STATISTIKA MATEMATIKA 1

DISTRIBUSI PEUBAH ACAK Suatu percobaan disebut percobaan acak jika memenuhi tiga ketentuan yaitu: 1. hasilnya tidak dapat diketahui sebelumnya, 2. semua hagil yang mungkin dapat dideskripsikan, 3. dapat diulang di bawah kondisi yang sama. himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang sampel, diberi simbul S CONTOH PERCOBAAN ACAK Contoh 3 Misalkan dua dadu ditos satu kali. Jika hasil yang muncul jumlah mata i dinyatakan sebagai i, i = 1, 2, 6, maka ruang sampel dan percobaan ini dapat ditulis sebagai pasangan terarut: S = { (1, 1) , …, (1, 6) , (2, 1) , …, (6, 6) }. Contoh 1 Dalam suatu percobaa n pengetosan satu mata uang logam, misalkan hasil, muncul muka dinyatakan sebagai M dan hasil muncul belakang dinyatakan sebagai B. Maka many sampel perrobaan ini adalah S = {M, B) Contoh 2 Satu mata uang logam ditos dua kali. Maka ruang sampelnya adalah S = {MM, MB, BM, BB}, M pertama menyatakan muncul muka pada pengetosann pertama dan M kedua menyatakan muncul muka pada pebgetosan kedua dan seterus­nya.

Fungsi Himpunan Contoh fungsi himpunan Misalkan C sebarang himpunan bagian dari ruang sampel S. Maka C disebut sebagai kejadian. Bilangan p ini disebut sebagai peluang kejadian C, atau peluang C. Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut: Contoh 4 Suatu percobaan pengetosan satu dadu diulang sebanyak 400 kali. Mis­alkan C kejadian. muncul mata dadu tidak lebih dari 2. Jika frekuensi C adalah 20, maka frekuensi relatif dari C adalah Fungsi Himpunan Contoh fungsi himpunan Misalkan A = {x : –  < x ≤ 0} dan fungsi f dan A ke R didefinisikan sebagai f (x) = ex. Nilai dari f (x) pada titik x = 0 adalah f (0) = 1. Dari contoh ini dapat dilihat bahwa nilai f ditentukan oleh titik x dalam A. Dalam hal ini x menyatakan bilangan real tidak positif. Daerah asal dari fungsi ini adalah himpunan A dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan real Misalkan A himpunan dalam ruang berdimensi dua dan q (A) menyatakan luas daerah A, jika A mempunyai luas hingga. Oleh karena itu, jika A = { (x, y) : x2 + y2 < 1}, maka q (A) = ; jika A = { (x, y) : (x, y) = (0, 0) , (1, 1) , (0, 1) }, maka q (A) = 0; jika A = { (x, y) : 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1) , maka qA = ½

∞ Misalkan A himpunan dalam ruang berdirnensi satu dan q (A) = Misalkan A himpunan dalam ruang berdimensi satu dan q (A) = (x) , dimana dx Jika A = {x : 0 < x < }, maka q (A) = ∞ dx = 1. Jika A = {x : 0 < x < 3}, maka q (A) = (½) + (½) 2 + (½) 3 = Misalkan A himpunan dalam ruang berdimensi n dan q (A) = (x) , dimana Misalkan q (A) = dx2 … dxn Jika A = { (x1, x2, …, xn) : 0 ≤ x1 ≤ x2 : ≤ … ≤ xn ≤ 1}, maka q (A) = Jika A = {x : x = 0}, maka q (A) = dx1 dx2 … dxn-1 dxn = (1 – p) 1-x = 1 – p; Jika A = {x : 1 < x < 2}, maka q (A) = f (1) = p.

