KOMPUTASI NUMERIK PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER EIGEN VALUE DAN EIGEN VEKTOR DEKOMPOSISI QR Cipta Ramadhani Laode Muhammad Tajidun

Eigen Value dan Eigen vector Tinjau persamaan linier : Ax=b dimana A adalah matriks bujur sangkar Dapat dinyatakan bahwa : Ax = λIx dimana λ : suatu konstanta , dan I adalah matriks satuan Sehingga : (A- λ I)x = 0 Dapat dinyatakan : (A- λ I)=0 Harga determinan dari (A- λ I) berupa polynomial derajat n, yaitu : Det (A- λ I)= λ n + c1 λ n-1 + c2 λ n-2 + …… + cn-1 λ + cn =0 Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik, dengan derajat polynomial n sama dengan derajat matriks A. Akar-akar persamaan karakteristik itu diberi symbol λ1, λ2, λ3, …. λ n (ada n akar) dan dinamai nilai pribadi (eigen value).

λ 3 - λ 2 - 6λ - 9 = 0 Dari A x= λ x dapat dioperasikan : A2 x= λ 2x ………. dst Ai x= λ ix Harga x dalam pasangan diatas , x dinamai vector pribadi (eigen vektor). Contoh : Misal Matriks akar persamaan karakteristiknya adalah : 1 , -3, -3  (λ - 1) (λ + 3) (λ + 3) = 0 λ 3 - λ 2 - 6λ - 9 = 0 Tentukan nilai pribadi (eigen value) dan vektor pribadi (eigen vektor) Matriks T dan D, serta kebenarannya.

Vektor pribadi untuk λ1= 1 Nilai pribadi dari matriks A merupakan akar-akar persamaan matriks tersebut. Nilai-nilai pribadinya adalah : λ1= 1, λ2=-3, λ3=-3 Vektor pribadi untuk λ1= 1 A x= λ Ix =

Lanjutan …. - = 0 = 0 4x1 + 8x2 + 16x3 = 0 …. ( persamaan 1 ) 4x1 + 0 + 8x3 = 0 …. ( persamaan 2 ) Dengan cara eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh : Maka dapat diperoleh nilai x1= -2, x2=-1, x3= 1 sehingga vektor yang didapat untuk λ1= 1 adalah X1 = k

Nilai Vektor pribadi untuk λ2= -3 , λ3= -3 dapat dicari dengan cara yang sama yaitu dengan menggunakan persamaan A x= λ Ix sehingga didapat vektor X1 , X2 , X3 dalam bentuk matriks sebagai berikut : T = [ x1 x2 x3] = D = = Buktikan bahwa A T = T D Jika nilai A T = T D maka matriks tersebut diatas adalah BENAR

AT = = AD = = Dari persamaan diatas terbukti bahwa AT = TD =

QR DECOMPOSISI Matriks : Kumpulan dari vektor Ruang kolom dari sebuah matriks dapat menjadi langkah awal dari penyusunan sebuah dekomposisi. Untuk memulai, pandanglah sebuah matriks A yang disusun oleh kolom-kolom seperti ini : A=[ a1 a2 … an ] dengan ai berwujud vektor Cm Sehingga dimensi dari matriks A tersebut adalah mxn

Vector ai bisa jadi adalah kombinasi linear dari sembarang vector !!! Begitupun juga dengan vector a1 , a2 , a3 …… an yang dapat dibentuk dari kombinasi linear sebarang vektor. Sebarang kombinasi linear biasa tidak menarik minat kita, kita akan menelaah suatu kombinasi linear khusus yang disebut dengan basis. Basis adalah sekumpulan vektor-vektor yang bebas linear serta merentang ruang vektor. Apa yang dimaksud dengan kombinasi linear khusus itu tidak lain adalah sifat bebas linear. Penerapannya, jika Q= {q1 q2 q3 ….. qn} Adalah himpunan basis untuk sebuah ruang vector V dimana a1 , a2 , a3 …… an, ,ε V , maka a1 , a2 , a3 …… an dapat dibangun oleh Q.

lebih khusus lagi jika vector ai dibangun oleh kombinasi linear vector-vektor q1, q2, q3 ….. qn Maka kita dapat membentuk sebuah vector ri sehingga ai = ri (q1 q2 q3 ….. qi) perhatikan persamaan dibawah ini : Dengan ini maka ri = (r1i , r2i , r3i ….. rii) Sehingga dapat dibentuk matriks : A = Q R dengan Q : Matriks Unitary R : Matriks Segitiga Atas

A MATRIKS m x n

PERMASALAHAN Permasalahan kita adalah bagaimana cara menentukan himpunan vector-vektor Q= {q1 q2 q3 ….. qn} Agar dapat menjadi basis untuk vector a1 , a2 a3 …… an. salah satu cara yang cukup popular (bahkan sampai tidak ada yang membahas cara lain selain cara ini) adalah dengan menggunakan proses orthogonalisasi Gram-Schmidt.

ALGORITMA GRAM-SMIDTH

Kita tahu bahwa jika Q= {q1 q2 q3 … Kita tahu bahwa jika Q= {q1 q2 q3 ….. qn} Adalah himpunan vector-vektor yang ortonormal maka himpunan vector q1 q2 q3 ….. qn Merupakan basis untuk ruang vector yang direntang. Maka dari itu kita akan membentuk vector q1 q2 q3 … qn Dari vector a1 , a2 a3 …an Dengan menggunakan proses ortogonalisasi Gram-schmidt. Yaitu : Ini akan membentuk vector-vektor q1 q2 q3 … qn Yang digunakan untuk membentuk matriks Q,

lalu bagaimana dengan matriks R lalu bagaimana dengan matriks R ? matriks tersebut dibentuk oleh entri rij dengan :

Contoh Soal Tentukan Dekomposisi QR dari matriks dibawah ini :

Matriks A dapat dinyatakan kedalam bentuk Matriks Kolom A = [ a1 a2 a3 a4 ]

Kemudian akan ditransformasikan { a1 , a2 , a3 , a4} menjadi basis orthonormal melalui proses orthogonalisasi Gram-Schmidt Untuk vektor a1 , q1 = = = Untuk vektor a2 , q2 = = = Untuk vektor a3 , q3 = = =

Untuk vektor a4, q4 = = = Untuk vektor a5, q5 = =

Sehingga Matriks Q menjadi A = Sedangkan untuk Matriks R =

Sehingga diperoleh bentuk dekomposisi QR dari Matriks A sebagai berikut : = A Q R Tujuan akhir dari hasil Dekomposisi QR ini adalah untuk penyelesaian persamaan linier

KESIMPULAN A T = T D 1. Apabila Eigen Value dan Eigen Vektor memenuhi maka matriks tersebut diatas adalah BENAR Setiap Matriks AЄ C mxn mempunyai bentuk QR dekomposisi

TERIMA KASIH