Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

GRUP NORMAL. Inti dari sebarang homomorfisma grup mempunyai sifat tambahan yaitu mengandung semua konjugat ( conjugates ) dari anggotanya. Definisi VIII.1.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "GRUP NORMAL. Inti dari sebarang homomorfisma grup mempunyai sifat tambahan yaitu mengandung semua konjugat ( conjugates ) dari anggotanya. Definisi VIII.1."— Transcript presentasi:

1 GRUP NORMAL

2 Inti dari sebarang homomorfisma grup mempunyai sifat tambahan yaitu mengandung semua konjugat ( conjugates ) dari anggotanya. Definisi VIII.1 Grup bagian S dari grup G dikatakan grup bagian normal ( normal subgroup ) asalkan untuk setiap anggotanya s dalam S dan setiap a G berlaku bahwa a -1 s a  S. Istilah S grup bagian normal dari grup G sering kali disingkat sebagai S normal dari G. Berikut ini sifat-sifat tentang normal dari suatu grup.

3 Teorema VIII.1 Untuk sebarang grup G berlaku bahwa { 0 } dan G merupakan normal dalam G. Jika G abelian maka setiap grup bagian dari G normal dalam G. Grup bagian S normal dalam G jika dan hanya jika aS = Sa untuk semua a  G. Grup bagian S normal dalam G jika hanya jika a -1 Sa = S untuk semua a  G. Jika S normal dalam G dan T sebarang grup bagian dari G maka ST = { st | s  S dan t  T } grup bagian dari G.

4 Teorema VIII.2 : Jika f : G  H homografisma grup maka inti Ker( f ) normal dalam G. Bukti : Misalkan x  Ker( f ) dan a G. Akan ditunjukkan bahwa xa dalam Ker( f ). f ( xa ) = f ( x ) f ( a ) = f ( x ) e f ( a ) = f ( a ) = f ( e ) = e. Berarti xa dalam Ker( f ). ■ Definisi VIII.2 : Misalkan f : G  H sebarang fungsi dan X sebarang himpunan bagian dari H. Prapeta ( invers image ) X di bawah f yang dilambangkan dengan f –1 ( X ) didefinisikan sebagai : f –1 ( X ) = { g  G | f ( g )  X }.

5

6 Teorema VIII.3 Misalkan f : G  H homomorfisma. Sifat – sifat berikut ini berlaku : Jika S grup bagian dari H maka f –1 ( S ) grup bagian dari G. Jika N grup bagian normal dari H maka f –1 ( N ) normal dari G. Jika S grup bagian dari peta f ( G ) dan orde dari G berhingga maka orde dari f ( G ) sama dengan | K | | S | dengan K inti dari f.

7 Bukti : Karena f ( e ) = e dengan e dalam S maka anggota dentitas e berada dalam f –1 ( S ). Misalkan x, y dalam f –1 ( S ). Karena f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) = s s  untuk suatu s, s  dalam S dan S tertutup maka f ( xy ) dalam S. Akibatnya xy dalam f –1 ( S ). Misalkan x –1 adalah invers dari x dengan x dalam f –1 ( S ). Akan dibuktikan bahwa f –1 ( N ) tertutup di bawah operasi konjugat dari anggotanya. Ambil sebarang x dalam f –1 ( N ) dan a dalam G. Karena x dalam f –1 ( N ) maka f ( x ) dalam N sehingga f ( a –1 xa ) = f ( a –1 ) f ( x ) f ( a ) = ( f ( a ) ) –1 f ( x ) f ( a ). Karena N normal dalam f ( G ) maka ( f ( a ) ) –1 f ( x ) f ( a ) dalam f ( G ) dan akibatnya a –1 xa dalam f –1 ( N ). Berarti f –1 ( N ) tertutup terhadap operasi konjugat.

8 Untuk setiap s dalam S dapat dinyatakan s = f ( x ) untuk suatu x dalam G karena s  f ( G ). ■

9 LATIHAN Berikan contoh bahwa untuk S dan T grup bagian dari grup G maka ST tidak perlu grup bagian dari G. Buktikan bahwa jika S dan T normal dalam G maka ST juga normal dalam G. Diketahui bahwa f : G  H homomorfisma grup. Buktikan bahwa jika N normal dalam G maka f ( N ) = { f ( n ) | n dalam N } grup bagian normal dari Im( f ) = f ( G ).

10 Misalkan H grup bagian normal dari G. Jika H dan G / H abelian maka apakah G harus abelian. Jika H normal dari grup G maka buktikan bahwa C ( H ) = { x  G | xH = Hx } merupakan grup bagian normal dari G.

11


Download ppt "GRUP NORMAL. Inti dari sebarang homomorfisma grup mempunyai sifat tambahan yaitu mengandung semua konjugat ( conjugates ) dari anggotanya. Definisi VIII.1."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google