Fungsi Himpunan Peluang Berkaitan dengan pernbahasan di bawah ini akan diberikan tiga sifat frekuensi relatif 1. fr (C) ≥ 0, C  S. 2. Jika C1, C2, … masing- masing dalam S dan Ci  Cj = 0 untuk setiap i  j, maka fr (C1  C2  …) = fr (C1) + fr (C2) + … 3. f, (S) = 1. Misalkan dua dada ditos satu kali. Maka ruang sampelnya dapat digam­barkan seperti berikut ini. Misalkan C1 kejadian mata dadu pertama 1 dan C2 kejadian mata dada pertama 2. Maka C1  C2 = . Oleh karena itu fr (C1  C2) = fr (C1) + f, (02). Lebih lanjut jika percobaan diulanq sebanyak 100 kali kemudian muncul kejadian C1 sebanyak 12 kali dan kejadian C2 muncul 20 kali, maka fr (C1) = . n 1 1 2 3 4 5 6 (1. 1) (1. 2) (1. 3) (1. 4) (1. 5) (1. 6) (2. 1) (2. 2) (2. 3) (2. 4) (2. 5) (2. 6) (3. 1) (3. 2) (3. 3) (3. 4) (3. 8) (4. 1) (4. 2) (4. 3) (4. 4) (4. 5) (4. 8) (5. 1) (8. 2) (5. 3) (5. 4) (5. 2) (5. 6) (8. 1) (0. 2) (6. 3) (8. 4) (6. 5) (8. 8) = 0, 12, fr (C2) = dan fr (C1  C2) = fr (C1) + fr (C2) = 0, 12 + 0, 20 = 0, 32 Jika banyaknya pengulangan percobaan cukup besar, maka fr (C1) dan fr (C2) masing­-masing mendekati

Teorema 4 Untuk semua C  S berlaku 0 < P (C) < 1. Definisi 1 Jika P suatu fungsi bernilai reel yang terdefanisi pada koleksi himpunan bagian dari ruang sampel S dan jika P (C) ≥ 0, 2. P( Teorema 1 Jika C  S maka P (C) = 1 – P (C*). Bukti. Kita mempunyai S = C  C* dan C  C* = 0. Oleh karena itu dengan menggunakan 1 dari definisi 1 diperoleh P (C  C*) = 1, dan dengan menggunakan 2 dari definisi yang sama diperoleh P (C) + P (C*) = 1. Jadi P (C) = 1 – P (C*). ) = P (CG) , dimana Ci  Gj = , I j, i, j = 1, 2, …, 3. P (S) = 1, maka P disebut fungsi himpunan peluang atau secara sederhana disebut fungsi pelu­ang. Untuk masing-masing C E S, P (C) disebut peluang kejadian C. Teorema 3 Jika C1 dan C2 masing-masing himpunan bagian dari S sehingga C1  C2, maka P (C1) < P (C2). Bukti: Untuk membuktikan teorema di atas pertamar-tama pandang C2 = C1  (C1  C2). Maka C1  (C1  C2) = 0. Mengapa? Oleh karena itu dengan menggunakan 2 definisi 1 diperoleh P (C2) = P (C1) + P (C1  C2). Karena P (C1  C2) > 0 (mengapa?) , maka P (C1) < P (C2). Jika A suatu kejadian dalam ruang sampel S sedemikian hingga P (A) = 1, maka dikatakan kejadian A pasti terjadi. Sedangkan jika P (A) = 0, maka kejadian A pasti tidak terjadi atau sering dikatakan tidak mungkin terjadi Teorema 2 P () = 0. Teorema 4 Untuk semua C  S berlaku 0 < P (C) < 1.

Contoh Misalkan suatu percobaan mempunyai ruang sampel S = {mmm, mmp, mprn, pram, mpp, pmp, ppm, ppp} dan misal masing-masing titik sampel mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Jika C1 = {mmm, mmp, mpm, pmm} dan C2 = {mpp, pmp, ppm}, maka P (C1) = g, P (C2) = S, P (C1  C2) = dan P (C1 n C2) = 0. Teorema 5 Iika C1 dan C2 masing-masing himpunan bagian dari S, maka P (C1  C2) = P (C1) + P (C2) – P (C1  C2). Bukti. Pandang C1  C2 = C1  (C1  C2) dan C2 = (C1  C2)  (C1  C2). Maka dari 2 definisi 1 diperoleh P (C1  C2) = P (C1) + P (C1  C2) dan P (C2) = P (C1  C2) + P (C1  (. 72). Jika kedua persamaan tersebut saling disubstitusikan alas P (C1  C2) dan ruas kiri ditulis dalam P (C1  C2) , maka diperoleh P (C1  G2) = P (C1) + P (C2) – P (C1  C2). Contoh Satu mats uang logam ditos beberapa kali sehingga mendapatkan muka. Maka ruang sampelnya adalah S = {m, bm, bbm, bbbm, …} dan P ({m}) = ½, P ({bm}) = ¼, P ({bbm}) = Mengapa? Jika C1 kejadian percobaan berakhir pada pelantunan tidak lebih dari lima kali, maka C1 = {m, bm, bbm, bbbm, bbbbin}. Dan P (C1) = Selanjutnya untuk membuktikan P (S) = 1 adalah sebagai berikut. P (S) = = 1

