan tersebut.  Tinjau graf G 1 : Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan urutan sisi (1,2), (2,4), dan (4,3). Panjang lintasan 1, 2, 4, 3 adalah 3.

28 9/28 Erwin SitompulMatematika Diskrit G1G1 Terminologi Graf 7. Sirkuit (Circuit)  Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit.  Tinjau graf G 1 : Lintasan 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit. Panjang sirkuit 1, 2, 3, 1 adalah 3.

29 9/29 Erwin SitompulMatematika Diskrit 8. Keterhubungan (Connectivity)  Dua buah simpul v 1 dan simpul v 2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v 1 ke v 2.  Suatu graf G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul v i dan v j dalam himpunan V terdapat lintasan dari v i ke v j.  Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph).  Contoh graf tak-terhubung: Terminologi Graf

30 9/30 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf  Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak- berarahnya terhubung (graf tak-berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan semua arah/kepala panah).  Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut simpul terhubung kuat (strongly connected vertex) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.  Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi graf tak-berarahnya terhubung, maka u dan v dikatakan simpul terhubung lemah (weakly connected vertex).

31 9/31 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf  Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila sembarang pasangan simpul u dan v di G terhubung kuat.  Bila tidak, G disebut graf terhubung lemah. Graf terhubung lemahGraf terhubung kuat

32 9/32 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf 9. Subgraf (Subgraph) dan Komplemen Subgraf  Misalkan G = (V,E) adalah sebuah graf, maka G 1 = (V 1,E1) merupakan subgraf (subgraph) dari G jika V 1  V dan E 1  E.  Komplemen dari subgraf G 1 terhadap graf G adalah graf G 2 = (V 2,E 2 ) sedemikian sehingga E 2 = E – E 1 dan V 2 adalah himpunan simpul-simpul dengan mana anggota-anggota E 2 bersisian. G8G8 Sebuah subgraf dari G 8 Komplemen subgraf

33 9/33 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf 10. Subgraf Rentang (Spanning Subgraph)  Subgraf G 1 = (V 1,E 1 ) dari G = (V,E) dikatakan subgraf rentang jika V 1 = V, yaitu bila G 1 mengandung semua simpul dari G. G9G9 Subgraf rentang dari G 9 Bukan subgraf rentang dari G 9

34 9/34 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf 11. Himpunan Potong (Cut Set)  Himpunan potong (cut-set) dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G akan menyebabkan G tidak terhubung.  Pada graf di bawah, { (1,2),(1,5),(3,5),(3,4) } adalah cut-set. G 10 G 10 tanpa cut set, menjadi graf tak terhubung

35 9/35 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf  Cut-set dari sebuah graf terhubung dapat saja berjumlah lebih dari satu.  Misalnya, himpunan { (1,2),(2,5) }, { (1,3),(1,5),(1,2) } dan { (2,6) } adalah juga cut-set dari G 10.  { (1,2),(2,5),(4,5) } bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, { (1,2),(2,5) } adalah cut-set. G 10 G 10 tanpa cut set, menjadi graf tak terhubung

36 9/36 Erwin SitompulMatematika Diskrit Terminologi Graf 12. Graf Berbobot (Weighted Graph)  Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi bilangan pembobot.

37 9/37 Erwin SitompulMatematika Diskrit Pekerjaan Rumah (PR8) Graf G adalah sebuah graf seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. (a)Tuliskan semua lintasan yang mungkin dari A ke C. (b) Tuliskan semua sirkuit yang ada. (c)Tuliskan minimal 4 himpunan potong (cut-set) yang ada. (d)Gambarkan subgraf G 1 = { B,C,X,Y }. (e)Gambarkan komplemen dari subgraf G 1. Graf G


Download ppt "Matematika Diskrit 6. GRAF Kuliah 9 Dr.-Ing. Erwin Sitompul"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google