Determinan (lanjutan) Riri Irawati, M.Kom 3 sks

Agenda Minor - kofaktor Menghitung determinan 4x4 dengan metode Laplace Adjoint

Tujuan Instruksional Secara Umum Secara Khusus Mahasiswa dapat menguasai teorema Laplace. Secara Khusus Mahasiswa dapat menghitung determinan matriks berbagai ukuran.

MINOR Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Contoh : Cari M13 ! A = M13 = det a21 a22 a31 a32

KOFAKTOR Kofaktor Cij adalah (-1)i+j Mij Dengan i : nomor baris j : nomor kolom = 1 (a12 . a23 – a13 . a22) = a12 . a23 – a13 . a22 Carilah C12 dan C31 !

Contoh: Hitunglah semua minor (Mij) dan kofaktor (Cij) matriks berikut ini: 2 0 4 5 M11= Det = (2)(5) – (4)(0) = 10 3 0 0 1 2 0 4 4 5 M12= 1 0 4 5 Det = (1)(5) – (4)(0) = 5 1 2 4 4 M13= Det = (1)(4) – (2)(4) = -4 + - + - + - M21= C21= C22= C11= (-1)1+1 10 = 10 M22= M23= C23= C12= (-1)1+2 5 = -5 M31= C31= C13= (-1)1+3 -4 = -4 M32= C32= M33= C33=

Latihan : Diketahui matriks A dan B sbb, tentukan semua minor dan kofaktor dari Matriks A dan B!

Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom dengan Laplace ekspansi baris pertama = ekspansi baris kedua = ekspansi baris ketiga Det(A) = = ekspansi kolom pertama = ? = ?

Contoh: ada 9 (= 3x3) kofaktor 3 0 0 1 2 0 4 4 5 ada 9 (= 3x3) kofaktor C11= 10 C21= 0 C31= 0 C12= -5 C22= 15 C32= 0 C13= -4 C23= -12 C33= 6 Determinan A dengan ekspansi baris ketiga: Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30 Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga: Det(A) = 5x6 = 30

Menghitung Determinan 4x4 Teorema: Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1  i  n dan 1  j  n, maka : atau

Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor M34= det C34=(-1)3+4M34 Ada berapa banyak kofaktor? Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4 Det(A) = ekspansi baris pertama Det(A) = ekspansi ……… baris ke tiga 8 Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor

Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor Terdapat matriks 4x4 berikut: Ekspansi baris 1:

Adjoint Adjoint matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks A. Dilambangkan dengan Adj A = (Cij)T Jika matriks A berukuran 3x3: Matriks kofaktor dari A: Matriks Adjoint dari A: Adj A =

Adjoint Untuk mencari adjoint matriks ordo 2x2 dapat menggunakan cara cepat yaitu :

Contoh Cara cepat : Cara rumus : adj A = (Cij)T

Adjoint Cara mencari adjoint untuk matriks ordo 3x3. Karena adj A = (Cij)T maka : 1. Carilah semua kofaktor dari matriks A 2. Cari transpose dari Ckofaktor

Contoh Diketahui Tentukan adjoin dari matriks P, Q, R !

Latihan Dari matriks B dan D dibawah ini, tentukan minor, kofaktor, determinan dan adjoint nya.