TOPOLOGI Dra. Retno Marsitin, MPd.

TOPOLOGI BAB I SET DAN RELASI BAB II FUNGSI BAB III RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES) BAB IV BASIS & BASIS BAGIAN BABV KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN BAB VI KONTABILITAS BAB VII AKSIOMA PEMISAH BAB VIII KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS) BAB IX KEKOMPAKAN (COMPACTNESS)

BAB I SET DAN RELASI SET, ELEMEN (UNSUR) SUBSET & SUPERSET SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG OPERASI-OPERASI PADA SET PRODUK DARI SET-SET RELASI RELASI EQUIVALEN KOMPOSISI DARI RELASI

SET, ELEMEN (UNSUR) Pernyataan “𝑝 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐴” 𝑎𝑡𝑎𝑢 “𝑝 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐴” dinotasikan “𝑝∈𝐴”. Negasi dari 𝑝∈𝐴 ditulis “𝑝∉𝐴” dan ini berarti “p bukan elemen A atau p tidak termasuk di dalam A” Ada dua cara untuk menyatakan suatu set, yaitu: Bila mungkin semua anggota ditulis (cara Roster), misal 𝐴 = 𝑎,𝑖,𝑢,𝑒,𝑜 Menyatakan suatu set dengan notasi pembentuk set (cara Rule), misal 𝐵 = 𝑥:𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡

SUBSET & SUPERSET Definisi: Dua set A dan B adalah sama bila dan hanya bila 𝐴⊂𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵⊂𝐴. Dalam hal 𝐴⊂𝐵 tetapi 𝐴≠𝐵, dikatakan bahwa A adalah subset murni dari B atau B memuat A. Teorema I: Bila A, B dan C sebarang set maka: 𝐴⊂𝐴 𝐵𝑖𝑙𝑎 𝐴⊂𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵⊂𝐴 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴=𝐵 𝐵𝑖𝑙𝑎 𝐴⊂𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵⊂𝐶 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴⊂𝐶

SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG Dalam teori set, semua set dibentuk oleh subset-subset dari suatu set tetap. Set tetap seperti itu disebut set universal atau semesta pembicaraan dan dinotasikan dengan U. Ada pula set yang tidak mempunyai anggota dan set ini disebut set kosong dengan notasi ∅ 𝑎𝑡𝑎𝑢 , yang merupakan set terhingga dan merupakan subset dari setiap set. Jadi untuk sebarang set A maka ∅⊂𝑨⊂𝑼.

KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG Anggota-anggota dari suatu set adalah set, misalnya tiap-tiap garis di dalam suatu set dari garis-garis adalah set dari titik-titik. Set yang anggotanya terdiri dari set-set disebut Kelas, Koleksi atau Famili, misalkan 𝑃= 𝑎,𝑏 ,𝑐 bukanlah kelas karena mengandung elemen c yang bukan set (himpunan). Pada umumnya koleksi atau family digunakan untuk member nama dari set yang anggotanya kelas-kelas. Pengertian subkelas, subkoleksi, dan subfamili mempunyai arti yang sama dengan subset. Misalkan A adalah suatu set. Set Kuasa (Power Set) dari A ditulis 𝓟(𝑨) atau 𝟐 𝑨 adalah kelas dari semua subset dari A. Umumnya, apabila A terhingga dengan n unsur di dalamnya maka 𝓟(𝑨) = 𝟐 𝒏 anggota. Kata ruang (spaces) artinya suatu set yang tidak kosong yang anggotanya beberapa bentuk struktur matematika, seperti ruang vektor, ruang metrik atau ruang topologi.

OPERASI-OPERASI PADA SET Teorema 2: Hukum-hukum Aljabar set: Hukum sama kuat: 𝐴∪𝐴=𝐴 , 𝐴∩𝐴=𝐴 Hukum Asosiatif: 𝐴∪𝐵 ∪𝐶=𝐴∪(𝐵∪𝐶) , 𝐴∩𝐵 ∩𝐶=𝐴∩(𝐵∩𝐶) Hukum Komutatif: 𝐴∪𝐵=𝐵∪𝐴 , 𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐴 Hukum Distributif: 𝐴∪ 𝐵∩𝐶 = 𝐴∪𝐵 ∩ 𝐴∪𝐶 , 𝐴∩ 𝐵∪𝐶 = 𝐴∩𝐵 ∪(𝐴∩𝐶) Hukum Identitas: 𝐴∪∅=𝐴 , 𝐴∩𝑈=𝐴 , 𝐴∪𝑈=𝑈 , 𝐴∩∅=∅ Hukum Komplemen: 𝐴∪ 𝐴 𝐶 =𝑈 , 𝐴∩ 𝐴 𝐶 =∅ , 𝐴 𝐶 𝐶 =𝐴 , 𝑈 𝐶 =∅ , ∅ 𝐶 =𝑈 Hukum De Morgan: 𝐴∪𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐶 ∩ 𝐵 𝐶 , (𝐴∩𝐵) 𝐶 = 𝐴 𝐶 ∪ 𝐵 𝐶   Teorema 3: 𝐴⊂𝐵 bila hanya bila: 𝐴∩𝐵=𝐴 𝐴∪𝐵=𝐵 𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐶 𝐴∩ 𝐵 𝐶 =∅ 𝐵∪ 𝐴 𝐶 =𝑈

PRODUK DARI SET-SET Misalkan A dan B adalah set-set tertentu. Produk dari set A dan B ditulis 𝑨𝑿𝑩, memuat semua pasangan terurut (a,b) dengan 𝑎∈𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑏∈𝐵 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐴 𝑋 𝐵= 𝑎,𝑏 :𝑥∈𝐴 , 𝑏∈𝐵 . Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan 𝐴 𝑋 𝐴 dinotasikan dengan 𝐴 2 . Contoh: 𝐴= 1,2,3 𝑑𝑎𝑛 𝐵= 𝑎,𝑏 , tentukan 𝐴 𝑋 𝐵!

RELASI

Domain (daerah asal) dari relasi R dari A ke B adalah set dari koordinat pertama pasangan di dalam R dan range (daerah hasil) adalah set dari koordinat kedua di dalam R yaitu: Domain 𝑅= 𝑎: 𝑎,𝑏 ∈𝑅 & Range 𝑅= 𝑏: 𝑎,𝑏 ∈𝑅 𝑏: 𝑎,𝑏 ∈𝑅 Invers dari R ditulis 𝑅 −1 adalah relasi dari B ke A didefinisikan: 𝑅 −1 = 𝑏,𝑎 : 𝑎,𝑏 ∈𝑅 Relasi identitas di dalam suatu set A ditulis

RELASI EQUIVALEN

Bila R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari 𝑎∈𝐴 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑎 adalah set dari elemen-elemen yang berrelasi dengan a yaitu: 𝑎 = 𝑥:(𝑎,𝑥)∈𝑅 . Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis A/R disebut faktor (quotient) A oleh R yaitu A/R= 𝑎 :𝑎∈𝑅 . Set faktor A/R memenuhi sifat-sifat berikut: Teorema 4. Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan 𝑎 adalah kelas equivalen dari 𝑎∈𝐴 maka: Untuk setiap 𝑎∈𝐴 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎∈ 𝑎 𝑎 = 𝑏 bila dan hanya bila (a,b) ∈𝑅 Bila 𝑎 ≠ 𝑏 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 ⋂ 𝑏 =𝜙 Suatu kelas 𝒜 dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan hanya bila : Tiap 𝑎∈𝐴 termasuk anggota dari 𝒜 Anggota-anggota dari 𝒜 sepasang-sepasang saling lepas (disjoint) Teorema 5. Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor (quotient) A/R adalah partisi dari A.

KOMPOSISI DARI RELASI Misal U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu 𝑈⊂𝐴𝑋𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑉⊂ 𝐵𝑋𝐶 maka relasi dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang 𝑏∈𝐵. 𝑎,𝑏 ∈𝑈 𝑑𝑎𝑛 (𝑏,𝑐)∈𝑉 disebut komposisi dari U dan V ditulis 𝑉∘𝑈. Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis: 𝑉∘𝑈= 𝑥,𝑦 :𝑥∈𝐴, 𝑦∈𝐶, 𝑏∈𝐵, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥,𝑏 ∈𝑈, (𝑏,𝑦)∈𝑉 . Contoh: Misalkan 𝐴= 1,2,3,4 , 𝐵= 𝑥,𝑦,𝑧,𝑤 , 𝐶= 5,6,7,8 𝑈= (1,𝑥), 1,𝑦 , 2,𝑥 , 3,𝑤 ,(4,𝑤) dan 𝑉= 𝑦,5 , 𝑦,6 , 𝑧,8 ,(𝑤,7) U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C. Gambarkan kedua relasi tersebut dan tentukan 𝑉∘𝑈!

