INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK APROKSIMASI DERIVATIF APROKSIMASI INTEGRAL

STRATEGI APROKSIMASI Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial interpolasi P. Derivatif polinomial P diambil sbg aproksimasi derivatif fungsi f. Integral polinomial P diambil sbg aproksimasi integral fungsi f. BAGAIMANA KESALAHAN APROKSIMASINYA ? Menentukan nilai aproksimasi lebih mudah daripada memperkirakan resiko kesalahan yang mungkin terjadi akibat aproksimasi tersebut.

Kesalahan aproksimasi dengan interpolasi Misalkan titik berbeda dalam interval . Bila dan P(x) polinomial interpolasinya maka setiap x didalam terdapat ξ(x) didalam (a,b) sehingga aproksimasi Kesalahan aproksimasi dengan interpolasi Misalkan titik-titik berlainan di dalam dan Jika P adalah polinomial interpolasi maka setiap x terdapat ξ(x) ∈ (a, b) sehingga berlaku: approksimasi kesalahannya CONTOH: Misalkan fungsi f(x) = ex diaproksimasi oleh polinomial interpolasi didalam interval [0, 1]. Berikan estimasi kesalahan aproksimasinya. PENYELESAIAN : Misalkan titik interpolasi dan asumsikan berjarak sama, yaitu h. Jadi xj+1- xj = h untuk setiap j. 1 x0 xj xj+1 xn h

Ambil sebarang x didalam [0, 1], kita akan menyelidiki kesalahan mutlak | f(x) - P(x) |. Pastilah ada indeks j sehingga xj ≤ x ≤ xj+1. Berdasarkan teo- rema di atas, terdapatlah di dalam (0, 1) dan berlaku: Karena dan maka diperoleh: Diperhatikan fungsi mencapai ekstrim di tengah interval [xj, xj+1], yaitu di xm = (j+0.5)h. Jadi maksimumnya ξ(x) Akhirnya diperoleh:

Bila diinginkan kesalahan aproksimasi tidak melebihi 10-6 maka haruslah yang mengharuskan . Karena banyaknya sub interval n = (1-0)/h harus bulat maka diambil h = 0.001.

APROKSIMASI DERIVATIF Derivatif f di titik x0 adalah: y = f(x) Sederhananya, aproksimasi derivatif f’(x0) adalah f(x0+h) f(x0+h) – f(x0) f(x0) h dengan mengambil h cukup kecil. x0 x0+h Untuk mengetahui kesalahan aproksimasinya, diperhatikan dua titik x0 dan x0+h, dibentuk polinomial interpolasi derajat satu yang melalui kedua titik ini, dipero- leh: dimana R = . Selanjutnya, diambil derivatifnya dan didapat

Untuk x = x0 maka diperoleh: . Akhirnya, diambil: dengan kesalahan (error): Untuk h>0, formula ini disebut aproksimasi selisih maju (forward-difference). Untuk h<0, diperoleh aproksimasi selisih mundur (backward-difference). dengan kesalahan (error):

CONTOH : Tentukan aproksimasi derivatif fungsi f(x) = ln x di x0=1. 8 CONTOH : Tentukan aproksimasi derivatif fungsi f(x) = ln x di x0=1.8. Gunakan formula selisih maju dengan h = 0.1, 0.01 dan 0.001 dan berikan analisis kesalahannya. PENYELESAIAN : formula selisih maju diberikan oleh dengan error dimana Diperoleh tabel: Bandingkan dengan error sesungguhnya dimana derivatif eksaknya f’(1.8) = 0.55555 . . .

FORMULA SELISIH TERPUSAT dimana terletak diantara dan Jadi aproksimasinya adalah dengan error E = Diperhatikan jika h diperkecil, maka suku h2 lebih cepat menuju nol dari pada suku h. Error aproksimasi yang memuat suku hp disebut mempunyai order aproksimasi p, dan ditulis dengan O(hp). Formula selisih terpusat ini disebut juga formula tiga titik, karena melibat kan tiga titik x0-h, x0 dan x0+h. Formula tiga titik lainnya melibatkan titik x0, x0+h, x0+2h, yaitu dimana ξ0 diantara x0 dan x0+2h.

FORMULA LIMA TITIK 1. dimana ξ diantara x0-2h dan x0+2h. 2. dimana ξ diantara x0 dan x0+4h.

