Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni) 1Prostok-7-firda.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni) 1Prostok-7-firda."— Transcript presentasi:

1 7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni) 1Prostok-7-firda

2 Definisi Misal 2 proses stokastik dengan waktu kontinu dan ruang keadaan diskrit Jika untuk maka proses disebut rantai Markov waktu kontinu. Prostok-7-firda

3 3 7.1 Proses Kelahiran Murni Definisi 1 (Shunji Osaki) Jika proses menghitung adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner dan memenuhi: maka proses dinamakan proses kelahiran murni dengan parameter Prostok-7-firda

4 t Realisasi proses kelahiran murni sebagai proses menghitung. Prostok-7-firda

5 5 Tulis peluang transisi stasioner: merupakan peluang transisi dari state i ke state j. Dengan kondisi awal (menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadi pada interval (0, t ]. Prostok-7-firda

6 6 kenaikan bebas kenaikan stasioner Sifat (2),(3) Untuk k = 0, Prostok-7-firda

7 7 Dari bentuk diperoleh : Dengan syarat awal Prostok-7-firda

8 8 Untuk Prostok-7-firda

9 9 atau Dari sini diperoleh : Atau ditulis, PDB linear (*) Prostok-7-firda

10 10 Jikamaka persamaan (*) memberikan hasil dimana (1) (2) (3) Prostok-7-firda

11 11Prostok-7-firda

12 12 Teorema 1 Untuk proses kelahiran murni dengan parameter Waktu antar kedatangan (waktu antar kelahiran) saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter Prostok-7-firda

13 13 Teorema 2 Untuk proses kelahiran murni dengan parameter jika dan hanya jika Prostok-7-firda

14 14 1.Proses Poisson yang mempunyai laju kelahiran konstan, 7.2 Contoh Proses Kelahiran Murni Dalam hal ini, dimana, Prostok-7-firda

15 15 Contoh Pada kantor catatan sipil, pengeluaran akte kelahiran mengikuti proses Poisson dengan laju 5,5 akte/jam. Tentukan: a. Peluang tidak ada akte yang dikeluarkan dalam 1 jam. b. Jika dalam periode 3 jam dikeluarkan 35 akte, tentukan peluang pengeluaran akte pada 1 jam terakhir jika telah dikeluarkan 25 akte pada 2 jam pertama. c. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara pengeluaran akte ke 4 dan akte ke 5 tidak lebih dari ½ jam. Prostok-7-firda

16 16 a. Peluang tidak akte yang dikeluarkan dalam 1 jam. b. Misal Jumlah akte yang dikeluarkan dalam waktu t. Prostok-7-firda

17 17 c. Jika waktu antar pengeluaran akte = X ( t ) Prostok-7-firda

18 18 Contoh Sebuah proses kelahiran murni dengan N (0)=0 yang mempunyai parameter Tentukan Jawab: Untuk k =0,1, gunakan persamaan (1),(2) slide 12. Prostok-7-firda

19 19Prostok-7-firda

20 20 Untuk k =2, gunakan persamaan (3) slide 12, dimana Prostok-7-firda

21 21 Sehingga, Prostok-7-firda

22 22 2. Proses Yule Jika menyatakan jumlah populasi pada saat t, maka adalah proses kelahiran murni dengan laju Prostok-7-firda

23 23 1.Sebuah proses kelahiran murni dengan N (0)=0 yang mempunyai parameter Tentukan Soal latihan Prostok-7-firda

24 24 Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang mempunyai parameter kelahiran untuk k=0, 1, 2,… dimana merupakan kelajuan imigrasi dalam populasi dan β sebagai kelajuan kelahiran individu. Asumsikan bahwa N(0)=0, Tentukan 2. Prostok-7-firda

25 Contoh Proses Kelahiran Murni Kelahiran bayi mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata satu kelahiran 12 menit. Tentukan : a)Rata-rata kelahiran per tahun.Rata-rata kelahiran per tahun. b)Peluang tidak adanya kelahiran dalam satu hari.Peluang tidak adanya kelahiran dalam satu hari. c)Peluang pengeluaran 50 akte kelahiran diakhir periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 40 akte dikeluarkan dalam 2 jam pertama.Peluang pengeluaran 50 akte kelahiran diakhir periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 40 akte dikeluarkan dalam 2 jam pertama. d)Asumsikan pegawai memasukkan data akte kelahiran ke komputer setelah terkumpul 5 akte kelahiran. Berapa peluang pegawai akan memasukkan sekumpulan data baru setiap jam.Asumsikan pegawai memasukkan data akte kelahiran ke komputer setelah terkumpul 5 akte kelahiran. Berapa peluang pegawai akan memasukkan sekumpulan data baru setiap jam. 25Prostok-7-firda

26 Jawab : Misal menyatakan banyaknya kelahiran. menyatakan waktu antar kelahiran. a) rata-rata kelahiran per tahun  kelahiran per hari. Jadi rata-rata kelahiran bayi bayi/tahun. 26Prostok-7-firda

