STATISTIK NONPARAMETRIK Kuliah 3: Uji Chi-Square untuk Goodness of Fit dan Uji Kolmogorov-Smirnov (Satu Populasi) Dosen: Dr. Hamonangan Ritonga,

Presentasi berjudul: "STATISTIK NONPARAMETRIK Kuliah 3: Uji Chi-Square untuk Goodness of Fit dan Uji Kolmogorov-Smirnov (Satu Populasi) Dosen: Dr. Hamonangan Ritonga,"— Transcript presentasi:

1 STATISTIK NONPARAMETRIK Kuliah 3: Uji Chi-Square untuk Goodness of Fit dan Uji Kolmogorov-Smirnov (Satu Populasi) Dosen: Dr. Hamonangan Ritonga, MSc Sekolah Tinggi Ilmu Statistik Jakarta Tahun 2013

2 Pendahuluan Uji Chi-squares (2) merupakan salah satu uji statistik yang sering digunakan dalam statistik, diantaranya digunakan untuk: 1) apakah frekuensi observasi berbeda secara signifikan terhadap frekuensi ekspektasi. 2) apakah dua variabel independen atau tidak 3) apakah data sampel mengikuti distribusi hipotesis tertentu, seperti distribusi normal, binomial, poison, dll.

3 Pendahuluan Distribusi Chi-squares (2)
Jika x1 , x2 ,..., xv adalah variabel random yang memiliki distribusi normal, sementara z1 , z 2,…zv merupakan variabel random standarnya atau z1  N (0,1) maka  z 2 1 akan memiliki derajat bebas v. Bentuk Fungsi Probability 2 Jika v variabel random adalah independen, maka distribusi 2 memiliki rata-rata dan varians: E(2) = v  2 = 2v sehingga nilai derajat bebas merupakan parameter suatu distribusi 2

4 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Uji Chi-square (2) goodness of fit satu sampel adalah teknik statistik yang digunakian untuk menguji hipotesis deskriptif bila dalam populasi terdiri dari dari dua atau lebih kelas, dan datanya berbentuk nominal. Uji statistik ini menekankan pada perbedaan frekuensi subjek, objek, atai respon yang masuk pada kategori yang bervariasi. Contoh kasius: 1) Sekelompok pasien dikelompokkan menurut jenis penyakit tertentu, dan peneliti ingin mengetahui apakah tipe penyakit tertentu lebih sering terjadi dari penyakit lain. 2) Anak-anak dikategorikan menurut jenis permainan, dan peneliti ingin mengetahui apakah jenis permainan berbeda dalam frekuensi. 3) masyarakat dapat dikategorikan menurut respon terhadap sesuatu: “apakah lebih senang” , “sama saja”, atau “menolak” s, dan peneliti ingin mengetahui apakah respon masysrakat verbeda dalam frekuensi. Uji yang sesuai dengan kasus diatas adalah Uji Chi Square Goodness of Fit. Uji ini digunakan untuk menguji apakah frekuens observasi berbeda secara signifikan terhadap frekuensi ekspektasi (harapan).

5 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Metode Uji Chi-square (2) goodness of fit satu sampel: Untuk membandingkan frekuensi observasi dengan frekuensi ekspektasi, kita harus terlebih dahulu menentukan frekuensi ekspektasi. Hipothesis Ho menyatakan proporsi objek yang masuk pada setiap kategori yang diasumsukan terjadi pada populasi. Hipotesis Ho dapat diuji dengan statistik berikut:  Dimana: Oi = frekuensi observasi pada kategori ke i Ei = frekuensi ekspektasi pada kategori ke i K= jumlah kategori N= jumlah observasi Statistik ini mengikuti distribusi 2 dengan degress of freedom = k-1 (Tabel C Lampiran)

6 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Contoh 1: Kasus dua kategori Suatu organisasi ingin mengetahui apakah wanita mempunyai peluang yang sama dengan pria untuk menjadi kepala desa di desa A . Untuk itu dilakukan penelitian. Populasi penelitian adalah masyarakat yang memenuhi sayara memilih di desa A. Calon kades ada dua orang, wanita dan pria. Sampel diambil secara random sebanyak 300 orang, ternyata dari sampel tersebut 200 orang memilih calon kades pria dan 100 orang memilih calon kades wanita. Lakukan pengujian apakah ada perbedaan frekuensi observasi dan frekuensi ekspektasi dengan taraf nyata 5 %.