Order kesalahan aproksimasi : Formula 2 titik (selisih maju, selisih mundur) mempunyai order 1. Formula 3 titik mempunyai order 2. Formula 5 titik mempunyai order 4. Semakin tinggi order aproksimasi semakin akurat aproksimasi yang dihasilkan. CONTOH : Beberapa nilai dari f(x) = x ex diberikan pada tabel berikut. Karena f’(x) = (x+1)ex maka nilai eksak derivatif f di x=0.2 adalah f’(2.0) = 22.167168. Gunakan berbagai macam formula untuk menghitung aproksimasi derivatifnya. Banding errornya dan formula mana yang paling akurat. PENYELESAIAN: Gunakan h = 0.1, terapkan dua formula 2 titik (selisih maju dan selisih mundur), dua formula 3 titik dan dua formula 5 titik.

APROKSIMASI DERIVATIF KEDUA Fungsi f diekspansi dalam deret Taylor disekitar x0, kemudian dievaluasi di titik x0+h dan x0-h diperoleh: dan dimana Kedua bentuk ini dijumlahkan, diperoleh: Berdasarkan teorema nilai antara, terdapat ξ diantara ξ0 dan ξ-1 sehingga

Aproksimasi derivatif kedua (Lanjutan) Diperoleh: CONTOH: Kembali perhatikan fungsi f(x) = xex. Fungsi ini mempunyai derivatif kedua f’’(x) = (x+2)ex. Untuk x0=2.0 diperoleh derivatif eksak adalah f’’(2.0) = 29.556224. Hitunglah aproksimasi derivatif kedua dengan menggunakan h=0.1 dan h=0.2. PENYELESIAN : h = 0.1  h = 0.2  Error masing-masing adalah . ≈ f’’(x0) Error

APROKSIMASI INTEGRAL FORMULA QUADRATURE SEDERHANA METODA TITIK TENGAH METODA TRAPESIUM METODA SIMPSON FORMULA QUADRATURE BERSUSUN INTEGRASI GAUSS.

FORMULA SEDERHANA Diperhatikan integral . Formula qudrature berbentuk jumlahan digunakan sebagai aproksimasi untuk integral, yaitu ≈ xi disebut koordinat dan ai disebut bobot. Seperti pada aproksimasi, fungsi f terlebih dahulu diaproksimasi oleh polinomial interpolasi, kemudian integral dari polinomial ini diambil sebagai aproksimasi integral fungsi f.

1. METODA TITIK TENGAH (MIDPOINT) y = f(x) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial derajat nol (fungsi konstan): f(x) ≈ P(x) = c, kemudian diintegralkan, diperoleh: f(c) f(b) f(a) a c = (a+b)/2 b Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial inter- polasi derajat satu pada titik x0:=a dan x1:= b, 2. METODA TRAPESIUM y = f(x) f(b) f(a) Diintegralkan, diperoleh : a b

Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial 3. METODA SIMPSON y = P(x) y = f(x) f(b) f(a) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial interpolasi derajat dua di titik-titik x0= a, x1= c:= (a+b)/2 dan x3 = b, yaitu a c b Diperoleh CONTOH : Terapakan metoda midpoint, trapesium dan Simpson untuk menghitung integral : dimana f adalah beberapa fungsi dasar Metoda manakah yang paling akurat?

ESTIMASI ERRORNYA ? PENYELESAIAN: untuk f(x) = x2, eksaknya adalah = 2.667. 1. Midpoint M = (2-0)f(1) = 2.000, 2. Trapesium T = (2-0)/2 [f(0)+f(2)] = 4.000, 3. Simpson S = (1/3)[f(0) + 4 f(1) + f(2)] = 2.667. Untuk SOAL lainnya diselesaikan sendiri ! ESTIMASI ERRORNYA ?