Peubah Acak fungsi yang mengubah ruang sampel menjadi himpunan bilangan real. Fungsi yang demikian disebut seba­gai peubah acak, diberi simbul X. Secara matematika dapat ditulis sebagai berikut: X : S  A, A   dan A disebut sebagai ruang peubah acak X. Contoh ; Misalkan ruang sampel suatu percobaan adalah S = {mm, mb, bm, bb}. Jika X suatu f ungsi sehingga X (mm) = 0, X (mb) = X (bm) = 1 dan X (bb) = 2, maka X merupakan peubah acak dengan ruang peubah acak A = {0, 1, 2}. Contoh : Misalkan peluang P dari peubah, acak X didefinisikan oleh P (A) = Definisi Misalkan S ruang sampel suatu percobaan acak. Fungsi X, yang memasangkan tiap-tiap anggota c  S pada satu dan hanya satu bilangan real X (c) x, disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian dare himpunan bilangan real A = {x:X (c) = x c  S}. , x  A = {x : 0 < x < 2}. Dimana f (x) = Oleh karena itu jika A = {x : 0 < x < 1}, maka P (A) =

Fungsi Padat Peluang Definisi Diberikan percobaan acak dengan ruang sampel S. Pandang dua peubah acak X1 dan X2, yang memasangkan tiap-tiap anggota c dari S ke tepat satu pasan­gan terurut (X1, X2) , dimana x1 = X1 (c) dan X2 = X2 (c). Maka ruang dua peubah acak X1 dan X2 adalah himpunan pasangan terurut A = { (X1, X2) : X1 = X1 (c) , X2 = X2 (c) , c  S}. Contoh : Misalkan A = { (x, y) : 0 < x < y < 1} ruang dua peubah acak X dan Y. Misalkan peluang P didefinisikan Jika A = { (x, y) : ? < x < y < 1}, maka Fungsi Padat Peluang Contoh : Misalkan dua uang logam ditos satu kali. Misalkan X menyatakan jumlah muka. Maka distribusi peluang peubah acak X adalah sebagai berikut: x 1 2 P (X, x) 2/4 Fungsi P di atas dapat dirumuskan sebagai P (X = x) = dan dapat ditulis sebagai f (x) = Fungsi f yang demikian disebut fungsi padat peluang peubah acak X.

Definisi 4 Misalkan X peubah acak dengan ruang A yang merupakan himpunan titik-titik deskrit. Jika f suatu fungsi sehingga 1. f (x) > 0, x  A, Definisi Misalkan X peubah acak dengan ruang A yang merupakan himpunan titik-titik pada suatu selang. Jika f suatu fungsi sehingga 1. f (x) > 0, x  A, 2. fA f (x) = 1, 3. Ii (A) = P (X  A) = fA f (x) , maka f disebut fungsi densitas peluang dari X dan X disebut peubah acak tipe kon­tinu. 2. = 1 3. P (A) = P (X  A) = maka f disebut fungsi densitas peluang dari X dan X disebut peubah acak tipe deskrit. Contoh Misalkan A = {x : 0 < x < } dan f fungsi padat peluang peubah acak X. Jika A = {x: 0 < x < 1}, maka P (A) = P (X  A) = Contoh 22 Misalkan X peubah acak tipe deskrit dengan ruang A = {x x = 0, 1, 2, 3, 4}. Misalkan P (A) = Jika f fungsi padat peluang dari peubah acak tipe kontinu X dan A = {x : a < x < b}, maka P (A) = P (X  A) dapat ditulis sebagai P (a < X < b) = Dimana f (x) = Oleh karena itu jika A = {x : x = 0, 1}, diperoleh

