Bilangan Bulat By: Novika Anggrieni, S.Pd

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran

Standar Kompetensi Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan masalah

Kompetensi dasar Melakukan operasi hitung bilangan bulat

Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan dapat : Menentukan hubungan dua bilangan dengan tanda “ < atau > " Menentukan letak bilangan bulat dalam garis bilangan Menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada bilangan bulat Menentukan sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan negatif dengan negatif dan positif dengan negatif

Bilangan bulat dan lambangnya. Dalam garis bilangan dengan arah mendatar, bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut : Bil.bulat negatif Bil. Bulat positif -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Bilangan bilangan : -1, -2, -3, -4, -5,....... disebut bilangan bulat negatif (sebelah kiri nol) Bilangan-bilangan : 1, 2, 3, 4, 5... disebut bilangan bulat positif (sebelah kanan nol) Jadi, Himpunan bilangan bulat positif, nol dan himpunan bilangan bulat negatif membentuk himpunan bilangan bulat. Bilangan bulat adalah ......., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.....

Menyatakan hubungan antara dua bilangan bulat Pada garis bilangan mendatar, jika suatu bilangan lebih dari bilangan yang lain maka bilangan itu terletak disebelah kanan. Contoh 1: 0 1 2 3 4 5 Pada gambar diatas menunjukkan bilangan 5 terletak disebelah kanan 3 maka, 5>3 Jika suatu bilangan kurang dari bilangan yang lain maka pada garis bilangan, bilangan itu terletak disebelah kiri. Contoh 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 Gambar diatas menunjukkan bilangan -4 terletak disebelah kiri -1, maka -4<-1

3. Penjumlahan dan sifat-sifatnya. Untuk memahami pengertian penjumlahan dua bilangan bulat, dapat ditunjukkan menggunakan garis bilangan sebagai berikut : Penjumlahan -2 + 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Dari titik 0 bergerak 2 satuan ke kiri kemudian dilanjutkan 5 satuan ke kanan sehingga diperoleh titik akhir yaitu 3, yang merupakan hasil dari -2 + 5

Dari titik 0 bergerak 1 satuan ke kiri Penjumlahan -1+ (-2) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Dari titik 0 bergerak 1 satuan ke kiri kemudian dilanjutkan lagi 2 satuan ke kiri sehingga diperoleh titik akhir yaitu -3, yang merupakan hasil dari -1 + (-2).

Hitunglah penjumlahan bilangan bulat berikut ini : hasil penjumlahan bilangan bulat dapat juga ditentukan dengan menggunakan aturan berikut. Untuk sembarang bilangan bulat a dan b berlaku : -a + (-b) = -(a + b) -a + b = -(a – b), jika a >b -a + b = b – a, jika b >a Contoh soal : Hitunglah penjumlahan bilangan bulat berikut ini : -36 + (-58) = -(36 + 58) = -94 -27 + 12 = - (27-12) = -15 -14 + 29 = 29 – 14 =15

Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, selalu berlaku : a + b = b + a sifat ini disebut sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan Untuk bilangan bulat a, selalu berlaku : a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut unsur identitas (netral) pada penjumlahan Untuk sembarang bilangan bulat a, b dan c selalu berlaku : (a + b) + c = a + (b + c) Sifat ini disebut sifat asosiatif penjumlahan.

Pengurangan bilangan bulat. invers jumlah atau lawan suatu bilangan Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat diatur berpasangan seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini: -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Tiap anggota dari pasangan bilangan diatas disebut lawan atau invers jumlah dari anggota ang lain. -4 lawan dari 4 atau lawan dari 4 adalah -4 -3 lawan dari 3 atau lawan dari 3 adalah -3 2 lawan dari -2 atau lawan dari -2 adalah 2 Lawan (invers jumlah) dari a adalah –a Lawan (invers jumlah) dari –a adalah a

Pengurangan bilangan bulat Untuk memperoleh suatu bilangan yang jika ditambah dengan 4 menghasilkan 6, dapat ditentukan dengan cara menghitung yaitu 6 – 4 = 2. 0 2 6 Gambar diatas menunjukkan bahwa 6 + (-4) = 2, jadi, 6 – 4 = 6 + (-4) Dari uraian diatas diperoleh hubungan bahwa mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya menambah dengan lawan pengurangnya. Untuk sembarang bilangan bulat a dan b selalu berlaku : a – b = a + (-b) Contoh -8 – 9 = -8 + (-9) = -17 6 – (- 10) = 6 + 10 = 16