BAB II FUNGSI FUNGSI FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS KOMPOSISI FUNGSI SET BERINDEKS ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI REAL

FUNGSI Misalkan tiap-tiap elemen dari set A dipasangkan dengan tepat satu elemen yang unik dari set B, suatu koleksi f yang memasangkan elemen-elemen tersebut disebut fungsi (mapping/pemetaan) dari A ke B ditulis 𝑓:𝐴→𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐴 𝑓 𝐵. Elemen yang ada dalam B sebagai pasangan dari 𝑎∈𝐴 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑓(𝑎) disebut nilai f pada a atau bayangan (image) dari a di bawah f. Domain (daerah asal) f adalah A dan kodomain (daerah kawan) dari f adalah B. Tiap-tiap fungsi 𝑓:𝐴→𝐵 berkorespondensi dengan relasi di dalam A X B dinyatakan oleh (𝑎,𝑓 𝑎 :𝑎∈𝐴 . Set tersebut dikatakan sebagai grafik dari f. Daerah hasil dari f (range f) ditulis 𝑓 𝐴 adalah set dari semua bayangan (peta) dari a oleh f yaitu 𝑓 𝐴 = 𝑓 𝑎 :𝑎∈𝐴 . Dua fungsi 𝑓:𝐴→𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑔:𝐴→𝐵 adalah sama ditulis 𝑓=𝑔 bila dan hanya bila 𝑓 𝑎 =𝑔(𝑎) untuk tiap 𝑎∈𝐴 yaitu bila dan hanya bila kedua grafik sama.

FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS Fungsi 𝑓:𝐴→𝐵 disebut satu-satu atau 1 – 1 bila elemen-elemen dalam A mempunyai peta yang berbeda dalam B yaitu bila: 𝑓 𝑎 =𝑓 𝑎 ′ ⟹𝑎=𝑎′ Fungsi 𝑓:𝐴→𝐵 disebut onto (kepada) bila tiap 𝑏∈𝐵 adalah bayangan dari sebarang 𝑎∈ 𝐴 yaitu bila: 𝑏∈𝐵⟹𝑎∈𝐴 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑓 𝑎 =𝑏. Jadi bila f onto 𝑓 𝐴 =𝐵. Umumnya, relasi invers 𝑓 −1 dari suatu fungsi 𝑓⊂𝐴𝑋𝐵 tak perlu merupakan fungsi. Apabila f suatu fungsi yang onto dan satu-satu maka 𝑓 −1 adalah fungsi dari B kepada A dan 𝑓 −1 disebut fungsi invers. Relasi identitas (diagonal) ∆ 𝐴 ⊂𝐴𝑋𝐴 adalah suatu fungsi yang disebut fungsi identitas pada A. Fungsi identitas dinotasikan oleh 𝐼 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐼. Dalam hal ini, 𝐼 𝐴 𝑎 =𝑎 untuk tiap 𝑎∈𝐴. Selanjutnya bila f : A→𝐵 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐼 𝐵 ∘𝑓=𝑓=𝑓∘ 𝐼 𝐴 , bila f satu-satu dan onto dengan invers 𝑓 −1 maka 𝑓 −1 ∘𝑓= 𝐼 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑓∘ 𝑓 −1 = 𝐼 𝐵 Proporsi 1: misal 𝑓 :𝐴→𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑔 :𝐵→𝐶 sehingga 𝑔∘𝑓= 𝐼 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑓∘𝑔= 𝐼 𝐵 maka: 𝑓 −1 :𝐵→𝐴 𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑔= 𝑓 −1

KOMPOSISI FUNGSI

ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI REAL Misal F (X,R) notasi untuk koleksi dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebarang set X. Beberapa operasi di dalam F (X,R) berkorespondensi dengan operasi- operasi di dalam R. Bila 𝑓:𝑋→𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑔:𝑋→𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑘∈𝑅 maka didefinisikan: 𝑓+𝑔 :𝑋→𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑓+𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥) 𝑘.𝑓 :𝑋→𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑘.𝑓 𝑥 =𝑘(𝑓 𝑥 ) 𝑓 :𝑋→𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑓𝑔 :𝑋→𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑓𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓+𝑘 :𝑋→𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑓+𝑘 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑘

Teorema: Koleksi 𝐹 𝑋,𝑅 dari semua fungsi bernilai real didefinisikan pada set tidak kosong X dengan operasi-operasi yang didefinisikan di atas memenuhi aksioma ruang vector real linear berikut: Operasi tambahan (adisi) dari fungsi-fungsi f dan g memenuhi sifat-sifat: 𝑓+𝑔 +ℎ=𝑓+(𝑔+ℎ) 𝑓+𝑔=𝑔+𝑓 𝔷𝑂∈𝐹 𝑋,𝑅 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑂:𝑋→𝑅 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑓+𝑂=𝑓 Untuk tiap 𝑓∈𝐹 𝑋,𝑅 , 𝑎𝑑𝑎−𝑓∈𝐹(𝑋,𝑅) Operasi perkalian skalar k.f dari fungsi f dengan bilangan real k memenuhi sifat: 𝑘. 𝑘 ′ .𝑓 = 𝑘. 𝑘 ′ 𝑓 1.𝑓=𝑓 Operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi sifat: 𝑘. 𝑓+𝑔 =𝑘.𝑓+𝑘.𝑔 𝑘+ 𝑘 ′ .𝑓=𝑘.𝑓+ 𝑘 ′ .𝑔

BAB III RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES) TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS) HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS) PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET) INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI

RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES) Misal 𝑋 adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas 𝜏 yang anggotanya subset-subset dari 𝑋 disebut topologi pada X, bila dan hanya bila 𝜏 memenuhi ketiga aksioma berikut: 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ termasuk dalam 𝜏 Gabungan dari set-set anggota dari 𝜏 adalah anggota 𝜏 Irisan dari dua set anggota 𝜏 adalah anggota 𝜏 Anggota –anggota dari 𝜏 disebut set – set buka dari 𝜏, dan 𝑋 bersama 𝜏 yaitu (𝑿,𝝉) disebut ruang topologi.

Apabila D adalah kelas dari semua subset dari 𝑋 atau 𝐷= 2 𝑥 atau dapat dikatakan D adalah himpunan kuasa (power set) dari 𝑋 maka 𝐷 adalah topologi pada 𝑋 karena memenuhi ketiga aksioma pada topologi sehingga disebut topologi diskrit dan (𝑋,𝐷) disebut ruang topologi diskrit atau secara singkat disebut ruang diskrit., sedangkan himpunan kuasa (power set) dari X yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan bagian dari 𝑋. Suatu topologi pada 𝑋 harus memuat set 𝑑𝑎𝑛 ∅ . Kelas 𝑌= 𝑋, ∅ yang hanya memuat 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah topologi pada X, sehingga 𝑌= 𝑋, ∅ disebut topologi indiskrit dan (𝑿,𝒀) disebut ruang topologi indiskrit atau ruang indiskrit. Apabila (𝑋,𝜏) ruang topologi dan 𝜏 1 adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari set-set buka dari 𝜏 maka 𝜏 1 adalah topologi kofinit.

