9. BILANGAN BULAT.

Presentasi berjudul: "9. BILANGAN BULAT."— Transcript presentasi:

1 9. BILANGAN BULAT

2 9.1 Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan cacah (whole number) positif, negatif, atau nol. Sebagai contoh, 3, – 6, 7, 85, 0, atau –56. Sedangkan bilangan-bilangan termasuk bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat, dilambangkan dengan Z, didefinisikan sebagai berikut, Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

3 9.2 Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat
Definisi 9.1 Misal a dan b adalah dua buah bilangan bulat dan a  0. Dikatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian rupa sehingga b = ac Dalam bentuk notasi: a|b jika b = ac, cZ dan a0 a habis membagi b, berarti b adalah kelipatan a

4 Jika hasil pembagian bilangan bulat adalah juga bilangan bulat, maka selalu terdapat:
Hasil bagi dan sisa pembagian Teorema 9.1 Misal m dan n adalah dua bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga, m = nq + r dengan syarat 0  r < n Teorema 9.1 diatas disebut teorema Euclidean. Bilangan n disebut pembagi (divisor), m bilangan yang dibagi (divident), q disebut hasil bagi (quotient), dan r disebut sisa (remainder).

5 Opertator yang digunakan untuk mengekspresikan
hasil bagi dan sisa adalah mod dan div seperti berikut: m div n = q m mod n = r Contoh 9.1 1997 dibagi 87 memberikan hasil bagi = 22 dengan sisa 83 dan dapat ditulis menjadi 1997 = (87)(22) + 83 atau 1997 div 87 = 22 1997 mod 87 = 83

6 Contoh 9.2 dibagi 4, dapat ditulis menjadi = atau –47 div 4 = –12 –47 mod 4 = 1 –47 (4)(–12) Sebesar mungkin, tapi tidak melebihi Tidak boleh negatif

7 9.3 Pembagian Bersama Terbesar (PBB)
Greatest Common Divisor (GCD) Pembagi bersama terbesar sering juga disebut dengan istilah “Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)“ adalah faktor yang membagi habis dua buah bilangan atau lebih.

8 Contoh 9.3 60 memiliki faktor pembagi : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 48 memiliki faktor pembagi : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48. Faktor pembagi yang sama antara 60 dan 48 adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 12 merupakan faktor pembagi yang terbesar antara bilangan 60 dan 48. Jadi PBB (60, 48) = 12

9 Definisi 9.2 Misal a dan b adalah dua buah bilangan bulat  0. PBB dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga d | a dan d | b, maka PBB (a, b) = d. Sifat-sifat PBB Misal a, b, dan c adalah bilangan bulat. Jika c adalah PBB dari a dan b maka c | (a + b) Jika c adalah PBB dari a dan b maka c | (a – b) Jika c | a, maka c | ab

10 Teorema 9.2 Jika m dan n adalah dua bilangan bulat dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga, m = nq + r dengan syarat 0  r < n, maka PBB (m, n) = PBB (n, r)

11 Contoh 9.4 Jika 80 dibagi dengan 12 memberikan hasil 6 dan sisa 8, atau 80 = 12(6) + 8. Menurut teorema 9.2 PBB(80, 12) = PBB (12,8) = 4 Jika 12 dibagi 8 memberikan hasil 1 dan sisa 4, atau 12 = (8)(1) + 4 PBB(12, 8) = PBB (8, 4) = 4

12 9.4 Algoritma Euclidean Algoritma Euclidean adalah cara lain untuk menentukan PBB dua bilangan. Algoritma Euclidean adalah sebagai berikut: Jika n = 0, maka m adalah PBB(m, n); stop. Jika n  0, lanjutkan ke langkah 2. 2. Bagi m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. 3. Ganti nilai m dengan n dan nilai n dengan r Catatan Jika m < n, maka pertukarkan nilai m dan n Contoh 9.5 Tentukan PBB (124, 48) dengan menggunakan algoritma Euclidean!

