Ekonometrika Lanjutan Program Studi Statistika Semester Genap 2015/2016 Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc., P.hD

Peramalan Peramalan adalah bagian penting dari analisis ekonometrika: GDP, inflasi, nilai tukar mata uang, harga saham tingkat pengangguran dll pada beberapa periode ke depan Untuk kepentingan pengambilan kebijakan, keputusan atau strategi di masa datang Sehubungan dengan data deret waktu: Autoregressive integrated moving average (ARIMA)  Metodologi Box Jenkins (BJ) Vector autoregression (VAR). Ada pula peramalan yang melibatkan sifat volatilitas dari variabel pengamatan Mis: Harga saham, nilai tukar Variabilitias tinggi (ketidakstabilan) pada satu periode biasanya diikuti oleh beberapa periode yang tidak stabil pula (volatility clustering),

Model yang diigunakan menekankan pada sifat ketidakstabilan ragam (heterokedastisitas) Autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH) Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH) VAR Pemodelan VAR menyerupai pemodelan persamaan simultan. Pada model VAR dilibatkan beberapa variabel endogen secara bersama – sama, akan tetapi setiap variabel endogen dijelaskan oleh nilai dirinya sendiri di masa lalu dan nilai masa lalu variabel – variabel engoden lainnya. Tidak dilibatkan variabel eksogen di dalam model

Model – model ARIMA Metode peramalan dengan menganalisis sifat – sifat peluang/stokastik suatu deret waktu dengan filosofi “let the data speak for themselves (biarkan data berbicara sendiri)” Berbeda dengan regresi di mana Yt dijelaskan oleh k variabel X Pemodelan ARIMA memungkinkan dibentuknya model di mana Yt dijelaskan oleh nilai Y di masa lalu (lagged value of Y) dan suku – suku galat. Karena sifat tersebut, model – model ARIMA seringkali dinyatakan sebagai model atheoretic. Suatu model yang tidak berdasarkan pada teori ekonomi. Padahal di dalam pembentukan regresi, teori ekonomi harus digunakan sebagai dasar pembentukan model.

Semua proses mengasumsikan bahwa deret waktu yang dimodelkan bersifat stasioner Proses autoregressive orde ke – p (AR (p)): Proses di mana nilai Y pada periode ke t tergantung pada nilai – nilainya di satu, dua atau secara umum sampai dengan p periode sebelumnya. Proses Moving Average orde ke - q(MA(q)) Proses di mana Y pada periode ke t merupakan kombinasi linier dari galat (white noise) periode yang sama sampai dengan galat (white noise) dari q periode sebelumnya.

Proses autoregressive orde ke – p dan moving average orde ke – q (ARMA(p,q)): Proses di mana Y pada periode ke t mempunyai karakteristik prose AR(p) maupun MA (q) Proses autoregressive integrated moving average (ARIMA(p, d, q) Proses ARMA (p,q) yang diterapkan pada deret yang tidak stasioner, akan tetapi terintegrasi pada orde (d)  I(d) Deret mengalami pembedaan sampai dengan pembedaan ke – d untuk mencapai stasioner Y*t adalah deret hasil pembedaan yang sudah stasioner

Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial proses AR(1) dan MA (1) secara teoritis Autokorelasi ke – k: Autokorelasi pada proses AR (1) Secara rekursif diperoleh:

Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial proses AR(1) dan MA (1) secara teoritis Dari fungsi autokorelasi secara teori tersebut, dapat ditunjukkan bahwa autokorelasi dari proses AR(1), dengan syarat 0<ϕ<1 menurun secara eksponensial seiring time lag Akan tetapi, setelah dibentuk korrelogram, diagram tersebut tidak menunjukkan indikator penentu ordo dari proses AR Untuk itu diperlukan alat/fungsi tambahan yaitu PACF

Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial proses AR(1) dan MA (1) secara teoritis Autokorelasi pada proses MA (1) Dengan asumsi bahwa tidak ada autokorelasi pada galat  tidak ada korelasi antar galat pada waktu yang berbeda:

Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial proses AR(1) dan MA (1) secara teoritis Autokorelasi pada proses MA (1) Dengan asumsi bahwa tidak ada autokorelasi pada galat  tidak ada korelasi antar galat pada waktu yang berbeda:

Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial proses AR(1) dan MA (1) secara teoritis Dapat dibuktikan pada time lag yang lebih besar dari 1 berlaku: Sehingga: Setelah dibuat korrelogram berdasarkan fungsi tersebut, maka korrelogram dapat memberikan indikasi bahwa untuk MA(1), autokorelasi hanya punya nilai yang bukan nol sampai dengan time lag 1.