𝑇 1 𝑑𝑎𝑛 𝑇 2 adalah topologi pada X maka 𝑇 1 ∩ 𝑇 2 juga merupakan topologi pada 𝑋 tetapi 𝑇 1 ∪ 𝑇 2 belum tentu (tak perlu) merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong adalah set kosong dan irisan kosong dari subset-subset dari 𝑋 adalah 𝑋 sendiri. Elemen suatu topologi 𝑇 pada 𝑋 disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian 𝐴 dari 𝑋 yang komplemennya ada di dalam 𝑇 ( 𝐴 𝑐 ∈𝑇) merupakan himpunan yang tertutup atau dapat dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka adalah himpunan-himpunan yang tertutup. Jadi suatu himpunan 𝐴 disebut tertutup jika hanya jika 𝐴 𝑐 adalah terbuka. Apabila 𝑇 adalah suatu topologi pada 𝑋 maka kelas himpunan bagian yang tertutup dari 𝑋 mempunyai sifat : 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah himpunan-himpunan yang tertutup Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup

TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS)

HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS) Definisi: Untuk sebarang ruang topologi (𝑋,𝜏). Anggota-anggota dari 𝜏 dikatakan himpunan terbuka. Teorema: Untuk sebarang ruang topologi (𝑋,𝜏) maka: 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah set-set buka Irisan dari set-set buka adalah buka Gabungan dari dua set-set buka adalah buka Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan terbuka. Misal 𝑋 adalah ruang topologi. Subset 𝐴 dari 𝑋 disebut set tertutup bila dan hanya bila komplemen 𝐴 𝑐 adalah set buka. Untuk sebarang ruang topologi (𝑋,𝜏) , suatu himpunan bagian 𝐴 dari 𝑋 dikatakan himpunan tertutup jika komplemennya merupakan himpunan terbuka pada (𝑋,𝜏) . Apabila 𝑋 adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari 𝑋 adalah buka maka setiap subset dari 𝑋 adalah juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain, setiap subset dari X adalah buka dan tutup. Ingat bahwa 𝐴 𝑐 𝑐 = 𝐴, untuk setiap subset 𝐴 dari 𝑋 maka diperoleh proposisi berikut: Dalam ruang topologi 𝑋, subset 𝐴 dari 𝑋 adalah buka bila dan hanya bila komplemennya tutup.

Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut: Bila 𝑋 ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari 𝑋 memiliki sifat-sifat yaitu: 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah set-set tutup Irisan dari set-set tutup adalah tutup Gabungan dari dua set tutup adalah tutup Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik kumpul sebagai berikut, dengan teorema: Subset 𝐴 dari ruang topologi 𝑋 adalah tutup bila dan hanya bila A memuat semua titik kumpul dari 𝐴. Dengan kata lain bahwa set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive 𝑨′ dari A adalah subset dari A yaitu 𝑨′⊂𝑨

PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET) Misal 𝐴 subset dari ruang topologi 𝑋. Penutup dari A (closure of A) ditulis 𝑨 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑨 − adalah irisan dari semua superset tutup dari A. Dengan kata lain, bila 𝐹 𝑖 : 𝑖∈𝐼 adalah kelas semua subset tutup dari 𝑋 yang memuat 𝐴 maka 𝐴 = ∩ 𝑖 𝐹 𝑖 Perhatikan bahwa 𝐴 adalah tutup karena 𝐴 adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya juga, 𝐴 adalah superset tutup terkecil dari 𝐴, dengan demikian bila 𝐹 adalah set tutup yang memuat 𝐴 maka 𝑨⊂ 𝑨 ⊂𝑭. Berdasarkan hal tersebut, set 𝐴 adalah tutup bila dan hanya bila 𝐴= 𝐴 dan diperoleh pernyataan berikut dengan dalil (proposisi): Bila 𝐴 penutup dari set maka: 𝐴 adalah penutup Bila 𝐹 superset tutup dari A maka 𝐴⊂ 𝐴 ⊂𝐹 𝐴 adalah tutup bila dan hanya bila 𝐴= 𝐴

Misal 𝑋 adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set terhingga dan ∅ adalah set-set buka maka set-set tutup dari topologi tersebut adalah set-set terhingga dari 𝑋 dengan 𝑋. Jadi bila 𝐴⊂𝑋 terhingga, penutup dari 𝐴 adalah 𝐴 sendiri karena 𝐴 tutup. Sebaliknya bila 𝐴⊂𝑋 tak hingga maka 𝑋 adalah superset tutup dari 𝐴, jadi 𝐴 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑋 . Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X dengan penutup 𝐴 ⊂𝑋 yang memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup Kuratowski dengan dalil (proposisi): ∅ =∅, 𝐴⊂ 𝐴 𝐴∪𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 − − = 𝐴

INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY Misal 𝐴 subset dari ruang topologi 𝑋. Titik 𝑝∈𝑋 disebut titik interior dari 𝑨 bila 𝒑 termasuk set buka 𝑮 subset dari 𝑨, yaitu ∈𝑮⊂𝑨 , 𝑮 set buka. Set dari titik-titik interior dari A ditulis int (A), 𝑨 atau 𝑨 ° , disebut interior dari A. Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan dalil (proporsisi): Interior dari set A adalah gabungan dari semua subset dari A, selanjutnya juga bahwa: 𝐴 ° adalah buka 𝐴 ∘ subset buka terbesar dari 𝐴; yaitu bila 𝐺 subset buka dari 𝐴 maka 𝐺⊂ 𝐴 ∘ ⊂𝐴 A adalah buka bila hanya bila 𝐴= 𝐴 ∘ Eksterior dari 𝑨 ditulis eks (𝑨) adalah interior dari komplemen A yaitu int ( 𝑨 𝒄 ). Boundary (batas) dari 𝑨 ditulis b(𝑨) adalah set dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan tidak termasuk eksterior dari 𝑨. Berikut ini hubungan interior, eksterior, dan penutup dengan teorema: Misal A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari interior dan batas dari A yaitu 𝑨 = 𝑨 ∘ ∪𝒃(𝑨).

LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN Misal 𝑝 adalah titik dalam ruang topologi 𝑋. Suatu subset 𝑁 dari 𝑋 disebut lingkungan dari 𝑝 jika dan hanya jika 𝑵 adalah suatu superset dari set buka 𝑮 yang memuat 𝒑 yaitu: 𝒑∈ 𝑮⊂𝑵 dengan 𝑮 set buka. Dengan kata lain relasi “N adalah lingkungan dari p” adalah invers dari “p adalah titik interior N”. Kelas dari semua lingkungan dari 𝑝∈𝑋 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑁 𝑝 disebut sistem lingkungan (neighborhood system) dari 𝑝. Untuk suatu sistem lingkungan 𝑁 𝑝 dari suatu titik 𝑝∈𝑋 ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut aksioma lingkungan sebagai berikut: Proporsisi: a. 𝑁 𝑝 ≠∅ dan p termasuk ke dalam tiap anggota 𝑁 𝑝 Irisan dari dua anggota 𝑁 𝑝 termasuk 𝑁 𝑝 Setiap superset dari anggota 𝑁 𝑝 termasuk 𝑁 𝑝 Tiap anggota 𝑁∈ 𝑁 𝑝 adalah superset dari anggota 𝐺∈ 𝑁 𝑝 dengan G adalah lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu 𝐺∈ 𝑁 𝑔 untuk tiap ∈𝐺

TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER Misal 𝜏 1 dan 𝜏 2 adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka anggota 𝜏 1 subset dari X adalah anggota 𝜏 2 subset dari X. Dengan demikian, bahwa 𝜏 1 adalah kelas bagian dari 𝜏 2 yaitu 𝜏 1 ⊂ 𝜏 2 , sehingga dikatakan bahwa 𝜏 1 adalah lebih kasar (Coarser) atau lebih kecil (smaller) atau lebih lemah (weaker) terhadap 𝜏 2 atau 𝜏 2 lebih halus (finer) atau lebih besar (larger) terhadap 𝜏 1 . Perhatikan bahwa 𝑇= 𝜏 1 koleksi dari topologi-topologi adalah terurut parsial dan dapat ditulis 𝜏 1 ≾ 𝜏 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜏 1 ⊂𝜏 2 dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X tidak dapat dibandingkan bila topologi yang satu bukan korser terhadap yang lainnya.

RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi (𝑋,𝜏). Kelas 𝜏 𝐴 yaitu kelas dari semua irisan dari A dengan subset- subset buka 𝝉 pada X adalah topologi pada A dan topologi tersebut disebut topologi relative pada A atau relatifisasi 𝜏 terhadap A dan ruang topologi (𝐴, 𝜏 𝐴 ) disebut ruang bagian dari (𝑋, 𝜏). Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka dari 𝜏 𝐴 , yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset buka G dari X dan 𝐺∈𝜏 sedemikian hingga 𝐻=𝐺∩𝐴

EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang topologi dan digunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk topologi. Teorema berikut menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada suatu set dengan menggunakan pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu titik dan penutup suatu set : Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap 𝑝∈𝑋 , 𝒜 𝑝 kelas dari subset-subset dari X memenuhi aksioma berikut: 𝒜 𝑝 tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari 𝒜 𝑝 Irisan dari dua anggota 𝒜 𝑝 termasuk dalam 𝒜 𝑝 Setiap superset dari anggota 𝒜 𝑝 termasuk 𝒜 𝑝 Setiap anggota 𝑁∈ 𝒜 𝑝 adalah superset dari anggota 𝐺∈ 𝒜 𝑝 sedemikian hingga 𝐺∈ 𝒜 𝑔 untuk tiap 𝑔∈𝐺 maka ada satu dan hanya satu topologi 𝜏 pada X sedemikian hingga 𝒜 𝑝 adalah sistem lingkungan 𝜏 dari titik ∈𝑋 .

Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang menghubungkan tiap subset A dari X dengan subset Ak dari X yang memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut: ∅ 𝑘 = ∅ 𝐴⊂ 𝐴 𝑘 (𝐴∪𝐵) 𝑘 = 𝐴 𝑘 ∪ 𝐵 𝑘 ( 𝐴 𝑘 ) 𝑘 = 𝐴 𝑘 maka ada satu dan hanya satu topologi 𝜏 pada X sedemikian hingga 𝐴 𝑘 adalah penutup subset A dari X.

BAB IV BASIS & BASIS BAGIAN BASIS UNTUK TOPOLOGI BASIS BAGIAN TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET BASIS LOKAL BASIS LIMIT

BASIS UNTUK TOPOLOGI Definisi: Misal 𝑋,𝜏 suatu ruang topologi. Suatu kelas 𝔹 yang terdiri dari subset-subset buka dari X yaitu 𝔹⊂𝜏 adalah basis untuk topologi 𝜏 bila dan hanya bila setiap set buka 𝐺∈𝑟 adalah gabungan dari anggota-anggota . Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut “𝔹⊂𝜏 adalah basis untuk topologi 𝜏 bila dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada 𝐵∈𝔹 dengan ∈𝐵⊂𝐺 . Dengan definisi lain: Apabila diberikan ruang topologi (𝑋,𝜏) , suatu koleksi 𝛽 dari himpunan- himpunan terbuka pada X maka dikatakan basis pada topologi 𝜏 jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan dari elemen-elemen pada 𝛽 .

Teorema berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup untuk kelas dari set-set yang merupakan basis untuk suatu topologi, yaitu: Misal 𝔹 adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong X maka 𝔹 adalah basis untuk suatu topologi pada X bila dan hanya bila memenuhi dua sifat: 𝑋= ∪ 𝐵:𝐵∈𝔹 Untuk suatu B, 𝐵 ∗ ∈𝔹 , 𝐵∩ 𝐵 ∗ adalah gabungan dari anggota-anggota 𝔹 atau bila 𝑝∈𝐵∩ 𝐵 ∗ maka 𝔷 𝐵 𝑝 ∈𝔹 sedemikian hingga 𝑝∈ 𝐵 𝑝 ⊂𝐵∩ 𝐵 ∗ . Jika 𝐵 2 merupakan suatu basis untuk topologi 𝜏 pada 𝑋 dan 𝐵 2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada 𝑋 dimana 𝐵 1 ⊂ 𝐵 2 maka 𝐵 2 adalah juga basis untuk topologi .

BASIS BAGIAN Misal (𝑋,𝜏) suatu ruang topologi. Kelas 𝛼 yang anggotanya subset-subset buka dari 𝑋 yaitu 𝛼⊂𝜏 adalah basis bagian untuk topologi 𝜏 pada 𝑋 bila dan hanya bila irisan terhingga dari anggota-anggota 𝛼 membentuk basis untuk 𝜏 Contoh: Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis real R adalah irisan dari dua interval buka tak hingga (𝑎,∞) dan −∞,𝑏 : 𝑎,𝑏 = 𝑎,∞ ∩(−∞,𝑏) . Interval-interval bukanya membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R. Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R2 adalah persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang – persegi panjang buka membentuk basis untuk topologi pada R2 . Kelas 𝛽 dari semua pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk R2.

TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET Misal 𝒜 adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong. Kemungkinan 𝒜 bukan merupakan basis untuk topologi pada 𝑋 . Jadi 𝒜 selalu merupakan pembangunan dari topologi pada 𝑋 seperti dikemukakan pada teorema berikut: Suatu kelas 𝒜 yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong 𝑋 adalah basis bagian untuk suatu topologi 𝜏 yang unik pada 𝑋. Jadi irisan tak hingga dari anggota-anggota 𝒜 membentuk basis untuk topologi 𝜏 pada . Misal 𝑅 subset-subset dari set tidak kosong 𝑋. Meskipun 𝑅 bukan basis tapi 𝑅 dapat membentuk topologi dengan cara: Ditentukan semua irisan hingga dalam 𝑅 yang merupakan basis dari suatu topologi. Dilakukan gabungan dari basis tersebut yang merupakan topologi yang dicari. Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti proposisi berikut: Bila 𝒜 adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong 𝑋 maka topologi 𝜏 pada 𝑋 yang dibangun oleh 𝒜 adalah irisan dari semua topologi pada 𝑋 yang memuat 𝒜.

BASIS LOKAL Misal 𝑝 adalah sebarang titik di dalam ruang topologi X . Kelas 𝔹 𝑝 dari subset-subset buka yang memuat p disebut basis lokal pada 𝑝 bila dan hanya bila untuk tiap set buka 𝐺 yang memuat 𝑝 ada 𝐺 𝑝 ∈ 𝔹 𝑝 sedemikian hingga 𝑝∈ 𝐺 𝑝 ⊂𝐺 Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik dengan proposisi: Bila 𝔹 basis untuk topologi 𝜏 pada X dan 𝑝∈𝑋 maka anggota dari basis 𝔹 yang memuat p membentuk basis lokal di p. Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik kumpul dari 𝐴⊂𝑋 bila dan hanya bila tiap-tiap anggota suatu basis lokal 𝔹 𝑝 pada p memuat suatu titik A yang berbeda dengan p. Barisan ( 𝑎 1 , 𝑎 2 ,…) dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke 𝑝∈𝑋 bila dan hanya bila tiap anggota dari sebarang basis lokal 𝔹 𝑝 pada p memuat semua suku- suku dari barisan itu.

Ketiga proposisi diatas memberikan corollary berikut: Bila 𝔹 suatu basis untuk topologi 𝜏 pada X maka : 𝑝∈𝑋 adalah titik kumpul dari 𝐴⊂𝑋 bila dan hanya bila tiap set basis buka 𝐵∈𝔹 yang memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p. Barisan ( 𝑎 1 , 𝑎 2 ,…) dari titik-titik dalam X konvergen ke 𝑝∈𝑋 bila dan hanya bila tiap set basis buka 𝐵∈𝔹 yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu. Definisi basis lokal lainnya: Diberikan (X,T) merupakan ruang topologi dan 𝑎∈𝑋 maka koleksi 𝐵 𝑎 dikatakan basis lokal pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G terdapat anggota 𝛽 dari B sehingga 𝑎∈𝐵⊆𝐺.  Remark/Keterangan: It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each point of ground set but the converse may not be true (Setiap basis untuk topologi juga merupakan basis lokal dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya mungkin tidak benar). Union of all bases froms bases for topology 𝜏 defined on the any non-empty set X (Persatuan dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi 𝜏, setiap tidak kosong X set).

