Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) INTERPOLASI LAGRANGE DAN REGRESI.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) INTERPOLASI LAGRANGE DAN REGRESI."— Transcript presentasi:

1 6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) INTERPOLASI LAGRANGE DAN REGRESI

2 6.1.4 Metode Lagrange Metode interpolasi Lagrange dapat diturunkan dari metode selisih-terbagi Newton. Tinjau polinom selisih-terbagi Newton orde pertama. p 1 (x) = f (x 0 ) + (x – x 0 ) f [x 1, x 0 ] (i) (ii) Substitusi (ii) ke (i) didapat

3 atau dapat dinyatakan dalam bentuk p 1 = L 0 (x) f(x 0 ) + L 1 (x) f(x 1 ) (6.29) dengan (6.30)

4 Selanjutnya tinjau polinom selisih-terbagi Newton derajat ke dua. p 2 (x) = f (x 0 ) + (x – x 0 ) f [x 1, x 0 ] + (x – x 0 )(x – x 1 ) f [x 2, x 1, x 0 ] (iv) (v)(v) (vi)

5 Substitusi (v) dan (vi) ke (iv) didapat atau dalam bentuk p 2 (x) = L 0 (x) f(x 0 ) + L 1 (x) f(x 1 ) + L 2 (x) f(x 2 ) (6.31) dengan (6.32)

6 Dari persamaan (6.29) dan (6.32) dapat disusun rumus umum menjadi (6.34) (6.33) dengan Metode interpolasi Lagrange berlaku untuk titik-titik yang mempunyai jarak yang sama maupun jarak yang berbeda.

7 Contoh 6.8 Jika f(x) = sin x, tentukan hampiran f(1,5) dengan metode interpolasi Lagrange dengan polinom derajat 3. Gunakan 4 titik, yaitu x 0 = 1,4 x 1 = 1,7 x 2 = 2,0 x 3 = 2,3 Penyelesaian x1,41,72,02,3 f(x) = sin x0, , , ,745705

8

9

10 Penyelesaian Dari persamaan 6.33 dan 6.34 didapat x134 f(x)f(x)2,71483,43373,1275 Contoh 6.9 Dari tabel berikut tentukan nilai f(2,5) dengan polinom Lagrange derajat dua.

11

12

13 6.2 Regresi Pada pasal 6.1 telah dijelaskan bahwa data yang mempunyai ketelitian yang rendah mempunyai variabilitas yang tinggi, seperti yang ditunjukkan pada gambar 6.2. Metode pencocokan kurva untuk data yang mempunyai ketelitian yang rendah adalah metode regresi. Sebelum memutuskan apakah suatu pencocokan kurva menggunakan regresi linier atau non-linier, lebih baik kita plot dulu data yang ada. Perhatikan lagi Gambar 6.2

14 x y O               Gambar 6.2 (a)(a) x y O              (b)(b)

15 Gambar 6.2a menunjukkan bahwa kecenderungan data menunjukkan hubungan linier antara x dan y. Sedangkan Gambar 6.2b menunjukkan hubungan non-linier. Prinsip penting dalam melakukan regresi adalah: a. Jumlah parameter bebas sesedikit mungkin b. Deviasi fungsi dengan titik-titik data dibuat sekecil mungkin. Berdasarkan prinsip a dan b maka pencocokan kurva untuk data yang mempunyai ketelitian yang rendah disebut metode regresi kuadrat terkecil (least square regression). Perbedaan antara metode regresi kuadrat terkecil dengan interpolasi adalah sebagai berikut.

16 NoRegresi Kuadrat TerkecilInterpolasi 1Data berasal dari pengukuran Data berasal dari fungsi yang akan disederhanakan dengan polinom. 2Data berketilitian rendah (mengandung galat) Data berkelitian tingi 3Fungsi tidak harus melalui seluruh titik data. Kurva dirancang mengikuti pola titik data. Fungsi harus melalui semua titik data 4Data tidak harus urutData harus terurut

17 6.2.1 Regresi Linier Regresi linier adalah proses aproksimasi sekumpulan pasangan hasil pengamatan yang mempunyai bentuk f(x) = a 0 + a 1 x Jika terdapat hasil pengamatan (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), …, (x n, y n ), maka aproksimasi linier untuk masing- masing titik adalah f(x i ) = a 0 + a 1 x i i = 1, 2, 3, …, n (6.35) Sedangkan nilai data sebenarnya y i = f(x i ) + e i  e i adalah galat data ke i. (6.36) Deviasi r i = y i – f(x i ) = y i – (a 0 + a 1 x i ) (6.37)

18 Total kuadrat deviasi Untuk kesederhanaan, selanjutnya simbol Sehingga persamaan (6.38) dapat ditulis menjadi Agar R minimum maka harus memenuhi (6.40) (6.41) (6.38) (6.39)

19 Dari persamaan (6.40) dan (6.41) didapat atau (6.42) (6.43) (6.44) (6.45) Jika persamaan (6.44) dan (6.45) ditulis dalam bentuk matriks, didapat (6.46)

20 atau (6.47) Sehingga (6.48) Galat pencocokan data dengan metode regresi linier dihitung dengan galat RMS (Root-mean-square-error), yaitu (6.49) (6.50)

21 Contoh 6.10 Dari tabel berikut tentukan nilai f(10,0) dan Galat RMS dengan metode regresi linier. x y2,73,02,53,33,13,53,24,03,7 Penyelesaian

