SEBARAN PEUBAH ACAK KONTINU KHUSUS 3 Materi Pokok 17 SEBARAN PEUBAH ACAK KONTINU KHUSUS 3 Sebaran Khi-Kuadrat Ambil X1, X2, …, Xv sebagai  buah peubah acak yang menyebar secara normal dan bebas dengan nilai tengah nol dan ragam 1. Maka merupakan peubah acak Khi - Kuadrat, maka untuk x  0

Fungsi kepekatannya: Sebaran Khi-Kuadrat merupakan bentuk khusus untuk sebaran Gamma dengan α = /2, B = 2, sehingga nilai tengah μ = , dan ragam 2 = 2. Fungsi pembangkit momennya Mx (t) = (1 – 2t)-/2 Dan fungsi kharakteristiknya  () = (1 - zi) - /2 Untuk ν ≥ 30 maka sangkat dekat dengan sebaran normal dengan nilai tengah nol dan ragam satu.

Teorema 1 Bila X1, X2, …, Xν merupakan peubah acak bebas dan menyebar secara normal dengan masing-masing dengan nilai tengah nol dan ragam satu maka Merupakan peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas ν. Teorema 2 Bila U1, U2, …, Uk merupakan peubah acak bebas dengan sebaran Khi-Kuadrat dengan derajat bebas 1, 2, …., k maka  = U1 + U2 + …+ Uk juga merupakan jumlah peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas 1+ 2+….+ k

Teorema 3 Bila ν1 dan ν2 merupakan dua peubah acak bebas dan ν1 menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas ν1 sedangkan ν = ν1 + ν2 juga menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas ν (dengan ν > ν1) maka ν2 juga merupakan peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas ν - ν1. Sebaran t- Student Suatu peubah acak T disebut menyebar secara t- student bila mempunyai fungsi kepekatan

Sebaran t ini mempunyai ν derajat bebas jika ν besar (ν ≥ 30) grafik fungsi f (t) sangat dekat dengan kurva normal baku. Nilai persentil dari sebaran t dengan derajat bebas ν = t ν. Jika ν diketahui karena sebaran t adalah simetri maka t1-p = -tp misalnya t 0,05 = -t 0,95 sebaran t mempunyai nilai tengah μ = 0 dan ragam Teorema Ambil Z dan Y sebagai peubah acak bebas, dengan Z menyebar secara normal dengan nilai tengah nol dan ragam data: Z ~ N (0,1) danY menyebar secara Khi-Kuadrat dengan bebas ν, maka peubah acak T, dengan mempunyai sebaran t – student dengan derajat bebas ν. dengan - < z < , o < y < 

Fungsi sebaran peubah acak T

Substitusikan u = (1 + t2/) y du = (1 + t2/) dy maka diperoleh Sebaran F Peubah acak u dan ν adalah bebas dengan sebaran Khi-Kuadrat dan derajat bebas ν1, dan ν2 maka peubah acak mempunyai sebaran F. Fungsi kepekatan gabungan peubah acak U dan V adalah

Peubah acak F diganti dengan peubah acak W agar tidak membingungkan dengan notasi fungsi f.

Subtitusikan F() adalah fungsi kepekatan dari peubah acak F