Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Teorema IX.4  Untuk sebarang integer positif n berlaku (aS) n = a n S. Bukti :  Akan dibuktikan dengan prinsip induksi.  Untuk n = 1, berlaku (aS)

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Teorema IX.4  Untuk sebarang integer positif n berlaku (aS) n = a n S. Bukti :  Akan dibuktikan dengan prinsip induksi.  Untuk n = 1, berlaku (aS)"— Transcript presentasi:

1

2 Teorema IX.4  Untuk sebarang integer positif n berlaku (aS) n = a n S. Bukti :  Akan dibuktikan dengan prinsip induksi.  Untuk n = 1, berlaku (aS) 1 = a 1 S.  Berarti teorema benar untuk n = 1.  Dianggap bahwa teorema benar untuk n = k. Berarti (aS) k = a k S.  Untuk n = k + 1, berlaku (aS) k+1 = (aS) (aS) k = (aS) (a k S) = (a. a k )S = a k+1 S.  Terbukti bahwa teorema benar untuk semua bilangan bulat positif n. ■

3 Teorema IX.5  Misalkan G/S sebarang grup faktor.  Jika G berhingga maka orde G/S sama dengan |G| / |S|.  Jika G siklik maka G/S siklik.  Jika a mempunyai orde berhingga maka orde dari aS dalam G/S membagi orde dari a.  Jika G Abelian maka G/S Abelian.

4 Teorema IX.6  Misalkan G/S sebarang grup faktor. Fungsi f : G  G/S yang didefinisikan dengan aturan f(x) = xS merupakan homomorfisma surjektif dari G ke G/S dengan intinya S.  Pemetaan S yang didefinisikan dalam teorema di atas sering dikenal dengan nama homomorfisma alam (natural homorphism) atau homomorfisma kannonik (canonical homomorphism).

5 Teorema IX.7  Jika G/S siklik dan setiap anggota S komutatif dengan semua anggota G maka G Abelian.

6 Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dari Homomorfisma Grup).  Jika f : G  H homomorfisma grup dengan inti K dan peta f(G) maka G/S isomorfis dengan f(G). Bukti :  Definisikan fungsi g : G/K  f(G) dengan g(aK) = f(a).  Telah dibuktikan bahwa g bijektif sehingga tinggal membuktikan bahwa g homomorfisma. Pada satu sisi, g(aK bK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b) dan pada sisi lain, g(aK) g(bK) = f(a). f(b) sehingga g(aK bK) = g(aK) g(bK) untuk semua koset aK dan bK. ■

7

8 Contoh IX.6 :  Misalkan T = { x dalam C* | Abs(x) = 1 }.  Mudah dibuktikan bahwa fungsi Abs : C*  R* merupakan homomorfisma.  Karena 1 identitas dalam R* dan T = Ker(Abs) maka dengan menggunakan teorema fundamental homorfisma diperoleh bahwa C*/T isomorfis dengan peta dari fungsi Abs yaitu R +.  Oleh karena itu C*/T sehingga C*/T juga mempunyai sifat-sifat yang dimiliki R +.  Jadi R + grup abelian tidak siklik, ordenya tak hingga dan mempunyai anggota dengan orde 1 atau. ■

9 Isomorfisma  Suatu grup yang nampaknya berbeda secara esensi dapat sama. Secara intuisi ide bahwa dua grup secara esensi sama akan menuju pada pemikiran tentang konsep isomorfisma. Definisi IX.3  Misalkan dan grup. Grup G isomorfis dengan H jika terdapat fungsi f : G  H sehingga  f injektif,  f surjektif,  f homomorfisma  maka f dikatakan isomorfisma.

10 Teorema IX.9  Misalkan grup G dan H isomorfis. Sifat-sifat berikut ini berlaku :  Grup G dan H mempunyai orde yang sama.  Grup G dan H keduanya abelian atau tidak abelian.  Grup G dan H keduanya siklik atau tidak siklik.

11 Contoh IX.7 :  Diketahui Grup Z 4 dan Z 8 *.  Kedua grup mempunyai orde 4 dan abelian tetapi Z 4 = (1) siklik sedangkan Z 8 * tidak siklik karena tidak ada anggotanya yang mempunyai orde 4.  Oleh karena itu Z 4 tidak isomorfis dengan Z 8 *.

12 Teorema IX.10  Sebarang grup siklik tak berhingga isomorfis dengan Z.  Sebarang grup siklik berhingga orde n isomorfis dengan Z n.

13

14  Misalkan S = { (1), (2) } dan anggap bahwa semua koset aS untuk a dalam Z 4.  Berikan contoh khusus untuk menunjukkan bahwa pergandaan koset aS. bS = ab S tidak terdefinisikan dengan baik.  Tunjukan bahwa tidak ada dua dari himpunan-himpunan ini yang isomorfis : R*, R + dan C*.  Bukti bahwa fungsi-fungsi berikut suatu isomorfisma.  f : Z 100  Z 100 dengan f(x) = 3x.  h : Z 10 *  Z 10 * dengan h(x) = x 3.

15  Tunjukkan bahwa fungsi berikut mengawetkan operasi tetapi tidak surjektif maupun injektif.  f : Z 100  Z 100 dengan f(x) = 2x.  h : Z 10 *  Z 10 * dengan h(x) = x 2.  Didefinisikan f : R  R dengan f(x) = -3x. Buktikan bahwa f suatu automorfisma R yaitu isomorfisma dari R ke R.  Misalkan G sebarang grup dan b anggota G.  Didefinisikan f b : G  G dengan aturan f b (x) = b -1 x b.  Tunjukkan bahwa f b suatu automorfisma dari G.

16  Diketahui grup faktor Z 6 /S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order dari grup faktor dan order dari elemen-elemen dalam Z 6 /S. Apakah Z 6 /S siklik ?  Diketahui grup faktor f : Z 7 *  Z 7 * dengan f(x) = x 2. Tentukan Im(f) dan K=Ker(f). Apakah Z 7 */K isomorfis dengan f(Z 7 *) = Im(f) ?  Misalkan S = { A  M 2  2* | det(A) = 1 }. Buktikan bahwa S grup bagian normal dari M 2  2 *.

17


Download ppt "Teorema IX.4  Untuk sebarang integer positif n berlaku (aS) n = a n S. Bukti :  Akan dibuktikan dengan prinsip induksi.  Untuk n = 1, berlaku (aS)"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google