Pada proses MA, korrelogram adalah alat yang cukup untuk menentukan ordo proses (q): hanya signifikan sampai dengan lag q. Sedangkan pada proses AR (p), korrelogram hanya menunjukkan sifat autokorelasi yang menurun secara eksponensial seiring waktu, akan tetapi tidak ada indikator ordo proses.

Autokorelasi parsial adalah korelasi antara Yt dan Yt-k setelah menghilangkan pengaruh variabel – variabel di antaranya Yt-1, Yt-2, …, Yt-k+1 Menghitung korelasi antara sisaan et =Yt – f(Yt-1, Yt-2, …, Yt- k+1) dan sisaan et-k =Yt-k – f(Yt-1, Yt-2, …, Yt-k+1) PACF proses AR(p), PACF hanya signifikan sampai dengan lag ke p, pada lag selanjutnya bernilai 0 PACF proses MA(q), PACF menurun secara eksponensial

Cek rumus

Model Ciri pola ACF Ciri pola PACF AR (p) Menurun secara eksponesial atau membentuk gelombang sinus Hanya signifikan sampai dengan time lag p, selebihnya bernilai nol MA (q) Signifikan sampai dengan lag q, selebihnya bernilai nol Menurun secara eksponensial atau membentuk gelombang sinus ARMA (p, q) Menurun secara eksponensial

Alasan Perlunya Stasioneritas Pada Model ARIMA Tujuan pemodelan ARIMA adalah untuk mengidentifikasi dan menduga parameter model yang mendasari terbentuknya data sampel, untuk seluruh periode waktu. Untuk kepentingan peramalan model yang diperoleh saat ini harus berlaku pula untuk periode waktu di masa datang. Jika deret waktu tidak stasioner, maka model yang dibentuk berdasarkan data saat ini tidak akan berlaku pada beberapa periode waktu yang akan datang  model tidak valid lagi digunakan untuk peramalan

Tahapan Pemodelan ARIMA Tahap 1. Identifikasi Menentukan nilai p, d, dan q yang tepat Dengan bantuan korrelogram (ACF) dan korrelogram parsial (PACF) Tahap 2. Pendugaan parameter model Pendugaan parameter model AR, atau MA Metode pendugaan: Least square atau MLE Tahap 3. Pemeriksaan diagnostik Untuk memeriksa apakah model terpilih sesuai dengan perilaku data Ada kemungkinan model lain menggambarkan perilaku data secara lebih baik. Model yang sesuai dengan perilaku data akan menghasilkan sisaan dengan sifat white noise. Jika sisaan tidak memiliki sifat tersebut, harus dipilih model yang lain Mempertimbangkan beberapa model tentatif Model terbaik adalah model dengan AIC (atau kriteria lain) terkecil

Kriteria-kriteria Tahap 4. Peramalan Semua menggunakan KTG sebagai penduga ragam dan banyaknya parameter yang diduga (k) Dengan prinsip model yang terbaik adalah yang paling sederhana dengan kesalahan yang paling kecil Model terbaik akan memiliki nilai kriteria terkecil. Tahap 4. Peramalan Pada beberapa kasus model ini lebih menghasilkan peramalan yang lebih terpercaya daripada model – model ekonometrika lainnya, khususnya untuk peramalan jangka pendek.