13 Penyelesaian: m = 124, n = 48 m = qn + r 124 = (48) (2) + 28 n = 0 m = 4 48 = (28) (1) + 20 28 = (20) (1) + 8 Jadi PBB (124,48) = 4 20 = (8) (2) + 4 8 = (4) (2) + 0 4 = (0)

14 Teorema 9.3 Misal a dan b adalah dua buah bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBB (a, b) = ma + nb Teorema 9.3 menyatakan bahwa PBB dua buahg bilangan bulat a dan b dapat dunyatakan sebagai komnasi lanjat (linear combination) dengan m dan n Sebagai koeffisien-koeffisiennya. Misal PBB (80, 12) = 4, dan 4 = (–1) m = –1 n = 7

15 Metode untuk menemukan kombinasi lanjar dari
dua buah bilangan sma dengan PBB-nya adalah dengan melakukan pekerjaan pembagian secara mundur pada algoritma Euclidean. Contoh 9.6 Nyatakan PBB (312, 70) = 2 sebagai kombinasi lanjar dari 312 dan 70 Penyelesian

16 Terapkan algoritma Euclidean untuk memperoleh
PBB (312, 70) = 2 312 = (i) 70 = (ii) 32 = (iii) 6 = (iv) Susun pembagian (iii) menjadi 2 = 32 – (v) Susun pembagian (ii) menjadi 6 = 70 – (vi) Sulihkan (vi) ke (v) menjadi 2 = 32 – 5 (70 – 2. 32) ` = 32 – = – (vii)

17 Susun pembagian (i) menjadi
32 = 312 – (viii) Sulihkan (viii) ke (vii) menjadi 2 = – = 11 ( 312 – 4.70) – 5. 70 = – Jadi PBB (312, 70) = 2 = –

18 Relatif Prima Definisi 9.3 Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima (relatively prime) jika PBB (a, b) = 1 Berdasarkan definisi diatas, jika a dan b relatif prima, maka dapat ditemukan bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga ma + nb = 1 Contoh 9.7 Buktikan bahwa 20 dan 3 adalah relatif prima. Bukti:

19 20 = (i) 3 = (ii) 2 = (iii) 1 = (iv) Dari (iii) 1 = 2 – 1.1 (v) Dari (ii) 1 = 3 – 1.2 (vi) Sulihkan (v) ke (vi) 1 = 2 – 1 (3 – 1.2 ) = 2 – = 2.2 – (vii) Susun persamaan (i) menjadi 2 = 20 – 6.3 (viii) Sulihkan (viii) ke (vii) 1 = 2(20 – 6.3) – 1 . 3 = – = 1 (terbukti) dengan nilai m = 2 , n = –13

20 9.5 Aritmatika Modulo Definisi 9.4 Misal a adalah bilangan bulat dan m adlah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Dengan kata lain a mod m sedemikian sehingga a = mq + r dengan 0r < m. Hasil aritmatika modulo m terletak dalam himpunan {0, 1, 2, … , m – 1}

21 Contoh 9. 8 Tentukan hasil operasi aritmatika modulo berikut! 29 mod 6 32 mod 4 7 mod 9 –53 mod 11 –39 mod 13 Penyelesaian 29 mod 6 = 4, sebab 29 dibagi 6 memberikan hasil berupa bilangan bulat (q) = 6 dan sisa (r) = 4 b) 32 mod 4 = 0, sebab 32 dibagi 4 memberikan hasil berupa bilangan bulat (q) = 8 dan sisa (r) = 0 c) 7 mod 9 = 7, sebab 7 dibagi sembilan memberikan hasil berupa bilangan bulat (q) = 0 dan sisa (r) = 7

22 d) –53 mod 11 e) –39 mod 13 Petunjuk. Jika a negatif dan (|a| mod m)  0, maka dapat menggunakan rumus a mod m = m – (|a| mod m) –53 mod 11 = 11 – (|–53| mod 11) = 11 – (53 mod 11) = 11 – 9 = 2 Karena (|a| mod m) = 0, maka tidak bisa menggunakan rumus untuk d). –39 mod 13 = 0, sebab –39 dibagi 13 memberikan hasil berupa bilangan bulat (q) = –3 dan sisa (r) = 0

23 Kongruen Jika dua buah bilangan bulat a dan b mempunyai sisa yang sama apabila dibagi dengan bilangan positf m maka a dan b dikatakan kongruen dan dilambangkan dengan a  b (mod m). Lambang “” dibaca kongruen. Jika a dan b tidak kongruen dalam modulo m, maka ditulis a b (mod m).  Definisi 9.5 Misal a dan b adalah dua bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka dikatakan a  b (mod m) jika m habis membagi a – b