BASIS LIMIT Basis limit dengan teorema sebagai berikut: B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil yaitu 𝐵 1 = 𝑎,𝑏 ∕𝑎,𝑏∈𝑅,𝑎<𝑏 dan 𝑎,𝑏 = 𝑥∈𝑅∕𝑎<𝑥≤𝑏 . R adalah himpunan bilangan riil. Karena setiap bilangan riil 𝑟∈𝑅 terletak pada suatu interval terbuka tertutup dari B1 maka R merupakan gabungan (union) dari anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan dari dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau merupakan suatu interval terbuka tertutup lagi yang berarti juga anggota dari B1. Jika A merupakan koleksi interval terbuka tertutup (a,b] maka A merupakan suatu topologi pada R sehingga B1 merupakan basis untuk topologi A dan disebut topologi limit atas (upper limit topology). Bila 𝐵 2 = 𝑎,𝑏 𝑎 ,𝑏∈𝑅,𝑎<𝑏 yaitu kelas interval tertutup terbuka pada garis bilangan riil R dimana [𝑎,𝑏)= 𝑥∈𝑅∕𝑎≤𝑥<𝑏 maka B2 merupakan suatu basis untuk topologi pada R dan disebut topologi limit bawah (lower limit topology) pada R. Bila 𝐵 3 = 𝑎,𝑏 𝑎 ,𝑏∈𝑅, 𝑎<𝑏 yaitu koleksi interval terbuka pada garis riil R dimana 𝑎,𝑏 = 𝑥∈𝑅/𝑎<𝑥<𝑏 maka B3 merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.

BAB V KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN FUNGSI-FUNGSI KONTINU FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG KONTINU PADA SUATU TITIK KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP RUANG HOMEOMORPHIS SIFAT-SIFAT TOPOLOGI TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI

FUNGSI-FUNGSI KONTINU Misalkan (𝑋,𝜏) dan (𝑌, 𝜏 ∗ ) adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi f dari X ke dalam Y disebut kontinu relative ke 𝜏 𝑑𝑎𝑛 𝜏 ∗ atau kontinu 𝜏− 𝜏 ∗ atau kontinu bila dan hanya bila bayangan invers 𝑓 −1 [𝐻] dari tiap 𝜏 ∗ dengan H subset buka dari Y adalah anggota 𝜏 merupakan subset buka dari X atau bila dan hanya bila 𝐻∈ 𝜏 ∗ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓 −1 [𝐻]∈𝜏 . Ditulis 𝑓: 𝑋,𝜏 →(𝑋, 𝜏 ∗ ) untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain (𝑋,𝜏) dan (𝑌, 𝜏 ∗ ) merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 disebut kontinu 𝑇 1 − 𝑇 2 jika untuk setiap himpunan terbuka H anggota 𝑇 ∗ berlaku 𝑓 −1 [𝐻] anggota dari 𝑇 1 . Proposisi: Fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis 𝔹 untuk Y adalah subset buka dari X.

Teorema: Misal 𝜏 adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 adalah kontinu bila hanya bila invers tiap-tiap anggota 𝜏 adalah sub set buka dari 𝑋. Fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup dari Y adalah tutup dari X. Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu: Suatu fungsi 𝑓:𝑅→𝑅 adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka. Jika suatu fungsi 𝑓:𝑅→𝑅 adalah konstan yaitu 𝑓 𝑥 =𝑘 untuk setiap 𝑥∈𝑅 maka f adalah kontinu. Jika suatu fungsi 𝑓:𝑅→𝑅 adalah fungsi identitas yaitu 𝑓 𝑥 =𝑥 maka f adalah kontinu. Jika suatu fungsi 𝑓:𝑅→𝑅 dan 𝑔:𝑅→𝑅 adalah fungsi-fungsi kontinu maka 𝑓∘𝑔 :𝑅→𝑅 adalah juga kontinu.

FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG Misal X adalah ruang topologi. Titik 𝑝∈𝑋 disebut tutup sebarang (arbitrarily close) terhadap set 𝐴⊂𝑋 bila 𝑝∈𝐴 dan p adalah titik kumpul dari A Ingat bahwa 𝐴 =𝐴∪𝐴′ ; jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang merupakan tutup sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa 𝐴 = 𝐴 ∘ ∪𝑏(𝐴) , jadi p adalah tutup sebarang terhadap A karena p adalah titik interior atau titik batas dari A. Fungsi-fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi-fungsi dengan tutup sebarang utuh dengan teorema seperti berikut: Fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 adalah kontinu bila dan hanya bila untuk 𝑝∈𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝐴⊂𝑋; p tutup sebarang ke A maka f(p) tutup sebarang ke f[A] atau 𝑝∈ 𝐴 maka 𝑓(𝑝)∈ 𝑓[𝐴] atau 𝑓[ 𝐴 ]⊂ 𝑓[𝐴] .

KONTINU PADA SUATU TITIK Suatu fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 adalah kontinu di titik 𝑝∈𝑋 bila hanya bila bayangan invers 𝑓 −1 𝐻 dari tiap set buka 𝐻⊂𝑌 yang memuat f(p) adalah superset dari set buka 𝐺⊂𝑋 yang memuat p, atau nila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari f(p) adalah lingkungan dari p yaitu 𝑁∈ 𝑁 𝑓(𝑝) ⟹ 𝑓 −1 [𝑁]∈ 𝑁 𝑝 . Teorema: Misal X dan Y masing-masing ruang topologi maka fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 adalah kontinu bila dan hanya bila 𝑓:𝑋→𝑌 kontinu pada tiap titik dari X.

KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK Fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 adalah barisan kontinu di titik 𝑝∈𝑋 bila dan hanya bila untuk tiap barisan (an) dalam X konvergen ke p, barisan (f(an)) dalam Y konvergen ke f(p), yaitu: 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎 𝑛 →𝑝 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓( 𝑎 𝑛 )→𝑓(𝑝) Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 kontinu di titik 𝑝∈𝑋 maka 𝑓:𝑋→𝑌 adalah barisan kontinu di titik p. Catatan: Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi 𝜏 pada garis real R yang terdiri ∅ dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu barisan (an) konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛𝑜,𝑝,𝑝,𝑝,…), maka untuk suatu fungsi 𝑓: 𝑅,𝜏 →(𝑋, 𝜏 ∗ ) , (f(an)) = (f(a1), f(a2), … , f(ano), f(p), f(p), f(p),…) konvergen ke f(p). Dengan kata lain, setiap fungsi pada (𝑅,𝜏) adalah barisan kontinu. Sebaliknya, fungsi 𝑓: 𝑅,𝜏 →(𝑅,𝑈) yang didefinisikan oleh 𝑓 𝑥 = 𝑥, yaitu fungsi identitas, adalah bukan kontinu 𝜏−𝑢 karena 𝑓 −1 0,1 =(0,1) bukan subset buka 𝜏 dari R.

FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP Fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa bayangan invers dari tiap set buka dan bayangan invers dari tiap set tutup adalah tutup. Definisi dari fungsi buka dan tutup didefinisikan sebagai berikut: Fungsi 𝑓:𝑋→𝑌 disebut fungsi buka (fungsi interior) bila bayangan (peta) dari tiap set buka adalah buka. Fungsi 𝑔:𝑋→𝑌 disebut fungsi tutup bila bayangan (peta) dari tiap set tutup adalah tutup. Pada umumnya fungsi-fungsi buka, tidak perlu tutup, dan sebaliknya. Contoh: Fungsi konstan 𝑓(𝑥)=1 merupakan fungsi tertutup dan kontinu, tidak terbuka. Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 merupakan fungsi tidak terbuka karena misalnya 𝐺=(−1,1) interval buka maka 𝑓 𝐺 =[0,1) tidak terbuka.