{ Fungsi Distribusi = = + Contoh f (x, y) = Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fungsi padat peluang f berbentuk Fungsi Distribusi Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi peluang P dan A = {x : - < x}. Maka P (A) = P (X  A) = P (X < x) merupakan fungsi dari x, ditulis sebagai F (x). Fungsi f yang demikian disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif atau secara sederhana disebut fungsi distribusi peubah acak X. Karena F (x) = P (X < x) , maka, jika f fungsi padat peluang dari X berlaku F (x) = f (x, y) = { x = 1, 2, …, y = 1, 2, … 0, untuk yang lainnya. Jika A = { (x, y) : x = 1, 2, 3 y = 2, 3, }, maka P (A) = untuk tipe deskrit dan F (x) = untuk tipe kontinu Dalam hal X peubah acak tipe kontinu, maka berlaku bahwa f (x) = = F (x) = F` (x). = + Jadi fungsi densitas peluang merupakan turunan pertama fungsi distribusi untuk peubah X tipe kontinu.

{ Grafik fungsi f adalah berikut ini Contoh Misalkan X peuabah acak tipe kontinu dengan fungsi padat peluang f sehingga f (x) = { , 0, untuk yang lainnya. Maka fungsi distribusi dai i X adalah f sehingga Grafik fungsi f adalah berikut ini

{ { { = f (x) = 0, untuk yang lainnya. f (x) = 0, 7 x < 0 f (x) = Contoh Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi distribusi f sehingga Contoh Misalkan peubah acak X mernpunyai fungsi padat peluang f sehingga f (x) = { 0, untuk yang lainnya. f (x) = { 0, 7 x < 0 , 0 ≤ x < 1 , 1 ≤ x Maka fungsi distribusinya adalah f sehingga f (x) = { , x < 1 , 1 ≤ x Maka P (-3 < X ≤ ½) = P (X ≤ ½) – P (X ≤ -3) = F (½) – F (-3) = ¾ – 0 = ¾ dan P (X = 0) = Grafik fungsi adalah berikut ini (0 – h < X ≤ 0) = [F (0) – F (0 – h) ] = F (0) – F (0-) = ½ – 0 = ½

Ekspektasi Matematika = 0 ¼ + 1 Misalkan 2 mata uang logam yang berbeda dilantunkan sekali. Maka ruang sam­pelnya adalah S = {bb, bin, mb, mm}. Misalkan X menyatakan jumlah muka. Maka X (bb) = 0, X (bm) = X (mb) = 1 dan X (mm) = 2 dan peluangnya P (X = 0) = ¼, P (X = 1) = + 2 ¼ = 1. , P (X = 2) = ¼. Dan = 0 ¼ + 1 Nilai ini disebut sebagai ekspektasi matematika peubah acak X, ditulis E (X). Secara umum, jika u fungsi dari peubah acak X, maka ekspektasi dari peubah acak u (X) adalah E[u (X) ] = jika sigma itu ada dan jika X peubah acak tipe diskret dan E[u (X) ] = jika integral itu ada dan X peubah acak tipe kontinu.

{ { = = = = f (x) = , untuk yang lainnya. f (x) = , x = 0, 1, 2, Contoh Suatu mangkok berisi 5 keping mata uang. Dua keping mata uang bernilai 4$ dan 3 keping mats uang bernilai 1$. Pembeli dapat mengambil 2 keping tanpa melihat dengan harga 4, 75$. Jika X menyatakan banyaknya keping mata uang yang bernilai 1$, maka Contoh Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi padat peluang bersama f sehingga f (x) = { 2 (1 – x) , 0 < x < 1 , untuk yang lainnya. f (x) = { , x = 0, 1, 2, , untuk yang lainnya. Maka E (X) = = = Jika X = x, maka hasil yang diperoleh pembeli dapat dirumuskan sebagai u (x) = x + 4 (2 – x) = 8 – 3x. Keuntungann yang diperoleh pembeli dapat dihitung melalui ekspektasi matematika, seperti berikut ini. E[u, (X) ] = E (8 – 3X) = Dan E (X) = = = Oleh karena itu E (6X + 3X2 = 6 + 3 = = 4, 40 Jadi pembeli memperoleh. keuntungan sebesar 4, 40$