Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 5 September 2014.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 5 September 2014."— Transcript presentasi:

1 Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 5 September 2014

2 Operasi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Fungsi Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Sifat-Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers Invers Fungsi Komposisi Sifat-Sifat Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers mempelajari membahas 5 September 2014

3 1. Apa yang dimaksud dengan fungsi? Berikan contohnya. 2. Apa yang dimaksud dengan domain, kodomain, dan range? 3. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2 + 3x. Tentukan a. domain dan range fungsi itu; b. f(0), f(–3), f(t), dan f(1 – t 2 ). 5 September 2014

4 1. Pengertian Fungsi Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dalam hal ini setiap x  A dipasangkan dengan tepat satu y  B. 5 September 2014 Misalkan diketahui himpunan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, dan f menyatakan fungsi dari A ke B, dengan aturan seperti diagram berikut. Daerah asal (domain) dari f adalah A = {a, b, c, d}. Daerah kawan (kodomain) dari f adalah B = {1, 2, 3, 4}. Daerah hasil (range) dari f adalah {2, 3}.

5 2. Sifat-Sifat Fungsi a. Fungsi Surjektif Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika R f = B. Gambar di bawah ini merupakan fungsi surjektif karena setiap kodomain mempunyai pasangan atau R f = B. 5 September 2014

6 b. Fungsi Injektif Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif jika a 1, a 2  A dan a 1 ≠ a 2 maka berlaku f(a 1 ) ≠ f(a 2 ). Gambar di bawah ini menunjukkan fungsi injektif karena setiap anggota domain fungsi berbeda mempunyai peta yang berbeda pula. 5 September 2014

7 c.Fungsi Bijektif Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan injektif. Gambar di atas merupakan fungsi surjektif karena range fungsi f sama dengan kodomain fungsi f atau R f = B. 5 September 2014

8 Contoh: Tentukan jenis fungsi f : R → R (R adalah himpunan bilangan real) yang didefinisikandengan f(x) = 2x. Jawab:  Untuk setiap bilangan real a, maka pasti akan mendapat satu pasangan bilangan real, yaitu 2a.  Demikian pula untuk setiap anggota kodomain mendapat pasangan bilangan real dari domain.  Artinya, setiap bilangan real 2a, pasti akan ditemukan bilangan real a (dalam domain).  Jadi, fungsi tersebut bersifat injektif dan surjektif (atau bijektif). 5 September 2014

9 Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x). Jika D f domain fungsi f dan D g domain fungsi g, D f ∩ D g ≠  maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut. 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2. (f – g)(x) = f(x) – g(x) 3. (f × g)(x) = f(x) × g(x) 4. 5 September 2014

10 Contoh: Diketahui f(x) = x 2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x Tentukan g(x). Jawab: (f + g)(x) = f(x) + g(x)  x = (x 2 + 3x – 1) + g(x)  g(x) = (x 2 + 5) – (x 2 + 3x – 1)  g(x) = x – x 2 – 3x + 1  g(x) = –3x September 2014

11 1.Pengertian Fungsi Komposisi Misalkan diberikan fungsi f: R → R dan g: R → R. Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x + 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x 2. Untuk x = 1 → f(1) = x = 2 → f(2) = x = t → f(t) = t + 1 Jika x diganti g(x), diperoleh f(g(x)) = g(x) + 1 = x September 2014

12 Fungsi f(g(x)) di tulis (f o g)(x). Fungsi f o g dibaca “f bundaran g”. Misalkan fungsi f : A → B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B → C dengan g(b) = c. Komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca: g bundaran f) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan berikut. (g o f)(a) = g(f(a))

13 Contoh: Diketahui f = {(6, –2), (8, –1), (10, 0), (12, 1)}; g = {(–2, 8), (–1, 10), (0, 12), (1, 6)}. Tunjukkan hubungan f o g dan g o f dalam diagram. Tentukan f o g dan nilai (g o f )(10). Jawab: f o g = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)} Dengan memperhatikan diagram, diperoleh (g o f)(10) = September 2014

14 2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan Misalkan diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan pasangan berurutan berikut. f = {(0, p), (1, q), (2, 5), (3, 5)} g = {(p, 1), (s, 2), (t, 7), (u, 0)} Mari kita selidiki komposisi fungsi f o g dan g o f. 5 September 2014 (a) (b)

15  Komposisi fungsi f o g berarti pemetaan pertama fungsi g dilanjutkan pemetaan kedua fungsi f. Berdasarkan diagram (a) di atas, dapat kita peroleh pasangan berurutan (f o g ) = {(p, q), (s, r), (u, p)}.  Komposisi fungsi (g o f) berarti pemetaan pertama fungsi f dilanjutkan pemetaan kedua fungsi g. Berdasarkan diagram (b) di atas, dapat kita peroleh pasangan berurutan g o f = {(0, 1), (3, 2)}.  Syarat agar fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi komposisi fungsi (f o g) adalah apabila range fungsi g merupakan himpunan dari domain f atau R g  D f. 5 September 2014

