BAB VII ALJABAR BOOLEAN waniwatining

1. Definisi Aljabar Boolean Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan . , dan sebuah operator uner, ‘ ,. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka tupel (B,+, . ,’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c  B, berlaku aksioma-aksioma berikut : waniwatining

Postulat Huntington 1. Closure (i) (ii) a + b  B a . b  B 2. Identitas a + 0 = a a . 1 = a 3. Komutatif a + b = b + a a . b= b . a 4. Distributif a .(b+c) = (a .b) + (a.c) a +(b.c) = (a + b) . (a + c) 5. Komplemen a + a’ = 1 a.a’ = 0 waniwatining

Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang ada di dalam B. Elemen 0 disebut elemen zero. Elemen 1 disebut elemen unit. Operator + disebut operator penjumlahan. Operator . disebut operator perkalian. Operator ‘ disebut operator komplemen. waniwatining

Hukum distributif yang pertama, a.(b+c) = (a.b) + (a.c) Perbedaan Aljabar Boolean dengan Aljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil: Hukum distributif yang pertama, a.(b+c) = (a.b) + (a.c) Hukum distributif yang kedua, a+(b.c) = (a+b) . (a+c), benar untuk aljabar boolean tetapi tidak benar untuk aljabar biasa. waniwatining

Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian dan kebalikan penjumlahan, karena itu tidak ada operasi pembagian dan pengurangan. Aksioma nomor 5 mendefinisikan operator komplemen yang tidak ada pada aljabar biasa. waniwatining

Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang tidak berhingga banyaknya. Sedangkan Aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean 2 nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya dua nilao, 0 dan 1. waniwatining

2. Aljabar Boolean Dua Nilai Pada aljabar Boolean terhingga, banyaknya anggota B terbatas, tetapi paling sedikit beranggotakan dua buah elemen karena di dalam B harus terdapat dua elemen yang berbeda. Aljabar Boolean dua nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan 2 buah elemen 0 dan 1, yaitu B = {0,1}, operator biner, +, dan . , operator uner,’ waniwatining

Tabel Operator a b a . b 1 a b a +b 1 a a’ 1 waniwatining

3. Ekspresi Boolean Definisi : Misalkan (B, +, .,’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, .,’) adalah : 1. Setiap elemen di dalam B 2. Setiap peubah 3. Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2 , e1 . e2 , e1’ adalah ekspresi Boolean. waniwatining

Peubah Boolean Peubah (variabel) x disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B. Ekspresi Boolean yang mengandung n peubah dinamakan ekspresi Boolean bagi n peubah. Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. waniwatining

Perjanjian penulisan ekspresi Boolean Selain menggunakan tanda kurung, operator ‘ mempunyai prioritas lebih tinggi daripada operator + dan . Untuk menyederhanakan tulisan, notasi . boleh tidak dituliskan , jadi a.b ditulis ab saja. waniwatining

4. Prinsip Dualitas Definisi : . dengan + Misalkan S adalah kesamaan (identity) didalam Aljabar Boolean yang melibatkan operator + , . , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti ; . dengan + + dengan . 0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. waniwatining

5. Hukum-hukum Aljabar Boolean   +   . U T 1  F Hukum-hukum aljabar Boolean dapat diperoleh dari hukum-hukum himpunan maupun logika dengan cara mempertukarkan tanda-tanda disamping. waniwatining

Hukum-Hukum Aljabar Boolean Hukum Identitas (i) (ii) a + 0 = a a . 1 = a Hukum Komplemen a + a’ = 1 a . a’ = 0 Hukum Idempoten a + a = a a . a = a Hukum Dominasi a + 1 = 1 a . 0 = 0 waniwatining

Hukum Involusi (i) ( a’)’ = a Hukum penyerapan (ii) a + ab = a Hukum Komutatif a + b = b + a a b = b a Hukum Asosiatif a +(b + c) = (a+b)+c a (bc) = (ab) c waniwatining

Hukum ke ii dari setiap hukum diatas merupakan dual dari hukum ke i Hukum distributif (i) (ii) a +(b c) = (a+b) (a + c) a (b + c) = (ab) +(ac) Hukum De Morgan (a +b )’ = a’.b’ (a b)’ = a’ + b’ Hukum 0 / 1 0’ = 1 1’ = 0 Hukum ke ii dari setiap hukum diatas merupakan dual dari hukum ke i waniwatining