27 27 b) Peluang tidak ada kelahiran perhari Jadi dalam satu hari mustahil tidak ada kelahiran. Prostok-7-firda

28 28 c) Peluang pengeluaran 50 akte di akhir periode (3jam), dengan diketahui ada 40 akte di 2 jam pertama. Jadi pengeluaran 10 akte pada 1 jam terakhir kira kira 1,8%. Prostok-7-firda

29 29 d) Jika data akte di entri setelah terkumpul 5 data akte, berapa peluang pegawai akan mengentri sekumpulan data baru setiap jam?  Minimal 5 data akte  k=0,1,2,3,4,5 Jadi kemungkinan pegawai akan mengentri setiap jam setelah terkumpul paling sedikit 5 data akte adalah 60%. Prostok-7-firda

30 Proses Kematian Murni Definisi 1 (Shunji Osaki) Jika proses stokastik adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner, ruang keadaan, memenuhi: maka proses dinamakan proses kematian murni dengan parameter Prostok-7-firda

31 t Realisasi proses kematian murni Prostok-7-firda

32 32 Tulis peluang transisi dengan kondisi awal (menyatakan peluang bahwa ada k unit yang tersisa pada interval (0, t ]. Seperti proses kelahiran murni, dengan persamaan Kolmogorov diperoleh: Prostok-7-firda

33 33 Khusus jika dan Prostok-7-firda

34 34 Jika parameter kematian berbeda untuk setiap k, artinya Untuk dimana Prostok-7-firda

35 7.4 Contoh Kematian Murni 1. Sebuah toko bunga memiliki persediaan 18 lusin bunga mawar setiap awal pekan, rata-rata toko tersebut menjual 3 lusin mawar per hari, dengan permintaan yang mengikuti distribusi Poisson. Ketika persediaan mencapai 5 lusin, pesanan baru akan ditempatkan di awal pekan selanjutnya. Semua mawar yang tersisa di akhir pekan akan dibuang. 35Prostok-7-firda

36 Tentukan: a)Peluang mawar yang tersisa paling banyak 5 lusin.Peluang mawar yang tersisa paling banyak 5 lusin. b)Peluang persediaan habis dalam waktu 3 hariPeluang persediaan habis dalam waktu 3 hari c)Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari keduaRata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari kedua d)Peluang tidak ada mawar yang terjual selama hari pertamaPeluang tidak ada mawar yang terjual selama hari pertama 36Prostok-7-firda

37 Jawab: banyak mawar di awal pekan = 18 lusin laju permintaan = 3 per hari Peluang n unit yang tersisa selama periode t : 37Prostok-7-firda

38 a) Peluang mawar tersisa paling banyak 5 lusin 38Prostok-7-firda

39 39Prostok-7-firda

40 b) Peluang persediaan habis dalam waktu 3 hari Jadi, peluang persediaan habis dalam 3 hari adalah 0,

41 c) Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari kedua Tabel berikut meringkas perhitungan dengan diketahui µt=6 Jadi, rata-rata kurang dari 12 lusin mawar yang tersisa di akhir hari kedua n01…18 P n (2)3,932x ,1796x ,4787x Prostok-7-firda

42 d) Peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama Jadi, peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama adalah 0,049 (4,9%). 42Prostok-7-firda

43 43 Contoh Proses Kematian Murni 2. Suatu proses kematian murni dimulai dari X (0)=3, dengan parameter kematian Tentukan Prostok-7-firda

44 44 Jawab:  untuk n=0, dimana: Prostok-7-firda

45 45 Jadi Prostok-7-firda

46 46  untuk n=1, dimana: Prostok-7-firda

47 47 Jadi Prostok-7-firda

48 48  untuk n=2, dimana: Prostok-7-firda

49 49 Jadi  untuk n=3, Prostok-7-firda

50 50 Definisi (Shunji Osaki) Jika proses stokastik adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner, dan memenuhi: maka proses dinamakan proses kelahiran dan kematian dengan parameter PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN

51 t Realisasi proses kelahiran dan kematian Prostok-7-firda

52 52 merupakan peluang transisi dari state i ke state j. Misal Dengan menggunakan persamaan Chapman-Kolmogorov

53 53 Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h  0 diperoleh Secara umum

54 Prostok-7-firda54 t t+h0 i j+1 j j-1 j o(h) Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h  0 diperoleh

55 Prostok-7-firda55 Blok Diagram Proses Kelahiran dan Kematian Contoh : Proses pertumbuhan linear Sehingga

56 56 Nilai rata-rata pada saat t dan dijumlahkan terhadap j diperoleh Dengan nilai awal M(0) = i, dgn asumsi X(0) = i (*)

57 Prostok-7-firda57 Bukti (*) dan dijumlahkan terhadap j diperoleh Nyatakan suku pertama dalam P ij (t)

58 58 atau Nyatakan suku ketiga dalam P ij (t) sehingga

59 Prostok-7-firda59 Distribusi


Download ppt "7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni) 1Prostok-7-firda."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google