Pertemuan 2 Alin 2016 Bilqis Determinan, Cramer bilqis

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengerti tentang matrix Dapat menghitung determinan Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan determinan bilqis

Determinan Cara mencari determinan 3 x 3  cara biasa 4 x 4  Segitiga atas Gauss kofaktor bilqis

Invers Cara mencari invers Kofaktor OBE Pseudo-inverse Determinan bilqis

Sistem Persamaan Linier Cara mencari nilai x,y,z dari SPL Cara SMA Gauss Gauss-jourdan Determinan Invers bilqis

Det(B) = (45+84+96) – (105+(-48)+(-72)) = 240 Fungsi Determinan  contoh:  A = 3 1 Det(A) = 3(-2) – 1.4 = -10 4 -2 B = 1 2 3 1 2 3 -4 5 6 -4 5 6 7 -8 9 7 -8 9  Det(B) = (45+84+96) – (105+(-48)+(-72)) = 240 Untuk matrik yang lebih besar dari 3 x 3 tidak menggunakan rumus di atas, tapi harus menggunakna rumus lain. bilqis

Menghitung determinan dengan OBE Cara : è Ubah menjadi : - gauss (eselon baris) - matrik segitiga atas atau segitiga bawah OBE è determinan = perkalian diagonal utama bilqis

Contoh: A = 2 7 -3 det(A) = 2(-3) 6 = -36 0 -3 7 0 0 6 Teorema 2.2.2.: Bila A(nxn) matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka det(A) adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utama. Contoh: A = 2 7 -3 det(A) = 2(-3) 6 = -36 0 -3 7 0 0 6 “Bukti”: 2 7 -3 2 7 0 -3 7 0 -3 0 0 6 0 0   bilqis

Perkalian OBE akan mempengaruhi nilai determinan => jika A' adalah matrik yang dihasilkan dari Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 , maka det(A') = 1/k . det (A) Menukar 2 baris pada matrik A, maka det (A')= - det (A) Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 kemudian tambahkan pada baris yang lain, maka det (A')= det (A) OBE  1 dan 2  determinan berubah  3  determinan tidak berubah  paling sering digunakan bilqis

Contoh: 1 2 3 A = 0 1 4 Det (A) = -2 1 2 1 è det (A1) = 4 det (A)   1 2 3 A = 0 1 4 Det (A) = -2 1 2 1 è det (A1) = 4 det (A) det (A2) = - det (A) det (A3) = det (A) 4 8 12 A1 = 0 1 4 Det (A1) = -8 1 2 1   0 1 4 A2 = 1 2 3 Det (A2) = 2 1 2 1   1 2 3 A3 = -2 -3 -2 Det (A3) = -2 bilqis

bilqis

dengan merubah matrix menjadi bentuk: 1. eselon gauss(baris) Hitung det A dimana A = dengan merubah matrix menjadi bentuk: 1. eselon gauss(baris) 2. segitiga atas bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

1. Cari determinan dengan merubah matrix menjadi Δ atas Penilaian  1 matrix = 20 total ada 5 matrix Jika salah 1 angka, nilai = 10 Jika salah ≥ 2 angka nilai = 0 bilqis

↓ tukar dengan baris 2 dan 3 Jawab : ↓ tukar dengan baris 2 dan 3 20 bilqis

Det = 6 20 20 20 20 bilqis

Sifat-sifat fungsi determinan bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

 Teorema Jika A dan B matrik kuadrat yang ukurannya sama, Maka det (AB) = det (A) . det (b) Contoh : A = B = det (A) = 1 det (B) = -23 det (B) = -23 AB = det (AB) = -23 det (A) det (B) = -23 bilqis

 Teorema Sebuah matrik (A) n x n dapat dibalik jika det (A) <> 0 Det A-1 = Contoh : A = Determinan A = 2 – 12 = -10 A-1 = Determinan A-1 = bilqis

Kofaktor : Cij = (-1)i+j Mij Minor Det setelah baris ke - i & kolom ke - j dihapus A = bilqis

Kofaktor A = C11 = (-1)1+1 m11 + det bilqis

A = m11 = = 16  c11 = (-1)1+1m11 = + 16 m32 = = 26  c32 = (-1)3+2m32= - 26 3 1 -4 2 5 6 1 4 8 5 6 4 8 3 -4 2 6 bilqis

bilqis

bilqis

>> Rubah jadi : segitiga atas atau bawah >> kofaktor Catatan : det A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 atau det A = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31 Det A : 2 x 2  biasa 3 x 3  biasa ≥ 4 x 4  >> Gauss >> Rubah jadi : segitiga atas atau bawah >> kofaktor bilqis