24 Contoh 9. 9 Buktikan bahwa: 29  4 (mod 5) –6  14 (mod 4) Bukti 29 – 4 = 25 5 habis membagi 25. Jadi 29  4 (mod 5) – 6 – 14 = –20 4 habis membagi –20. Jadi –6  14 (mod 4)

25 Dari definisi 9.5 Jika a  b (mod m), maka dapat ditulis dalam bentuk a = b + km k adalah sembarang bilangan bulat. Dari definisi 9.4 a mod m = r dapat ditulis dalam bentuk a  r (mod m) Contoh 9.10 31 mod 4 = 3 dapat ditulis menjadi 31  3 (mod 4) –32 mod 7 = 3 dapat ditulis menjadi –32  3 (mod 4)

26 Teorema 9.4 Misal m adalah bilangan positif, Jika a  b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat, maka: (i) (a + c )  (b + c) (mod m) (ii) ca  bc (mod m) (iii) ap  bp (mod m) untuk suatu bilangan bulat tak negatif p. 2. Jika a  b (mod m) dan c  d (mod m), maka: (i) (a + c )  (b + d) (mod m) (ii) ac  bd (mod m)

27 Contoh 9.11 Misal 17  2 (mod 3) dan 10  4 (mod 3) , maka menurut teorema 9.4  (mod 3)  22  7 (mod 3)  (mod 3)  85  10 (mod 3)  (mod 3)  27  6 (mod 3)  (mod 3)  170  8 (mod 3)

28 Inversi Modulo Jika a dan m relatif prima dan b > 1, maka dapat ditentukan inversi dari a modulo m. Inversi dari a modulo m adalah bilangan bulat Sedemikian sehingga  1 (mod m) a aa Definisi 9.5 Misal a dan b adalah dua bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka dikatakan a  b (mod m) jika m habis membagi a – b

29 Dari definisi 9.3 dinyatakan bahwa:
Jika a dan m dua bilangan yang relatif prima, maka PBB (a, m) = 1, dan terdapat bilangan bulat p dan q sedemikian sehingga pa + qm = 1 Didapat pa + qm  1 (mod m) Karena qm  0 (mod m), maka pa  1 (mod m) p adalah inversi dari a  modulo m.

30 Contoh 9. 12 Tentukan inversi dari: 4 (mod 9) ,17 (mod 7) , dan 18 (mod 10) Penyelesaian Karena PBB (4, 9) = 1, maka inversi 4 (mod 9) ada. Dari alogoritma Euclidean diperoleh bahwa 9 = Susun persamaan diatas menjadi – = 1 Dari persamaan terakhir, didapat –2 adalah inversi dari 4 modulo 9. Hasil tersebut bisa diperiksa melalui: –2 . 4  1 (mod 9).

31 Perlu diketahui bahwa setiap bilangan yang
dengan –2 modulo 9 juga adalah inversi dari 4, misalnya 7, –11, 16, dan seterusnya, karena 7  –2 (mod 9) –11  –2 (mod 9) 16  –2 (mod 9)

32 b) Karena PBB (17, 7) = 1, maka inversi dari
17 (mod 7) ada. Dari algoritma Euclidean diperoleh rangkaian pembagian berikut: 17 = (i) 7 = (ii) 3 = (iii) Susun (ii) menjadi 1 = 7 – (iv) Susun (i) menjadi 3 = 17 – (v) Sulihkan (v) ke (iv) 1 = 7 – 2 (17 – 2. 7 ) = – 2. 17 atau – = 1 Inversi dari 17 (mod 7)

33 Metode lain untuk menentukan inversi adalah dengan
cara sebagai berikut. Dapat ditulis dalam bentuk Contoh 9. 13 Tentukan inversi dari: 4 (mod 9) ,17 (mod 7) , dan 18 (mod 10) Penyelesaian

34 Contoh 9. 12 Tentukan inversi dari: 4 (mod 9) 4 (mod 9)  Untuk k = –1  k = –2 Untuk k = 3  k = 7 Untuk k = 7  k = 16

35 Latihan Tentukan inversi dari: 17 (mod 7) , dan 18 (mod 10)

36

37

38