V. PENYELESAIAN PERSAMAAN Ax = b Dengan A adalah MBS (I) ILMU KOMPUTASI V. PENYELESAIAN PERSAMAAN Ax = b Dengan A adalah MBS (I)

Materi Menggunakan Invers Matrix Menggunakan metode Cramer Menggunakan metode eliminasi dengan Matrix Gauss Implementasi

6.1. Metode Inversi Matrix (1) Dengan invers atau balikan matriks koefisien, jawaban sistem persamaan linear dapat dicari. Jika kedua ruas persamaan matrix dikalikirikan oleh balikan matriks A akan didapat : A-1Ax = A-1b x = A-1b Terlihat vektor x yang terdiri atas bilangan dapat diperoleh dengan memperkalikirikan vektor b dengan invers A. Dari persamaan itu ada hubungan yang erat antara invers matrix koefisien denagan solusi sistem persamaan.

6.1. Metode Inversi Matrix (1) Persamaan itu akan mempunyai jawaban tunggal hanya jika invers matrix koefisien itu ada, yang berarti A suatu matrix non singular. Jika matrix A singular, persamaan tersebut tidak mempunya jawaban atau bahkan mempunyai tak hingga banyaknya jawaban. Contoh : Matrix koefisien A dan vektor b dari persamaan di atas adalah :

6.1. Metode Inversi Matrix (2) Disini det A = |A| = 19 Dengan menghitung A-1B, maka vektor x diperoleh :

6.2. Metode Cramer (1) Aa = adjoint matrix A Jika matrix adjoint ditulis dalam bentuk kofaktor dari determinan |A|, persamaan di atas menjadi :

6.2. Metode Cramer (2) Dalam hal ini matrix adjointnya berorde nxn, determinan |A| berorde nxn, sedang x dan b vektor kolom berorde n. Jika perkalian matrix adjoint dan b dihitung, maka :

6.2. Metode Cramer (3) Sehingga dengan menyamakan elemen-elemen ruas kiri dan ruas kanan didapat himpunan hubungan bagi n buah besaran yang belum diketahui x : Jika pembilang dalam setiap hubungan di atas diperhatikan, mudah terlihat bahwa pembilang- pembilang itu merupakan penjabaran dengan kofaktor suatu determinan.

6.2. Metode Cramer (4) Sebagai contoh, misalkan pembilang dari x1 adalah penjabaran determinan di bawah ini dengan kofaktor atas kolom pertama : Demikian pula dengan pembilang yang lain dapat ditulis sebagai suatu determinan, dengan perbedaan bahwa elemen-elemen b terletak pada kolom-kolom yang berbeda sehingga persamaan di atas dapat ditulis :

6.2. Metode Cramer (5)

6.2. Metode Cramer (6) Jika metode Cramer digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan contoh di atas, maka :

6.2. Metode Cramer (7) Aturan Cramer digunakan jika determinan- determinan itu mudah dihitung. Jika persamaan itu berorder tinggi, lebih baik menggunakan metode lain. Contoh model jaringan listrik : 4 Volt I1 1Ω 2Ω 0,5Ω 8 Volt I2 I3

6.2. Metode Cramer (8) Carilah besar arus dalam jaringan di atas! Penyelesaian : Dengan berpegang pada hukum Kirchhoff diperoleh persamaan : I1 + I2 = I3 (1 + 1 + 0,5)I1 + 0,5 I2 = 4 0,5I1 + (2 + 0,5)I2 = 8 atau : I1 + I2 - I3 = 0 2,5I1 + 0,5 I2 = 4 0,5I1 + 2,5I2 = 8   4 Volt I1 1Ω 1Ω 0,5Ω I3 I2 2Ω 8 Volt

6.2. Metode Cramer (9) Matrix A : I1 + I2 - I3 = 0 2,5I1 + 0,5 I2 = 4  

6.3. Metode Eliminasi Gauss (1) Apabila matrix Gauss G1, G2, G3,..........Gn-1 berturut-turut dioperasikan atas ruas kiri dan ruas kanan atas persamaan Ax = b, diperoleh: Gn-1 Gn-2 .......... G2 G1 Ax = Gn-1 Gn-2 .......... G2 G1 b Atau Ux = Gn-1 Gn-2 .......... G2 G1 b Tipe persamaan di atas dapat dipecahkan dengan mudah. Vektor x dapat diperoleh dengan cara substitusi mundur.

6.3. Metode Eliminasi Gauss (2) Contoh (1) Selesaikan persamaan berikut : Jawab :

6.3. Metode Eliminasi Gauss (3) Matrix G1 adalah : dengan pilihan : m2 = -1/4; m3 = -1/4; m4 = -1/4

6.3. Metode Eliminasi Gauss (4) Matrix G2 : Dengan pilihan m3 = -2/3; m4 = -1/3

6.3. Metode Eliminasi Gauss (5) Matrix G3 : Dengan pilihan m4 = 2/4 = 1/2

6.3. Metode Eliminasi Gauss (6) Persamaan setelah triangulasi adalah :

6.3. Metode Eliminasi Gauss (7) Contoh(2) Selesaikan persamaan berikut : Jawab :

6.3. Metode Eliminasi Gauss (8)

6.3. Metode Eliminasi Gauss (9) Sehingga persamaan A x= B bisa ditulis menjadi : G3G2G1A = G3G2G1b

6.3. Metode Eliminasi Gauss (10) Berdasarkan substitusi mundur diperoleh :

6.3. Metode Eliminasi Gauss (11) Contoh (3)

6.3. Metode Eliminasi Gauss (12) Hasil proses eliminasi Gauss

6.3. Metode Eliminasi Gauss (13) Dengan substitusi mundur diperoleh :

6.3. Metode Eliminasi Gauss (14) Contoh (4) :

6.3. Metode Eliminasi Gauss (15)

6.3. Metode Eliminasi Gauss (16)

6.3. Metode Eliminasi Gauss (17)

6.3. Metode Eliminasi Gauss (18)

6.3. Metode Eliminasi Gauss (19) Diperoleh bentuk persamaan : Dengan substitusi mundur diperoleh :