16 3. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi Misalkan diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut. f(x) = 5x – 4 g(x) = 2x + 8 h(x) = x 2 Fungsi komposisi f o g dan g o f adalah sebagai berikut. a. (f o g)(x)= f(g(x)) = f(2x + 8) = 5(2x + 8) – 4 = 10x + 36 b. (g o f)(x)= g(f(x)) = g(5x – 4) = 2(5x – 4) + 8 = 10x 5 September 2014

17  Dari hasil di atas tampak bahwa f o g ≠ g o f sehingga fungsi komposisi tidak bersifat komutatif, tetapi fungsi komposisi berlaku sifat asosiatif.  Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan real dengan f(x) = 2x dan I(x) = x. Perhatikan: (f o I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x 2 + 1; (I o f)(x) = I(f(x)) = I(2x 2 + 1) = 2x = f(x).  Terlihat bahwa (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). Jadi, I(x) = x merupakan fungsi identitas dalam fungsi komposisi. 5 September 2014

18 Sifat-Sifat Komposisi Fungsi: a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x). c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). 5 September 2014

19 4. Menentukan Fungsi yang Diketahui Fungsi Komposisinya Contoh: Diketahui fungsi (f o g)(x) = –15x + 5 dan fungsi f(x) = 3x + 2. Tentukan fungsi g. Jawab: Karena (f o g)(x) = f(g(x)), berarti f(g(x)) = –15x + 5 3(g(x)) + 2 = –15x + 5 g(x) = g(x) = –5x + 1 Jadi, g(x) = –5x September 2014

20 1. Pengertian Invers Suatu Fungsi Definisi untuk invers suatu fungsi f adalah sebagai berikut. Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan f = {(x, y) | x Є A, y Є B} maka invers dari fungsi f adalah f -1 : B → A, dengan f -1 = {(y, x) | y Є B, x Є A} 5 September 2014 Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f -1 : B → A jika dan hanya jika f bijektif atau A dan B korespondensi satu-satu.

21 Contoh: Diketahui fungsi f : A → B dengan A = {1, 3, 5}, dan B = {2, 4, 6, 8}, dan f dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(1, 2), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah fungsi. Jawab: f -1 : B → A, yaitu f -1 = {(2, 1), (6, 3), (8, 5)}. Invers fungsi f adalah relasi biasa (bukan fungsi) karena ada sebuah anggota B yang tidak dipetakan ke A, yaitu 4. 5 September 2014

22 2. Menentukan Invers Suatu Fungsi Misal f -1 adalah invers f maka x = f -1 (y). Rumus x = f -1 (y) dapat diperoleh dengan langkah berikut. a. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi x = g(y). Karena x = f -1 (y) maka diperoleh bentuk f -1 (y) = g(y). b. Setelah memperoleh bentuk f -1 (y) = g(y), gantilah variabel y dengan variabel x sehingga akan diperoleh f -1 (x) yang sudah dalam variabel x. 5 September 2014

23 Contoh: Tentukan rumus invers fungsi dari fungsi f(x) = 5x + 2. Jawab: y = f(x) y = 5x + 2 5x = y – 2 x f -1 (y) 5 September 2014

24 3.Komposisi Suatu Fungsi dengan Inversnya Untuk mengetahui tentang hubungan invers dengan komposisi fungsi perhatikan uraian berikut. Misal f(x) = x + 5. Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu y = f(x)  y = x + 5  x = y – 5  f -1 (y) = y – 5 Jadi, f -1 (x) = x – 5. 5 September 2014

25 Sekarang perhatikan komposisi fungsi f dan f -1 berikut. 1) (f o f -1 )(x) = f(f -1 (x)) = f(x – 5) = (x – 5) + 5 = x 2) (f -1 o f)(x) = f -1 (f(x)) = f(x + 5) = (x + 5) – 5 = x Dengan demikian, diperoleh (f o f -1 )(x) = (f -1 o f)(x) = x. Dari uraian di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi dengan inversnya (atau sebaliknya) akan menghasilkan fungsi identitas sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. (f o f -1 )(x) = (f -1 o f)(x) = x = I(x) 5 September 2014

26 Contoh: Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. a. Carilah f -1 (x). b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers. Jawab: a. f(x) = 2x + 6 Misalkan y = f(x). Dengan demikian, y = 2x + 6 2x = y – 6 x = y −3 f -1 (y) = y − 3 5 September 2014

27 b. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau ditulis D f = {x | x  R}. Domain dari f -1 (x) merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah semua bilangan anggota himpunan bilangan real. Jika digambarkan dalam bidang Cartesius, tampak seperti gambar berikut.

28 Grafik f -1 (x) diperoleh dari hasil pencerminan grafik f(x) terhadap sumbu y = x. 5 September 2014

29 Invers dari fungsi komposisi f o g adalah (f o g) -1 (x) = (g -1 o f -1 )(x) Demikian sebaliknya, invers fungsi komposisi g o f adalah (g o f ) -1 (x) = (f -1 o g -1 )(x) 5 September 2014

30 Contoh:

31

32

33


Download ppt "Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 5 September 2014."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google