7 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Langkah-langkah yang diakukan: Tentukan Ho dan Ha Ho: frekuensi jumlah memilih calon kades pria dan wanita adalah sama (Kades pria dan wanita berpeluang sama untuk dipilih jadi kades) Ha: frekuensi jumlah pemilih calon kades pria dan wanita tidak sama Tentukan taraf nyata () = 0,05 atau 5 % Tentukan Statistik Uji: Uji Chi-squares (2) goodness of fit satu sampel AlternPatif Pilihan Oi Ei (Oi – Ei) (Oi-Ei) 2 (Oi-Ei) 2 /Ei Pria ,67 Wanita ,67 Jumlah ,33 Jadi: 2obs = 33,33

8 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Tentukan Kriteria Keputusan: Jika 2obs > 2df, Tolak Ho Keputusan 2obs = 33,33 df = k-1 = 2-1 = 1; =0,05  2df, = 3,84 (Lihat Tabel C pada Handbook) Jadi Tolak Ho  Masyarakat di Desa A cenderung memilih pria sebagai Kades Saran: Kelompok wanita sebaiknya tidak mencalonkan diri sebagai calon kades

9 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Koreksi Yates untuk kontinuitas Dalam pengujian dengan distribusi 2, nilainya dihitung dari distribusi teoritis asli yang kontinu, sedangkan observasi kita adalah dari data diskrit. Ada kecenderungan pendugaan tersebut over estimate, khususnya untuk derajat bebas 1, dengan demikian nilai 2obs akan meningkatkan kemungkinan menolak Ho, sehingga perlu mengoreksi nilai 2obs kebawah. (Oi-Ei-1/2) 2 2obs =  sehingga pada contoh sebelumnya 2obs = 32,67 Ei Kesimpulan: 2obs (32,67) > 2df, = 3,841  Tetap Tolak Ho Catatan: Jika derajat bebas lebih dari 1, penyesuaian dengan koreksi Yates tidak diperlukan.

10 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Contoh 2: Kasus lebih dari dua kategori Tabel berikut adalah frekuensi observasi dan ekspektasi 4 macam penyakit yang ditemui di suatu daerah: Observasi & Ekspektasi Jenis Penyakit A B C D Jumlah Oi 3 5 6 17 Ei 2 Uji apakah frekuensi observasi dan ekspektasi berbeda secara signifikan pada  = 5 %

11 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Jika k = 2 untuk Uji Chi- Squares goodness of fit untuk satu sampel akan akurat pada frekuensi ekspektasi 5 atau lebih. Jika hanya ada 2 kategori dengan frekuensi < 5, maka Kategori yang berdekatan perlu digabung, seperti pengelompokan baru pada tabel berikut: Observasi & Ekspektasi Jenis Penyakit A B C dan D Jumlah Oi 3 5 9 17 Ei 6

12 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Langkah-langkah yang diakukan: Tentukan Ho dan Ha Ho: frekuensi obesrvasi dan ekspektasi penyakit adalah sama Ha: frekuensi obesrvasi dan ekspektasi penyakit adalah tidak sama Tentukan taraf nyata () = 0,10 atau 10 % Tentukan Statistik Uji: Uji Chi-squares (2) goodness of fit satu sampel Jenis Penyakit Oi Ei (Oi – Ei) (Oi-Ei) 2 (Oi-Ei) 2 /Ei A ,5 B ,17 C dan D ,2 Jadi: 2obs = 4,87

13 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Tentukan Kriteria Keputusan: Jika 2obs > 2df, Tolak Ho Keputusan 2obs = 4,87 df = 3-1 = 3-1 = 2; =0,10  2df, = 4,61 (Lihat Tabel C pada Handbook) Jadi Tolak Ho  Ada perbedaan yang signifikan antara frekuensi ekspektasi dan observasi dari penyakit-penyakit di daerah tersebut.

14 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Soal Latihan 1: Dilakukan pelemparan suatu mata uang sebanyak 50 kali, diperleh hasil sebagai berikut: Obs& ekspektasi Kepala Ekor Jumlah Observasi Ekspektasi Lakukan pelemparan mata uang tersebut jujur atau tidak pada taraf nyata 5 %.

15 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Soal Latihan 1: Dilakukan pelemparan suatu mata uang sebanyak 50 kali, diperleh hasil sebagai berikut: Obs& ekspektasi Kepala Ekor Jumlah Observasi Ekspektasi Lakukan pengujian apakah pelemparan mata uang tersebut jujur atau tidak pada taraf nyata 5 %. Soal Latihan 2: Sebuah dadu dilempar 60 kali dengan hasil: Mata Muncul Lakukan pengujian apakah dadu seimbang pada taraf nyata 5 %

16 Uji Chi-Squares (goodness of fit)
Soal Latihan 3: Suatu perusahaan cat mobil ingin mengetahui warna cat apa yang harus lebih banyak diproduksi. Untuk itu perlu dilakukan penelitian. Berdasarkan pengamatan selama 1 minggu di jalan protokol terhadap mobil-mobil pribadi ditemukan 1000 berwarna biru, 900 berwarna merah, 600 berwarna putih, dan 500 berwarna lainnya. Lakukan pengujian apakah ada perbedaan nyata terhadap pemilihan warna mobil pada taraf nyata 5 %

17 Uji Kolmogorov-Smirnov satu sampel
Uji Kolmogorov-Smirnov satu sampel adalah uji goodness of fit lain, untuk mengetahui kesesuaian antara distribusi nilai sampel (nilai yang diobservasi) dan beberapa distribusi teoritis yang ditentukan. Dalam hal ini ingin diketahui apakah skor pada suatu sampel berasal dari populasi yang mempunyai distribusi teoritis. Secara singkat uji ini mencakup menentukan distribusi frekuensi komulatif yang diobservasi terjadi sesuai distribusi teoritis. Distribusi teroritis merepresentasikan yang akan diharapkan melalui Ho.

