Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

GEOMETRI TRANSFORMASI DELAPAN KALI PERTEMUAN MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL PERKULIAHAN DUA BAGIAN.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "GEOMETRI TRANSFORMASI DELAPAN KALI PERTEMUAN MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL PERKULIAHAN DUA BAGIAN."— Transcript presentasi:

1 GEOMETRI TRANSFORMASI DELAPAN KALI PERTEMUAN MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL PERKULIAHAN DUA BAGIAN

2

3

4 PENGERTIAN TRANSFORMASI Semesta Pembicaraan TRANSFORMASI adalah BIDANG DATAR Secara umum transformasi diartikan sebagai PINDAHAN APA YANG DIPINDAHKAN ? APAKAH SETIAP PINDAHAN MERUPAKAN TRANSFORMASI? DALAM MATEMATIKA TRANSFORMASI DIDEFINISIKAN SEBAGAI APA ?

5 GEOMETRI TRANSFORMASI BEBERAPA TRANSFORMASI YANG TELAH DIKENAL 1. Geseran ( Translasi ) 2. Pencerminan ( Refleksi ) 3. Perputaran ( Rotasi ) 4. Tarikan ( Dilatasi ) ADAKAH JENIS TRANSFORMASI YANG LAIN ?

6 Apa yang akan dipelajari Pada mata kuliah Geo transf 1. Memandang Transformasi sebagai Fungsi 2. Membahas secara khusus dua kelompok dalam transformasi, yaitu yang isometri dan non isometri 3. Membahas hasil komposisi beberapa transformasi 4. Aplikasi dalam penyelesaian masalah geometri

7 DEFINISI TRANSFORMASI Secara matematis, transformasi didefinisikan sebagai fungsi bijektif pada bidang (R 2 ) MASIH INGAT TENTANG FUNGSI ?

8 Ingat fungsi bijektif ? f : A  B dikatakan fungsi jika,  x,y  A dengan x=y, maka f(x)=f(y) f : A  B dikatakan fungsi injektif ( satu-satu) jika,  x,y  A, dengan f(x)=f(y) maka x = y f : A  B dikatakan fungsi surjektif atau pada jika,  y  B,  x  A,  f(x) = y f : A  B dikatakan fungsi bijektif jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada

9 Berkenaan dengan adanya bidang geometri dan geometri analitik, kajian transformasi seringkali ditinjau dari dua sisi pandang, yaitu sisi pandang geometri dan aljabar ( titik disajikan dalam pasangan terurut, garis sebagai persamaan linear dst. )

10 Transformasi dalam Notasi Fungsi Dalam notasi fungsi, T: V  V merupakan transformasi jika T adalah fungsi bijektif. Dengan V menyatakan bidang datar. Secara aljabar, V dapat ditulis sebagai V={(x,y)|x,y  R}.

11 Transformasi T : V  V dikatakan transformasi jika 1.  A=(x,y), B=(u,v)  V dengan A=B, maka T(A)=T(B) 2.  A=(x,y), B=(u,v)  V, dengan T(A)=T(B) maka A=B 3.  B=(u,v)  V,  A=(x,y)  V,  T(A)=B

12 Contoh-contoh transformasi Dalam Bentuk Aljabar Perkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi. Mengapa ? Apakah Perkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(xy,y+2) merupakan transformasi.?Mengapa ? T(x,y)=(x/y, y+2)

13 Buktikan bahwa perkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi. Selidiki apakah perkawanan T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x-y+2) merupakan transformasi.

14 Misal A titik tertentu pada bidang V Perkawanan T pada V dengan aturan untuk sebarang P di V, T(P) = Q dengan 2|AP|=3|PQ| dengan P pada ruas garis AQ, merupakan transformasi Secara geometris……………………… A. P. Q

15 Secara aljabar …………….. P (a,b) A(x,y).. Q (u,v)

16 KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali) Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga, Bukti ?

17 Bagaimana mentransformasikan garis, terkait rumus transformasi T(x,y)=(f(x,y), g(x,y))

18 CARA MENTRANSFORMASIKAN GARIS Untuk mentransformasikan garis dilakukan dengan cara berikut. Pada transformasi T, misalkan T(x,y)=(x’,y’) dan garis l  ax+by+c=0, untuk menentukan T(l)=l’, nyatakan x dan y dalam x’ dan y’, kemudian substitusikan pada persamaan garis l, akan diperoleh persamaan dalam x’, y’. Karena koordinat dalam x dan y, ubah lagi dalam x dan y

19 Contoh mentransformasikan garis Misal T(x,y)=(2x+y,x-y) dan persamaan garis l:3x+2y-5=0. T(l) adalah…………………. Misalkan (x’,y’)=T(x,y)

20 Nyatakan x,y dalam x’, y’ dari x’=x+y, y’=3x-y x= ………., y=…………………

21 KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali) Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga, Bukti ?

22 BEBERAPA ISTILAH DALAM TRANSFORMASI 1. Unsur tetap Titik A pada V disebut titik tetap dari transformasi T, jika T(A) = A Garis l disebut garis tetap dari transformasi T, jika T(l) = l

23 APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI TITIK TETAP ? Transformasi T(x,y)=(x+4, y-3) tidak memiliki titik tetap, tetapi memiliki garis tetap. Karena………. APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI GARIS TETAP ? BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ?