6. Fungsi Boolean Definisi : Fungsi Boolean disebut juga fungsi biner adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean. f : Bn  B Yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n di dalam daerah asal B. waniwatining

Contoh-contoh Fungsi Boolean f(x) = x f(x,y) = x’y + xy’ + y’ f(x,y) = x’y’ f(x,y) = (x + y)’ f(x,y,z) = xyz’ Setiap peubah didalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya disebut literal. waniwatining

7. Penjumlahan dan Perkalian Dua Fungsi Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka penjumlahan f + g didefinisikan sebaga : (f+g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) + g(x1+ x2+… +xn) Sedangkan perkalian f.g didefinisikan sebagai : (f.g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) g(x1+ x2+… +xn) waniwatining

8. Komplemen Fungsi Bila sebuah fungsi dikomplemenkan, maka akan diperoleh fungsi komplemen. Fungsi komplemen berguna pada saat melakukan penyederhanaan fungsi Boolean. Fungsi komplemen dari suatu fungsi f dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : Menggunakan Hukum De Morgan. Menggunakan prinsip Dualitas. waniwatining

9. Bentuk Kanonik Ekspresi Boolean yang menspesifikasikan suatu fungsi dapat disajikan dalam dua bentuk berbeda, yaitu : 1. Penjumlahan dari hasil kali (Sum- of-product atau SOP) 2. Perkalian dari hasil jumlah (Product- of- sum atau POS) waniwatining

Bentuk suku ( term) Setiap suku di dalam ekspresi mengandung literal yang lengkap dalam peubah, x, y, z, baik peubahnya tanpa komplemen maupun dengan komplemen. Ada 2 macam bentuk suku, yaitu minterm (hasil kali) dan maxterm ( hasil jumlah). waniwatining

Minterm dan Maxterm Suku-suku di dalam ekspresi Boolean dengan n peubah x1, x2,… ,xn , dikatakan minterm jika suku tersebut muncul dalam bentuk : dan dikatakan maxterm jika muncul dalam bentuk: waniwatining

Cara membentuk Minterm dan Maxterm Untuk minterm setiap peubah yang bernilai 0 dinyatakan dalam bentuk komplemen. Untuk maxterm setiap peubah yang bernilai 0 dinyatakan tanpa komplemen. Minterm dilambangkan dengan huruf m berindeks. Maxterm dilambangkan dengan huruf M berindeks. waniwatining

Tabel kebenaran minterm dan maxterm 2 peubah. y Minterm Maxterm Suku Lambang 1 x’y’ x’y xy’ xy m0 m1 m2 m3 x + y x + y’ x’ + y x ’+ y’ M0 M1 M2 M3 waniwatining

10. Konversi Antar Bentuk Kanonik Fungsi Boolean dalam bentuk kanonik SOP dapat ditransformasi ke bentuk kanonik POS, demikian pula sebaliknya. waniwatining

11. Bentuk Baku Bentuk baku ( standard) adalah cara lain untuk mengekspresikan fungsi Boolean. Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk baku POS. Contohnya : f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz SOP f(x,y,z) = x ( y’ + z ) ( x’ + y + z’) POS waniwatining

Perbedaan antara bentuk kanonik dan bentuk baku. Pada bentuk kanonik setiap term harus mengandung literal yang lengkap, sedangkan pada bentuk baku setiap term tidak harus mengandung literal lengkap. waniwatining

12. Aplikasi Aljabar Boolean waniwatining

13. Penyederhanaan Fungsi Boolean Menyederhanakan fungsi Boolean artinya mencari bentuk fungsi lain yang ekivalen. Penyederhanaan fungsi Boolean disebut juga minimisasi fungsi. waniwatining

Secara Aljabar, menggunakan hukum-hukum Aljabar Boolean. Terdapat 3 metode yang dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean : Secara Aljabar, menggunakan hukum-hukum Aljabar Boolean. Metode Peta Karnaugh. Metode Quine –McCluskey (metode tabulasi) waniwatining

waniwatining