ERROR FORMULA QUADRATURE 1. METODA MIDPOINT x0 x1 h x2 2. METODA TRAPESIUM h x0 x1 3. METODA SIMPSON x0 x1 h x2

Pada metoda midpoint dan trapesium, suku errornya memuat derivatif kedua. Bila fungsi yang diintegralkan adalah polinomial berderajat paling tinggi 1 maka kedua metoda ini memberikan hasil eksak krn derivatif keduanya nol. CONTOH: Gunakan kedua metoda ini untuk mengaproksimasi integral f(x) = 2x+1, dari x=0 sampai x=2. Bandingkan hasilnya dengan eksaknya? Pada metoda Simpson, suku errornya memuat derivatif keempat. Bila fungsi yang diintegralkan adalah polinomial berderajat paling tinggi 3 maka kedua metoda ini metoda Simpson memberikan hasil eksak krn derivatif keempatnya nol. CONTOH: Gunakan metoda Simpson untuk mengintegralkan fungsi f(x) = x3+2x2-3x+1 dari x=0 sampai x=2. Bandingkan hasilnya dengan eksaknya? CONTOH : Diberikan masalah menghitung nilai integral: a) Tentukan nilai aproksimasi dengan menggunakan ketiga metoda di atas. b) berikan estimasi error untuk tiap-tiap metoda c) hitung error sesungguhnya

PENYELESAIAN : f(x) = ex/2, f’’(x) = (1/4) ex/2, f(4)(x) = (1/16) ex/2. Midpoint: di sini x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 dan h = 1  M = 2h f(x1) = 2 e1/2 = 3.2974 Trapesium: di sini x0 = 0, x1 = 2 dan h = 2  T = (2/2)[e0 + e1] = 3.7183 Simpson: di sini x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 dan h = 1  S = (1/3)[e0+4e1/2+e1] =3.4377 Error pada Midpoint EM = (h3/3)f”’( ) = (1/3) (1/4) e/2 < (1/12) e1 = 0.2265, sebab  terletak diantara 0 dan 2. Error pada Trapesium ET = (h3/3)f”’( ) = (1/3) (1/4) e/2 < (1/12) e1/2 = 0.1374. sebab  terletak diantara 0 dan 1. Error pada Simpson ES = (h5/90) f(4)() = (1/90) (1/16) e/2 < (1/90) (1/16) e1 = 0.0019. c) Nilai integral sesungguhnya adalah Error sesungguhnya untuk: metoda midpoint adalah | 3.2974 – 3.4366 | = 0.1392 metoda trapesium adalah | 3.7183 – 3.4366| = 0.2817 metoda Simpson adalah | 3.4377 – 3.4366| = 0.0011. Metoda Simpson memberikan hasil paling akurat. Error sesungguhnya tidak akan melebihi error estimasi.

FORMULA QUADRATURE BERSUSUN ILUSTARASI: Metoda Simpson dalam menghitung integral: Nilai eksaknya adalah: 53.59815. Formula diterapkan langsung pada [0, 4], yaitu x0=0, x1= 2 dan x2=4, h=2. Diperoleh: Errornya = 3.17143. Interval [0, 4] dipecah menjadi [0, 2] dan [2, 4]. Formula diterapkan pada kedua interval ini, yaitu x0=0, x1= 1 dan x2=2, h=1 pada [0, 2], dan x0=2, x1= 3 dan x2=4, h=1 pada [0, 4]. Diperoleh: Errornya = 0.56270 .

Interval [0, 4] dipecah menjadi 4 subinterval [0, 1], [1, 2], [2, 3] dan [3, 4]. Diperoleh: Errornya = 0.01807 Semakin kecil subinterval dimana formula Simpson diterapkan semakin teliti nilai aproksimasi.

Interval [a, b] dipecah menjadi sejumlah subinterval a=x0 x1 x2 xk-1 xk xk+1 xn=b Agar metoda Simpson dapat diterapkan pada semua subinterval maka dipilih n genap. Diperoleh: dimana . Bila disederhanakan maka diperoleh formula quadrature Simpson bersusun (composite) : dimana dan .

Dengan ide yang sama diperoleh formula quadrature trapesium bersusun: dimana dan . Di sini n tidak harus genap. Untuk formula midpoint bersusun, perlu diambil n genap dan diperoleh: dimana dan

CONTOH: Aproksimasilah dengan menggunakan h = 0.25 a) metoda trapesium bersusun b) metoda Simpson bersusun c) metoda midpoint bersusun PENYELESAIAN: Diketahui . Karena h = 0.25 maka diperoleh titik partisi x0= 0, x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75, x4=1.00, x5=1.25, x6=1.50, x7=1.75, x8=2.00. Metoda trapesium Metoda Simpson Metoda midpoint Komputasinya diselesaikan sendiri. Bandingkan dengan hasil eksaknya. Apakah metoda Simpson tetap paling bagus. Bagaimana estimasi errornya.