Perkalian dan sifat-sifatnya. 1. Perkalian bilangan bulat positif dan negatif Hasil perkalian bilangan positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif. Untuk setiap bilangan a dan b berlaku a x (-b) = -ab Dan (-a) x b = -ab Contoh: 1. 6 x (-10) = -60 2. 9 x [2 x (-12)] = 9 x (-24) = -216 2. Perkalian dua bilangan bulat negatif Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap bilangan a dan b berlaku (-a) x (-b) = ab Contoh: -8 x (-12) = 96 (-7 x 2) x (-9 ) = 126

Sifat-sifat perkalian bilangan bulat Sifat tertutup Untuk a dan b bilangan bulat, a x b adalah bilangan bulat juga. Sifat komutatif Untuk a dan b bilangan bulat, berlaku a x b = b x a. Sifat a,b,c bilangan bulat, berlaku (a x b) x c = a x (b x c). Sifat identitas Untuk a bilangan bulat, berlaku a x 1 = a. (Bilangan 1 merupakan unsur identitas perkalian). Sifat perkalian dengan bilangan 0 Untuk a bilangan bulat, berlaku a x 0 = 0. Sifat perkalian distributif perkalian terhadap penjulahan dan pengurangan. Untuk a, b, dan c bilangan bulat, berlaku a x (b + c) = (a x b) + (a x c) a x (b – c) = (a x b) + (a x c)

Pembagian bilangan bulat Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian Untuk menentukan nilai p dari p x 7 = 56, dapat dicari dengan cara menjawab pertanyaan berikut ini. Bilangan manakah yang dikalikan 7 menghasilkan 56 ? Berapakah hasil dari 56 : 7 ? Ternyata jawaban dari kedua pertanyaan diatas adalah sama, yaitu 8. Perbedaanya terletak pada caranya yaitu : Menggunakan cara perkalian Menggunakan cara pembagian Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian p : q = r r x q = p Operasi kebalikan ini disebut juga invers perkalian. Contoh: 72 : 6 = 12 12 x 6 = 72

+ : - = - - : - = + - : + = - Pembagian bilangan bulat a. -6 : 2 = a a x 2 = -6 Nilai pengganti a yang benar adalah -3, sebab -3 x 2 = -6 Jadi, -6 : 2 = -3 b. 30 : (-5) = b b x (-5) = 30 Nilai pengganti b yang benar adalah -6, sebab -6 x (-5) = 30 Jadi, 30 : (-5) = -6 c. -12 : (-3) = a a x (-3) = -12 Nilai pengganti a yang benar adalah 4, sebab 4 x (-3) = -12. Jadi, -12 : (-3) = 4 Dari pembagian-pembagian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut: Bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat negatif. + : - = - Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat positif. - : - = + Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat negatif. - : + = -

Untuk sembarang bilangan bulat a, maka a : 0 tidak didefnisikan Pembagian dengan nol berapakah 8:0? Untuk menjawab pertanyaan di atas, harus diperoleh suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 0 menghasilkan 8. Misal 8 : 0 = p, maka p x 0 = 8 Ternyata tidak ada satu pun nilai pengganti p yang memenuhi p x 0 = 8 sehingga menjadi kalimat yang benar. Berdasarkan uraian di atas, maka dapat dismpulkan sebagai berikut : Untuk sembarang bilangan bulat a, maka a : 0 tidak didefnisikan

Untuk sembarang bilangan bulat a dengan a ≠ 0 maka 0 : a = 0 Dengan p sembarang bilangan bulat, berapakah 0 : p? Misal 0 : p = q, maka q x p = 0. Ternyata pengganti q yang memenuhi pernyataan di atas adalah 0, karena 0 x p selalu menghasilkan 0 untuk sembarang bilangan bulat p. Dengan demikian dapat di simpulkan sebagai berikut : Untuk sembarang bilangan bulat a dengan a ≠ 0 maka 0 : a = 0

GOOD LUCK SEE U