24 BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ? 1.Andaikan punya titik tetap(garis tetap), misalkan titik tetap(garis tetap) tersebut adalah A=(x,y)(l  ax+by+c=0) 2.Diperoleh persamaan yang mengkaitkan nilai x dany (nilai a, b dan c) 3.Jika persaman 2. konsisten, maka diperoleh titik tetap(garis tetap) yang dicari sebaliknya jika persamaan tidak konsisten disimpulkan transformasi tersebut tidak punya (titik tetap) garis tetap.

25 Transformasi : T(x,y) =(y,4x) Titik tetapGaris tetap

26 Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku (x,y)=(y,4x). Sehingga berlaku x=y dan y=4x. Diperoleh x=0 dan y=0. Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya titik tetap. Misal garis l  ax+by+c=0 merupakan garis tetap. Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan persamaan 4bx+ay+4c=0. Karena l merupakan garis tetap maka berlaku

27 Diperoleh 4b 2 =a 2, (b-a)c=0, dan (4b-a)c=0 Kasus 1, c  0, maka b=a dan a=4b tidak mungkin Kasus 2, c=0, maka a  b dan a  4b, sehingga diperoleh a=2b atau a=-2b. Akhirnya diperoleh garis tetap dari T adalah 2x+y=0 atau -2x+y=0

28 Transformasi : T(x,y) =((2x-y),(x+y)) Titik tetapGaris tetap

29 Misal A=(x,y) suatu titik tetap, maka berlaku (x,y)=((2x-y),(x+y)). Sehingga berlaku x=2x-y dan y=x+y. Diperoleh x=0 dan y=0. Berarti titik (0,0) merupakan satu-satunya titik tetap. Misal garis l  ax+by+c=0 merupakan garis tetap. Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan persamaan (a-b)x+(a+2b)y+3c=0. Karena l merupakan garis tetap maka berlaku Selesaikan.

30 2. Identitas Suatu transformasi T disebut Identitas, jika T(A)=A,  A  V. Selanjutnya ditulis sebagai I Transformasi T(x,y)=(x+y, 2x+y) bukan transformasi Identitas, karena…….. 3.Involusi Suatu transformasi T disebut Involusi, jika T(T(A))=A,  A  V ( atau ditulis T 2 =I ) Contoh transformasi involusi? Dari T 2 =I diperoleh T=T -1 T(x,y)=(-x,kx+y) Apakah T merupakan Involusi?

31 . 4. Kolineasi Suatu transformasi T, disebut bersifat kolineasi jika T memetakan garis (lurus) menjadi garis (lurus) lagi 5. Isometri Suatu transformasi T, disebut bersifat isometri jika untuk setiap dua titik A, B di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)|=|A’B’| ( |AB| menyatakan jarak titik A dengan B, A’=T(A), B’=T(B))

32 6. Similaritas

33 Contoh transformasi yang tidak bersifat kolineasi. Bukan kolineasi kenapa ? Transformasi T(x,y) = (2x,y) bukan suatu isometri, kenapa?

34

35 BEBERAPA TEOREMA (a) Transformasi isometri T merupakan kolineasi (b) Jika T suatu isometri maka T suatu kolineasi Isometri mempertahankan besar sudut Isometri mempertahankan kesejajaran

36 Diketahui T suatu Isometri Akan dibuktikan T bersifat kolineasi Ambil sebarang garis l dan l’ merupakan peta dari l. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’ merupakan garis juga. Misal A dan B sebarang dua titik pada l kemudian A’ dan B’ berturut-turut peta dari A dan B, serta h adalah garis yang melalui A’, B’. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’=h. (Mengapa?) Transformasi isometri T merupakan kolineasi

37

38 T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x) Apakah T fungsi jika  A=(x,y), B=(u,v)  V dengan A=B, maka T(A)=T(B) Apakah T satu-satu jika  A=(x,y), B=(u,v)  V, dengan T(A)=T(B) maka A=B Ambil sebarang dua titik A=(x,y), B=(u,v)  V, dengan T(A)=T(B) dibuktikan A=B T(A)=T(B) berarti (x+y,3x)=(u+v,3u) Diperoleh x=u, karena x+y=u+v maka y=v

39 Apakah T merupakan fungsi pada jika  B=(u,v)  V,  A=(x,y)  V,  T(A)=B T: V  V dengan T(x,y)=(x+y,3x) Ambil sebarang B(x,y) di V Misal A(u,v) sedemikian sehingga T(A)=B Sehingga (u+v,3u)=(x,y) u+v=x 3u=y u=1/3 y v= x- 1/3y

40 P=P’. A A’ Transformasi? Q Q S. F.

41 T(x,y) = (x-2y, xy)

42 A. a, b > 0 a b A’ Transformasi ?

43 T(x,y) = (xy, y)) (1,0) dan (2,0)

44 Isometri merupakan kolineasi Tapi sebaliknya tidak

45

46 Selidiki apakah jika T suatu isometri, maka peta sebarang lingkaran oleh T adalah lingkaran yang berjari-jari sama


Download ppt "GEOMETRI TRANSFORMASI DELAPAN KALI PERTEMUAN MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL PERKULIAHAN DUA BAGIAN."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google