18 Uji Kolmogorov-Smirnov satu sampel
Metode Misalkan Fo (X) adalah fungsi distribusi komulatif frekuensi relatif (comulative relative frequency distribution function), distribusi teoritis dibawah Ho. Untuk setiap nilai X, nilai dari Fo (X) adalah proporsi kasus yang diharapkan mempunyai skor lebih kecil atau sama dengan X. Selanjutnya S N (X) adalah diistribusi komulatif frekuensi relatif yang diobservasi dari sampel N. Jika setiap Xi setiap adalah kemungkinan skor, maka S N (Xi) =Fi/N, dimana Fi adalah jumlah observasi yang lebih kecil atau sama sengan Xi. Fo (Xi) adalah ekspektasi proporsi observasi yang lebih kecil atau sama dengan Xi.

19 Uji Kolmogorov-Smirnov satu sampel
Metode Ketika Ho benar, , maka perbedaan antara S N (Xi) dan Fo(Xi) kecil diantara batasan kesalahan random. Uji Kolmogorov-Smirnov memfokuskan pada deviasi terbesar. Deviasi nilai absolut terbesar dari Fo(Xi) - S N (Xi) disebut Maksimum Deviasi D, dengan persamaan: D = max Fo(Xi) - S N (Xi) I = 1,2,…,N Distribusi sampling dari D dibawah Ho dapat dilihat pada Tabel F (Lampiran Buku). Perhatikan, jika N > 35 nilai kritis D ditentukan baris terakhir dari Tabel F.

20 Uji Kolmogorov-Smirnov satu sampel
Contoh Selama beberapa tahun seorang peneliti mempelajari deviasi dari variasi kejadian mogok kerja. Data berikut adalah deviasi dari mogok (dalam hari) dari tahun 1965 di Negara Inggris yang dikumpulkan, dianalis, dan diprediksi berdasarkan model matematis. Tabel dibawah ini menggambarkan distribusi komulatif frekuensi dari N=840 deviasi mogok. Juga diberikan pada tabel komulatif frekuensi yang diprediksi berdasarkan model matematis. Uji apakah distribusi dari durasi mogok mengikuti prediksi model matematis

21 Tabel:Data Mogok di Negara Inggris (N=840)
Maximum Duration (days) Cumulative frequency Cumulative Relative frequency Observed Predicted |F0(X)-SN(X)| 1-2 203 212.81 0.242 0.253 0.011 2-3 352 348.26 0.419 0.414 0.004 3-4 452 442.06 0.538 0.526 0.012 4-5 523 510.45 0.623 0.608 0.015 5-6 572 562.15 0.681 0.669 6-7 605 602.34 0.720 0.717 0.003 7-8 634 634.27 0.755 0.000 8-9 660 660.10 0.786 9-10 683 681.32 0.813 0.811 0.002 10-111 697 698.97 0.830 0.832 11-12 709 713.82 0.844 0.850 0.006 12-13 718 726.44 0.855 0.865 0.010 13-14 729 737.26 0.868 0.878 14-15 744 746.61 0.886 0.889 15-16 750 754.74 0.893 0.899 16-17 757 761.86 0.901 0.907 17-18 763 768.13 0.908 0.914 18-19 7676 773.68 0.913 0.921 0.008 19-20 771 778.62 0.918 0.927 0.009 20-25 7888 796.68 0.938 0.948 25-30 804 807.86 0.957 0.962 0.005 30-35 812 815.25 0.967 0.971 35-40 820 820.86 0.976 0.977 0.001 40-50 832 826.86 0.990 0.984 >50 840 840.01 1.000

22 Uji Kolmogorov-Smirnov satu sampel
Langkah-langkah yang diakukan: Tentukan Ho dan Ha Ho: distribusi dari durasi mogok mengikuti prediksi model matematis Ha: distribusi dari durasi mogok yang diobservasi tidak sama dengan yang diprediksi dengan model matematis. Tentukan taraf nyata ()  0,05 atau 5 % Tentukan Statistik Uji: Uji Kolmogorov-Smirnov  Peneliti ingin membandingkan distribusi observasi skor dari skala ordinal dengan distribusi teoritis skor

23 Uji Kolmogorov-Smirnov satu sampel
Langkah-langkah yang diakukan: Distribusi sampling. Nilai Kritis D, yaitu nilai maksimum deviasi absolut antara observasi dan prediksi dari distribusi komulatif dapat dilihat pada Tabel F. Daerah Tolak. Tolak bila nilai D > nilai kritis 6) Keputusan: Nilai maksimum D = 0,015. Karena N.35, harus digunakan pendekatan sampel besar. Dengan N=840 , nilai kritis D adalah 1.36/840 =0,047. Karena nilai D < nilai kritis, kita tidak menolak Ho, data observasi adalah dari data populasi oleh model teoritis.