RUANG HOMEOMORPHIS

SIFAT-SIFAT TOPOLOGI Sifat P dari set-set disebut topologi atau topologi invarian, bila ruang topologi (𝑋,𝜏) mempunyai sifat P maka setiap ruang yang homeomorphis dengan (𝑋,𝜏) juga mempunyai sifat P. Berikut, “keterhubungan” didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat topologi: Ruang topologi (𝑋,𝜏) disebut tidak terhubung (disconnected) bila dan hanya bila X adalah gabungan dari dua subset buka yang tidak kosong dan subset-subset yang lepas yaitu 𝑋=𝐺∪𝐻 dengan 𝐺,𝐻∈𝜏 𝑑𝑎𝑛 𝐺∩𝐻= ∅, 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝐺,𝐻 ≠∅. Bila 𝑓:𝑋→𝑌 suatu homemorphisma maka 𝑋=𝐺∪𝐻 bila dan hanya bila 𝑌=𝑓 𝐺 𝑈𝑓[𝐻] dan Y adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak terhubung. Ruang topologi (𝑋,𝜏) adalah terhubung (connected) bila dan hanya bila (𝑋,𝜏) tidak tak terhubung

TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI Misal ( 𝑌 𝑖 , 𝜏 𝑖 ) adalah koleksi dari ruangtopologi-ruang topologi dan untuk tiap 𝑌 𝑖 terdapat fungsi 𝑓 𝑖 =𝑋→ 𝑌 𝑖 yang didefinisikan pada sebarang set tidak kosong X. Untuk memeriksa topologi–topologi pada X yang berturut-turut semua fungsi fi adalah kontinu, ingat kembali bahwa fi adalah kontinu relative terhadap sebarang topologi pada X maka invers bayangan dari tiap-tiap subset buka dari 𝑌 𝑖 adalah subset buka dari X. Jadi kelas-kelas dari subset-subset dari X adalah = ∪ 𝑖 𝑓 −1 𝐻 :𝐻∈ 𝜏 𝑖 . Dengan demikian, 𝛿 memuat invers bayangan dari tiap-tiap subset dari setiap ruang topologi 𝑌 𝑖 . Topologi 𝜏 pada X yang dibangun oleh 𝛿 disebut topologi yang dibangun leh fungsi 𝑓 𝑖 . Sifat-sifat topologi seperti itu mempunyai sifat-sifat berikut dengan teorema: a. Semua fungsi 𝑓 𝑖 adalah kontinu relative terhadap 𝜏 . b. 𝜏 adalah irisan dari semua toplogi pada X dengan fungsi-fungsi 𝑓 𝑖 adalah kontinu. c. 𝜏 adalah terkecil yaitu coarser topologi pada X yang masing-masing fungsi 𝑓 𝑖 adalah kontinu. d. 𝛿 adalah basis bagian untuk topologi 𝜏.

BAB VI KONTABILITAS RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG TEOREMA LINDELOF RUANG TERPISAH SIFAT-SIFAT HEREDITER

RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG Ruang topologi X disebut ruang kontabel pertama bila memenuhui aksioma yang disebut aksioma pertama dari kontabilitas yaitu: Untuk setiap 𝑝∈𝑋 ada kelas dari set-set buka yang kontabel 𝐵 𝑝 yang memuat p sedemikan hingga tiap set buka G yang memuat p juga memuat anggota dari 𝐵 𝑝 . Dengan kata lain, ruang topologi X adalah ruang kontabel pertama bila dan hanya bila basis lokal pada tiap titik 𝑝∈𝑋, dimana aksioma diatas merupakan sifat basis lokal dari ruang topologi X . Dapat juga dikatkan, diberikan (X,T) ruang topologi maka X dikatakan ruang dihitung pertama jika untuk setiap 𝑝∈𝑋 memiliki basis lokal dihitung yaitu setiap 𝑝∈𝑋, 𝐵 𝑝 yang dapat dihitung. Teorema: Fungsi yang didefinisikan pada ruang kontabel pertama X adalah kontinu di 𝑝∈𝑋 bila dan hanya bila fungsi itu adalah barisan kontinu di p. Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa bila X memenuhui aksioma diatas maka 𝑓:𝑋→𝑌 kontinu di 𝑝∈𝑋 bila dan hanya bila tiap barisan (an) konvergen ke p dalam X, barisan (f(an)) konvergen ke (fp) dalam Y yaitu “bila 𝑎 𝑛 →𝑝 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓( 𝑎 𝑛 )→𝑓(𝑝)”. Catatan: Bila 𝔹 𝑝 merupakan basis local kontabel pada titik 𝑝∈𝑋 maka dapat ditulis 𝔹 𝑝 = 𝐵 1 , 𝐵 2 , 𝐵 3 ,… dan bila 𝐵 1 ⊃ 𝐵 2 ⊃ 𝐵 3 ,… , maka 𝔹 𝑝 disebut tumpukan basis lokal pada p.

Ruang Kontabel Kedua / Ruang Terhitung Kedua (Second Countable Spaces) Ruang topologi (𝑋,𝜏) disebut ruang topologi kedua bila memenuhi aksioma berikut yang disebut aksioma kedua dari kontabilitas, yaitu: ada basis kontabel 𝔹 untuk topologi . Teorema: Setiap ruang kontabel kedua adalah ruang kontabel pertama Sebaliknya, garis real R dengan topologi diskrit tidak memenuhi aksioma kedua menurut contoh 2 pada bagian B tentang kontabel kedua diatas tetapi memenuhi aksioma pertama pada bagian A tentang kontabel pertama, sehingga konvers dari teorema 2 adalah benar.

TEOREMA LINDELOF Sebelumnya ada beberapa istilah/pengertian berikut: Bila 𝐴⊂𝑋 dan 𝒜 adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga 𝐴⊂𝑈 𝐸:𝐸∈𝒜 maka 𝒜 disebut sampul (cover) dari A atau 𝒜 disebut sampul A. Bila anggota-anggota dari 𝒜 adalah subset buka dari X maka 𝒜 disebut sampul buka dari A. Bila 𝒜 memuat sampul dari A maka 𝒜 disebut tereduksi ke suatu sampul kontabel (terhingga) atau 𝒜 disebut memuat sampul bagian yang kontabel (terhingga). Ruang kontabel kedua termuat di dalam kedua teorema berikut: Bila A subset dari ruang kontabel kedua X maka tiap sampul buka A tereduksi ke sampul kontabel Bila X ruang kontabel kedua maka tiap basis 𝔹 untuk X tereduksi ke basis kontabel X. Kedua teorema diatas selanjutnya dipakai untuk mendefinisikan ruang Lindelof berikut: Ruang topologi X disebut Ruang Lindelof bila tiap sampul buka dari X tereduksi ke sampul kontabel. Jadi setiap ruang kontabel kedua adalah Ruang Lindelof.

RUANG TERPISAH Ruang topologi X disebut terpisah bila ruang topologi X tersebut memenuhi aksioma: X memuat subset padat yang kontabel Dengan kata lain, X adalah terpisah bila dan hanya bila ada subset terhingga atau subset denumerabel A dari X sedemikian hingga penutup A sama dengan X yaitu 𝐴 = 𝑋 Contoh: Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terpisah karena set bilangan rasional Q adalah denumerabel dan padat di dalam R yaitu 𝑄 =𝑋 Garis real R dengan toplogi diskrit D. Ingat kembali bahwa setiap subset dari R adalah D buka dan D tutup, dimana D merupakan subset padat dari R dalam R sendiri dan R bukan set kontabel, sehingga (R,D) bukan ruang terpisah. Teorema: Bila X memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas maka X adalah terpisah. Garis real R dengan topologi yang dibangun olrh interval tutup buka [a,b) adalah contoh klasik (biasa) dari ruang terpisah yang tidak memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas. Dengan demikian maka konvers dari teorema diatas pada umumnya tidak benar.

SIFAT-SIFAT HEREDITER Sifat P dari ruang topologi X disebut herediter bila dan hanya bila setiap ruang bagian dari X mempunyai sifat P. Setiap ruang bagian dari ruang kontabel kedua adalah kontabel kedua dan setiap ruang bagian dari ruang kontabel pertama adalah kontabel pertama. Dengan kata lain aksioma pertama dan kedua, kedua-duanya herediter, tetapi ruang bagian dari ruang terpisah tidak perlu terpisah yaitu terpisah bukan berarti herediter.

BAB VII AKSIOMA PEMISAH RUANG – T1 RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2) RUANG REGULER (RUANG – T3) RUANG NORMAL (RUANG – T4) LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH RUANG REGULER LENGKAP

RUANG – T1 Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]: Bila F subset tutup dari X dan 𝑝∈𝑋 bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga 𝐹⊂𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑝∈𝐻 Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut: Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat ditunjukkan dengan dimisalkan (𝑎,𝑏)∈𝑋 titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka 𝑎 adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka 𝑏∉ 𝑎 . Menurut [R], ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga 𝑎 ⊂𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑏∈𝐻 sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas. Topologi 𝜏= 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑏,𝑐 pada set = 𝑎,𝑏,𝑐 . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑏,𝑐 dan (𝑋,𝜏) memenuhi [R] tetapi (𝑋,𝜏) bukan ruang T1 karena ada set terhingg 𝑏 tidak tutup.

RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2) Ruang topologi X disebut Ruang hausdorff atau Ruang – T2 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T2]: Setiap pasang titik yang berbeda 𝑎,𝑏∈𝑋 berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka yang lepas (disjoint) Dengan kata lain (T2), ada set-set buka G & H sedemikian hingga: 𝒂∈𝑮, 𝒃∈𝑯 𝒅𝒂𝒏 𝑮∩𝑯=∅ Teorema: Setiap ruang metrik adalah ruang hausdorff Pada umumnya, barisan (a1,a2, ...) dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke lebih dari satu titik. Hal ini tidak berlaku bila X Ruang Hausdorff seperti dinyatakan dalam teorema berikut: Bila X ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam X mempunyai limit yang unik (konversnya tidak benar) Bila X adalah ruang kontabel pertama maka X adalah Ruang Hausdorff bila dan hanya bila setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.

RUANG REGULER (RUANG – T3) Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]: Bila F subset tutup dari X dan 𝑝∈𝑋 bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga 𝐹⊂𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑝∈𝐻 Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut: Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat ditunjukkan dengan dimisalkan (𝑎,𝑏)∈𝑋 titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka 𝑎 adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka 𝑏∉ 𝑎 . Menurut [R], ada set-set buka G dan H yang lepas sedemikian hingga 𝑎 ⊂𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑏∈𝐻 sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas. Topologi 𝜏= 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑏,𝑐 pada set = 𝑎,𝑏,𝑐 . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑏,𝑐 dan (𝑋,𝜏) memenuhi [R] tetapi (𝑋,𝜏) bukan ruang T1 karena ada set terhingg 𝑏 tidak tutup.

RUANG NORMAL (RUANG – T4) Ruang topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila memenuhi aksioma berikut: Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset buka G dan H yang saling lepas sedemikian hingga 𝐹 1 ⊂𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐹 2 ⊂𝐻. Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut: Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila untuk setiap set tutup F dan set buka H yang memuat F, ada set buka G sedemikian hingga 𝐹⊂𝐺⊂ 𝐺 ⊂𝐻

LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI Teorema Lemma Urysohn’s: Misal F1 dan F2 salin lepas dan merupakan subset-subset tutup dari ruang normal X maka ada fungsi kontinu 𝑓:𝑋→[0,1] sedemikian hingga 𝑓 𝐹 1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝐹 2 = 1 . Teorema Metrisasi Urysohn: Setiap Ruang – T1 normal kontabel kedua adalah metrisabel.

FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH Misal 𝒜= 𝑓𝑖:𝑖∈𝐼 adalah kelas dari fungsi-fungsi dari set X ke dalam set Y. Kelas 𝒜 dari fungsi-fungsi disebut titik-titik terpisah bila dan hanya bila untuk suatu pasangan dari titik-titik yang berbeda 𝑎,𝑏∈𝑋 ada fungsi f dalam 𝒜 sedemikian hingga 𝑓(𝑎)≠𝑓(𝑏) dengan proposisi: Bila C(X,R) kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real pada ruang topologi terpisah X, maka X adalah Ruang Hausdroff.

RUANG REGULER LENGKAP Ruang topologi disebut ruang regular lengkap bila dan hanya bila memenuhi aksioma: Bila F subset tutup dari X dan 𝑝∈𝑋 bukan anggota dari F maka ada fungsi kontinu 𝑓:𝑋→[0,1] sedemikian hingga 𝑓 𝑝 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝐹 =1. Proporsisi: Ruang Reguler Lengkap adalah Ruang Reguler Ruang regular lengkap X yang memenuhi [T1] yaitu ruang T1 reguler lengkap disebut Ruang Tychonoff. Berdasarkan atas Lemma Urysohn, ruang – T4 adalah Ruang Tychonoff dan menurut proposisi bahwa Ruang Tychonoff adalah Ruang T3 sehingga Ruang Tychonoff yaitu Ruang – T1 Reguler Lengkap, kadang-kadang disebut Ruang – T3 ½. Salah satu sifat penting dari Ruang Tychonoff adalah teorema berikut: (X,R) yaitu kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real ada Ruang – T1 – Reguler Lengkap X adalah titik-titik pisah.

BAB VIII KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS) SET-SET TERPISAH SET TERHUBUNG RUANG TERHUBUNG KOMPONEN RUANG TERHUBUNG LOKAL

SET-SET TERPISAH Dua set A dan B dari ruang topologi X disebut terpisah, bila: A dan B saling lepas (disjoint) dan Titik kumpul dari A tidak termasuk anggota set B dan sebaliknya. Dengan kata lain, A dan B terpisah bila dan hanya bila 𝐴∩ 𝐵 =∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩𝐵=∅. Contoh: Perhatikan interval-interval pada garis real R berikut: A=(0,1) , B=(1,2) dan C=[2,3) A dan B terpisah karena 𝐴 = 0,1 𝑑𝑎𝑛 𝐵= 1,2 𝑑𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝐴∩ 𝐵 =∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩𝐵=∅ Tetapi B dan C tidak terpisah karena 2∈𝐶 adalah titik kumpul dari B sehingga 𝐵 ∩𝐶= 1,2 ∩ 2,3 = 2 ≠∅ . Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut: 𝐴= 0,𝑦 : 1 2 ≤𝑦≤1 𝐵= 𝑥,𝑦 :𝑦=𝑠𝑖𝑛 1 𝑥 , 0<𝑥≤1 Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan set-set terpisah.

SET TERHUBUNG Subset A dari ruang topologi X disebut tidak terhubung (disconnected) bila ada subset-subset buka G dan H dari X sedemikian hingga 𝐴∩𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐴∩𝐻 merupakan set-set tidak kosong yang saling lepas dan gabungannya sama dengan A. Dalam hal ini, 𝐺∪𝐻 disebut tak terhubung dari A. suatu set disebut terhubung (connected) bila set tersebut tidak tak terhubung. Perhatikan bahwa: 𝐴= 𝐴∩𝐺 ∪ 𝐴∩𝐻 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴⊂𝐺∪𝐻 ∅= 𝐴∩𝐺 ∩ 𝐴∩𝐻 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐺∩𝐻⊂ 𝐴 𝑐 Oleh karena itu 𝐺∪𝐻 tak terhubung bila dan hanya bila: 𝐴∩𝐺=∅, 𝐴∩𝐻=∅, 𝐴⊂𝐺∪𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺∩𝐻 ⊂𝐴 𝑐 Catatan: Set kosong ∅ dan set singleton 𝑝 selalu terhubung. Contoh: Perhatikan topologi pada 𝑋= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒 dengan 𝜏= 𝑋, ∅, 𝑎,𝑏,𝑐 , 𝑐,𝑑,𝑒 , 𝑐 Set 𝐴= 𝑎,𝑑,𝑒 adalah tak terhubung karena untuk 𝐺= 𝑎,𝑏,𝑐 dan 𝐻= 𝑐,𝑑,𝑒 maka 𝐴∩𝐺= 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝐴∩ 𝐻= 𝑑,𝑒 merupakan set-set lepas yang tidak kosong dan gabungannya =A (G dan H tidak lepas). Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema; Suatu set disebut terhubung bila dan hanya bila set tersebut buka merupakan gabungan dari set-set terpisah yang tidak kosong. Bila A dan B set-set terhubung yang tidak terpisah maka 𝐴∪𝐵 adalah terhubung.

RUANG TERHUBUNG Keterhubungan adalah sifat mutlak dari suatu set dengan teorema: Bila A subset dari ruang topologi (𝑋,𝜏) maka A terhubung terhadap 𝜏 bila dan hanya bila A terhubung terhadap topologi relative 𝜏 𝐴 pada A. Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila: X bukan gabungan dari dua set buka tidak kosong yang lepas; atau Hanya 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ merupakan subset-subset dari X yang keduanya set buka dan tutup. Bayangan kontinu dari set terhubung adalah terhubung

KOMPONEN Komponen E dari ruang topologi X adalah subset terhubung maksimal dari X sehingga E terhubung dan E bukan subset murni dari suatu subset terhubung dari X. Jelaslah E tidak kosong. Teorema: Komponen-komponen dari ruang topologi X membentuk suatu partisi dari X sehingga komponen-komponen tersebut saling lepas dan gabungannya adalah X. Setiap subset terhubung dari X termasuk ke dalam sebarang komponen. Produk (perkalian) dari ruang terhubung adalah terhubung. Contoh: Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu sendiri. Perhatikan topologi pada 𝑋= 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒 dengan 𝜏= 𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑐,𝑑 , 𝑎,𝑐,𝑑 , 𝑏,𝑐,𝑑,𝑒 Komponen dari X adalah 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏,𝑐,𝑑,𝑒 . Subset terhubung dari X , seperti 𝑏,𝑑,𝑒 adalah satu subset dari komponen-komponen.