Cofactor expansion det(A) = a11C11+a12C12+a13C13, along 1st row = a11C11+a21C21+a31C31, along 1st column = a21C21+a22C22+a23C23, along 2nd row = a12C12+a22C22+a23C23, along 2nd column = a31C31+a32C32+a33C33, along 3rd row = a13C13+a23C23+a33C33, along 3rd column bilqis

Determinan Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor baris pertama bilqis

Determinan Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor kolom pertama bilqis

Determinan Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor kolom kedua Dilanjutkan perkalian kofaktor kolom kedua untuk matrix 3 x 3 bilqis

Teorema 2.4.3 - Aturan Cramer: Solusi untuk Sistem Persamaan Linier Ax = b A matriks koefisien; b vektor (nx1); x vektor yang dicari det(Ai) xi = i = 1, 2, 3, …, n det(A) di mana Ai adalah matriks A dengan menggantikan kolom-i dengan (vektor) b bilqis

ATURAN CRAMER :  A . X = B det(A1) det(A2) det(An) Aj  mengganti kolom ke j dengan matrix B det(A1) det(A2) det(An) x1= , x2= … , xn= det(A) det(A) det(A) bilqis

Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0 = A . X = B Det (A) = = -1 9 1 1 2 x y 2 4 -3 1 -5 z 3 6 2 1 1 2 4 -3 3 6 -5 bilqis

Det (A1) = = -1  x= det(A1)/det(A) = -1/-1 = 1 Det (A2) = = -2  y= det(A2)/det(A) = -2/-1 = 2 Det (A3) = = -3  z= det(A3)/det(A) = -3/-1 = 3 9 1 2 1 4 -3 6 -5 1 9 2 2 1 -3 3 -5 1 1 9 2 4 1 3 6 bilqis

Contoh soal cramer Carilah nilai x, y dan z dengan menggunakan aturan cremer : Carilah determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk baris pertama Carilah determinan A(x) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk baris kedua Carilah determinan A(y) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk kolom pertama Carilah determinan A(z) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk kolom ketiga   -5 x + 7 z = -32 3 y – 6 z = 48 2 x + y + 4 z = -24 bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

Matriks-matriks dengan bentuk khusus Bab 1.7 bilqis

Matriks A(n  n) bujur sangkar, artinya banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A. Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar a. l. : Matriks diagonal D Matriks segi-3 atas Matriks segi-3 bawah Matriks simetrik bilqis

Matriks diagonal D: aij = 0 untuk i  j ……………………………………… 0 0 0 0 ann d1 0 0 0 0 0 d2 0 0 0 0 0 d3 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 dn bilqis

Matriks segi-3 atas: aij = 0 untuk i > j a11 a12 a13 a14 a15 ………… a1n 0 a22 a23 a24 a25 ………… a2n 0 0 a33 a34 a35 ..……..… a3n ……………………………………………………………. 0 0 0 0 0 …………… ann bilqis

Matriks segi-3 bawah: aij = 0 untuk i < j a21 a22 0 0 0 …………… 0 a31 a32 a33 0 0 …………… 0 ……………………………………………………… 0 an1 an2 an3 an4 an5 …………… ann bilqis

Matriks simetrik: aij = aji a11 a12 a13 ………………………. a1n a21 a22 a23 …………………………..… a31 a32 a33 ………………..…………… ……………………………………………………………. an1 ………………………………………………… ann bilqis

Teorema: Transpos dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 atas; transpos dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 bawah. Perkalian dua matriks segi-3 bawah menghasilkan matriks segi-3 bawah; perkalian dua matriks segi-3 atas menghasilkan matriks segi-3 atas. Matriks segi-3 invertibel jika dan hanya jika semua entri diagonalnya tidak nol. Invers dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 bawah. Invers dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 atas. bilqis

Teorema: A dan B matriks simetrik, k adalah skalar AT simetrik A + B simetrik dan A – B simetrik Matriks kA simetrik Jika A invertibel, maka A–1 simetrik Jika A matriks invertibel, maka AAT dan ATA juga invertibel. bilqis

Tugas Kelompok  Format  subject  Buat 1 contoh soal menghitung determinan matrix dengan merubah matrix menjadi segitiga atas, gauss dan kofaktor Buat 1 contoh soal mencari nilai x, y, z dengan menggunakan aturan cramer Di kirim ke elearning, terakhir  Minggu depan Format  subject  Alin-B-melati Bentuk  ppt  informasi nama kelompok + anggota bilqis