22 ixixi yiyi xi2xi2 x i y i 1 12, ,099,0 3 52,52512,5 4 93,38129,7 5123,114437,2 6133,516945,5 7153,222548,0 8174,028968,0 9203,740074,0 n = 9  x i = 95  y i = 29,0  x i 2 = 1343  x i y i = 326,6

23 f(x) = 2, ,0602 x f(10,0) = 2, ,0602(10,0) = 3,1885

24 ixixi yiyi f(xi)f(xi)|(f(x i )-y i |(f(x i )-y i ) 2 112,72,64670,05330, ,02,76710,23290, ,52,88750,38750, ,33,12830,17170, ,13,30890,20890, ,53,36910,13090, ,23,48950,28950, ,03,60990,39010, ,73,79050,09050,0082  = 0,5416

25 6.2.2 Regresi Non-linier Jika hubungan antara peubah bebas dan tak bebas cenderung linier, maka metode regresi linier dapat digunakan. Akan tetapi adakalanya hubungan tersebut menunjukkan kecenderungan tak-linier. Jika kita menggunakan metode regresi linier untuk hubungan yang tidak linier, maka persamaan yang dihasilkan tidak mewakili kecenderungan data, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.3a. Agar persamaan regresi yang dihasilkan mewakili kecenderungan data yg tidak mempunyai hubungan yang linier maka kita perlu menggunakan metode regresi non-linier atau regresi polinomial, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.3b.

26 Gambar 6.3 (a)(a) x y O (b)(b) x y O                                

27 Regresi non-linier atau polinomial adalah proses aproksimasi sekumpulan pasangan hasil pengamatan yang mempunyai bentuk f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m Jika terdapat hasil pengamatan (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), …, (x n, y n ), maka aproksimasi linier untuk masing-masing titik adalah f(x i ) = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m ; i = 1, 2, …, n (6.51) Sedangkan nilai data sebenarnya y i = f(x i ) + e i  e i adalah galat data ke i. (6.52) Deviasi r i = y i – f(x i ) = y i – (a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m ) (6.53)

28 Total kuadrat deviasi Untuk kesederhanaan, selanjutnya simbol Sehingga persamaan (6.38) dapat ditulis menjadi (6.54) (6.55)

29 Agar R minimum maka harus memenuhi (6.56) (6.57) (6.58) ⋮ (6.59) Dari persamaan 6.56 s.d didapat

30 Dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi ⋮

31 atau Contoh 6.11 Dari tabel berikut tentukan nilai f(1,75) dengan metode regresi polinomial orde ke 2. x 0,30,40,70,81,01,21,41,61,71,92,02,2 y 2,43,03,13,63,83,23,53,43,0 2,72,3 Penyelesaian

32 ixixi yiyi xi2xi2 xi3xi3 xi4xi4 x i y i x i 2 y i 10,32,040,090,0270,00810,720,216 20,43,00,160,0640,02561,200,480 30,73,10,490,3430,24012,171,519 40,83,60,640,5120,40962,882,304 51,03,81,001,0001,00003,803,800 61,23,21,441,7282,07443,844,608 71,43,51,962,7443,84164,906,860 81,63,42,564,0966,55365,448,704 91,73,02,894,9138,52105,108, ,93,03,616,85913,03215,7010, ,02,74,008,00016,00005,4010, ,22,34,8410,64823,42565,0611,132 15,237,023, ,2169,923

33 f(x) = 1, ,874 x – 1,223 x 2 f(1,75) = 1, ,874(1,75) – 1,223(1,75) 2 = 3,1404

34 x y O

35 Tugas Dari tabel berikut tentukan nilai f(27) dengan metode regresi polinomial orde ke 2. x y

36 6.2.3 Linierisasi Regresi Non-linier Untuk tujuan penyederhanaan persamaan regresi, kita dapat mentransformasikan pers. regresi non-linier untuk data yang mempunyai kecenderungan tertentu menjadi persamaan regresi linier. Misalnya persamaan pangkat, persamaan eksponensial, atau persamaan laju pertumbuhan jenuh. Persamaan Pangkat y = ax b, a dan b konstanta > 0 Persamaan Eksponensial y = ae bx, a dan b konstanta > 0 Persaman Laju Pertumbuhan Jenuh, a dan b konstanta > 0

37 O x y Persamaan Pangkat y = ax b (6.60) ln y = ln a + b ln x (6.61) Definisikan Y = ln y a 0 = ln a a 1 = b X = ln x Substitusi persamaan (6.62) ke (6.61), didapat Y = a 0 + a 1 x (6.63) Persamaan (6.63) adalah persamaan regresi linier untuk persamaan eksponensial. (6.62)

38 O x y Persamaan Eksponensial y = ae bx (6.64) ln y = ln a + bx (6.65) Definisikan Y = ln y a 0 = ln a a 1 = b X = x Substitusi persamaan (6.66) ke (6.65), didapat Y = a 0 + a 1 X (6.67) Persamaan (6.67) adalah persamaan regresi linier untuk persamaan eksponensial. (6.66)

39 Persamaan Laju Pertumbuhan Jenuh Substitusi pers. (6.70) ke (6.69), didapat Y = a 0 + a 1 X (6.71) O x y (6.68) (6.69) Definisikan (6.70) Pers. (6.71) adalah persamaan regresi linier untuk persamaan Laju Pertumbuhan Jenuh

40

41


Download ppt "6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) INTERPOLASI LAGRANGE DAN REGRESI."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google