RUANG TERHUBUNG LOKAL Ruang topologi X disebut terhubung lokal di 𝑝∈𝑋 bila dan hanya bila setiap set buka yang memuat p termasuk dalam set buka terhubung yang memuat p yaitu bila set-set terhubung buka yang memuat p membentuk basis lokal di p. X disebut terhubung lokal bila X terhubung lokal di setiap titik atau bila subset-subset terhubung dari X membentuk basis untuk X. Contoh: Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila 𝑝∈𝑋 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝 adalah set terhubung buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam setiap set buka yang memuat p. Catatan: X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik. Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut 𝐴= 0,𝑦 : 1 2 ≤𝑦≤1 𝐵= 𝑥,𝑦 :𝑦=𝑠𝑖𝑛 1 𝑥 , 0<𝑥≤1 𝐴∪𝐵 adalah set-set terhubung, tetapi 𝐴∩𝐵 bukan terhubung lokal di 𝑝=(0,1).

BAB IX KEKOMPAKAN (COMPACTNESS) SAMPUL (COVER) SET KOMPAK SUBSET DARI RUANG KOMPAK KEKOMPAKAN DAN RUANG HAUSDORFF

SAMPUL (COVER) Misalkan 𝒜= 𝐺𝑖 adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga 𝐴⊂𝑈𝑖𝐺𝑖 untuk sebarang 𝐴⊂𝑋. Ingat kembali bahwa 𝒜 disebut sampul (cover) dari A dan 𝒜 disebut sampul buka bila tiap 𝐺 𝑖 adalah buka. Selanjutnya, bila suatu kelas bagian terhingga dari 𝒜 merupakan sampul juga dari A yaitu ada 𝐺𝑖 1 ,…, 𝐺𝑖 𝑚 ∈𝒜 sedemikian hingga 𝐴⊂ 𝐺𝑖 1 ∪ 𝐺𝑖 2 ∪…∪ 𝐺𝑖 𝑚 , maka 𝒜 disebut tereduksi ke sampul terhingga atau memuat sampul bagian terhingga. Teorema Heine-Borel: Setiap sampul buka dari interval tutup terbatas A=[a,b] adalah tereduksi ke sampul terhingga. Contoh: Misal kelas 𝒜= 𝐷 𝑝 :𝑝∈𝐵𝑥𝐵 , B set bilangan-bilangan bulat, Dp: daerah buka pada bidang R2 dengan jari-jari 1 dan pusatnya p = (m,n), dimana 𝑚,𝑛∈𝐵 maka 𝒜 adalah sampul dari R2 yaitu setiap titik dalam R2 termasuk ke paling sedikit anggota dari 𝒜 tetapi kelas dari daerah-daerah buka 𝔹= 𝐷 𝑝 ∗ :𝑝∈𝐵𝑥𝐵 , dengan Dp mempunyai pusat p dan jari-jari ½ bukan sampul dari R2. Diambil contoh, titik ( 1 2 , 1 2 )∈ 𝑅 2 tidak termasuk ke suatu anggota dari 𝔹.

SET KOMPAK Definisi: Subset A dari ruang topologi X disebut kompak bila setiap sampul (cover) buka dari A tereduksi ke sampul terhingga. Dengan kata lain, bila A kompak dan 𝐴⊂𝑈𝑖𝐺𝑖 dengan Gi set-set buka maka dapat terpilih terhingga banyaknya set-set buka misalkan 𝐺𝑖 1 ,…, 𝐺𝑖 𝑚 , 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐴⊂ 𝐺𝑖 1 ∪…∪ 𝐺𝑖 𝑚 . Teorema: Bayangan-bayangan kontinu dari set-set kompak adalah kompak. Bila A subset dari ruang topologi (𝑋,𝜏) maka A adalah kompak terhadap 𝜏 bila dan hanya bila A kompak terhadap toplogi relatif 𝜏 𝐴 pada A.

SUBSET DARI RUANG KOMPAK Subset dari ruang kompak tidak perlu kompak, misalnya, interval unit tutup [0,1] adalah kompak menurut teorema Heine-Borel, tetapi interval buka (0,1) subset dari [0,1] tidak kompak. Teorema: Bila F subset tutup dari ruang kompakX maka F juga kompak

KEKOMPAKAN DAN RUANG HAUSDORFF Berikut ini relasi konsep kekompakan dengan sifat pemisah dari ruang hausdorff dengan teorema: Setiap subset kompak dari ruang Hausdorff adalah tutup (tidak berlaku umum misalkan untuk ruang topologi seperti set-set terhingga selalu kompak tetapi ada ruang topologi yang terdiri dari subset-subset terhingga yang tidak semuanya tutup). Bila A dan B saling lepas dan merupakan subset-subset kompak dari ruang Hausdorff maka ada set-set buka yang lepas G dan H sedemikian hingga 𝐴⊂𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐵⊂𝐻. Bila f fungsi satu-satu yang kontinu dari ruang kompak X ke dalam ruang Hausdorff Y maka X dan f[X] adalah Homoemorphik (sangat penting dalam geometri tetapi tak berlaku umum). Dalam keadaan khusus, bila X ruang Hausdorff dan kompak, dan F1 dan F2 subset-subset tutup saling lepas dari X maka F1 dan F2 adalah kompak sehingga F1 dan F2 adalah subset-subset dari dua set buka yang saling lepas dengan dinyatakan dalam Corollary: Setiap ruang Hausdorff kompak adalah normal.

KONTABILITAS SET KOMPAK Subset A dari ruang topologi X disebut kontabel kompak bila dan hanya bila setiap subset tak hingga B dari A mempunyai titik kumpul dalam A. Teorema Bolzano – Weierstrass : Setiap set tak hingga yang terbatas dari bilangan-bilangan real mempunyai titik kumpul. Teorema; Misal A subset dari ruang topologi X. Bila A kompak atau barisan kompak maka A kontabel kompak. Contoh: Misal 𝜏 adalah topologi pada 𝑁= 1,2,3,… yang terdiri dari set-set 1,2 , 3,4 , 5,6 ,… Misal A adalah subset tak kosong dari N dan 𝑛 0 ∈𝐴 dan bila 𝑛 0 ganjil maka 𝑛 0 +1 adalah titik kumpul dari A dan bila bila 𝑛 0 genap maka 𝑛 0 −1 adalah titik kumpul dari A. Dalam kedua hal ini, A mempunyai titik kumpul sehingga (𝑁,𝜏) adalah kontabel kompak. Tetapi (𝑁,𝜏) tidak kompak karena 𝒜= set 1,2 , 3,4 , 5,6 ,… adalah sampul buka dari N yang bukan sampul bagian terhingga dan selanjutnya (𝑁,𝜏) bukan barisan kompak karena barisan 1,2,3,… tidak memuat barisan bagian yang konvergen.

RUANG KOMPAK LOKAL Ruang topologi X disebut ruang kompak local bila dan hanya bila setiap titik dalam X mempunyai lingkungan kompak. Contoh: Perhatikan garis real R pada topologi biasa dan perhatikan bahwa tiap-tiap titik 𝑝∈𝑅 merupakan titik interior dari interval tutup 𝑝−𝛿, 𝑝+𝛿 dan interval tutup tersebut kompak menurut teorema Heine – Borel. Jadi R adalah ruang kompak local tetapi R bukan ruang kompak karena untuk kelas 𝒜= …, −3,−1 , −2,0 , −1,1 , 0,2 , 1,3 , … adalah sampul buka dari R tetapi tidak memuat sampul bagian terhingga. Dengan demikian terlihat bahwa ruang kompak lokal tak perlu merupakan ruang kompak, tetapi katena suatu ruang topologi adalah lingkungan dari tiap-tiap titik maka konvers dari definisi diatas benar dengan proposisi sebagai berikut: Setiap ruang kompak adalah kompak lokal.