Identifikasi: Plot Deret Waktu GDP US, 1970 Kuartal I – 1991 Kuartal IV

Contoh kasus GDP US, digunakan data1970 Kuartal I – 1991 Kuartal IV setelah dilakukan pembedaan karena tidak stasioner

Identifikasi: Plot Deret Waktu Hasil Pembedaan Pertama GDP US, 1970 Kuartal I – 1991 Kuartal IV

Korrelogram dan Fungsi PACF bagi GDP US Hasil Pembedaan Pertama, 1970 Kuartal I – 1991 Kuartal IV

Autocorrelation function for d_GDP LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] 1 0.3164 *** 0.3164 *** 9.0136 [0.003] 2 0.1860 * 0.0955 12.1654 [0.002] 3 0.0493 -0.0383 12.3894 [0.006] 4 0.0509 0.0325 12.6312 [0.013] 5 -0.0074 -0.0323 12.6364 [0.027] 6 -0.0193 -0.0199 12.6720 [0.049] 7 -0.0730 -0.0623 13.1883 [0.068] 8 -0.2891 *** -0.2796 *** 21.3803 [0.006] 9 -0.0665 0.1280 21.8195 [0.009] 10 0.0187 0.1004 21.8546 [0.016] 11 0.0365 -0.0081 21.9906 [0.024] 12 -0.2391 ** -0.3115 *** 27.8924 [0.006] 13 -0.1166 0.0113 29.3142 [0.006] 14 -0.2036 * -0.1144 33.7118 [0.002] 15 -0.1280 -0.0511 35.4743 [0.002] 16 -0.0353 -0.0207 35.6104 [0.003] 17 -0.0559 -0.0193 35.9559 [0.005]

Pada korrelogram, ACF dan PACF yang digambarkan adalah ACF dan PACF sampel, yang tidak mempunyai pola rapi seperti pada tabel yang menunjukkan ciri – ciri model. Akan tetapi keduanya memiliki pola yang sama, dengan nilai korelasi yang nyata pada lag 1, 8 dan 12 Dapat saja ditentukan model tentatif ARMA, AR maupun MA tanpa melibatkan seluruh time lag, hanya lag 1, 8 dan 12

Model Tentatif Bagi GDP US Hasil Pembedaan Pertama Karena ACF maupun PACF mempunyai bentuk yang serupa (gelombang sinus) dengan nilai autokorelasi maupun autokorelasi spasial yang nyata pada lag 1, 8 dan 12: Model tentatif yang dipilih: Melibatkan suku AR dan MA tapi hanya pada lag 1, 8 dan 12 (Model 1) Melibatkan suku AR pada lag 1, 8 dan 12 (Model 2) Melibatkan suku MA pada lag 1, 8 dan 12 (Model 3)

Hasil Pendugaan Parameter Model 1 coefficient std. error z p-value --------------------------------------------------------- const 23.7518 1.90515 12.47 1.13e-035 *** phi_1 0.221397 0.217072 1.020 0.3078 phi_8 -0.0686581 0.181713 -0.3778 0.7056 phi_12 -0.117555 0.160285 -0.7334 0.4633 theta_1 0.175472 0.221666 0.7916 0.4286 theta_8 -0.382884 0.174672 -2.192 0.0284 ** theta_12 -0.321343 0.157546 -2.040 0.0414 ** Mean dependent var 22.93333 S.D. dependent var 35.93448 Mean of innovations -0.517965 S.D. of innovations 28.93018 Log-likelihood -418.7144 Akaike criterion 853.4288 Schwarz criterion 873.1561 Hannan-Quinn 861.3724

Hasil Pendugaan Parameter Model 2 coefficient std. error z p-value -------------------------------------------------------- const 23.5463 2.78361 8.459 2.70e-017 *** phi_1 0.303184 0.0892409 3.397 0.0007 *** phi_8 -0.280526 0.0928536 -3.021 0.0025 *** phi_12 -0.264645 0.0911533 -2.903 0.0037 *** Mean dependent var 22.93333 S.D. dependent var 35.93448 Mean of innovations 0.254970 S.D. of innovations 30.63955 Log-likelihood -422.2150 Akaike criterion 854.4299 Schwarz criterion 866.7594 Hannan-Quinn 859.3946

Hasil Pendugaan Parameter Model 3 coefficient std. error z p-value -------------------------------------------------------- const 23.2337 2.15613 10.78 4.49e-027 *** theta_1 0.287981 0.0965446 2.983 0.0029 *** theta_8 -0.374013 0.104600 -3.576 0.0003 *** theta_12 -0.338006 0.100195 -3.373 0.0007 *** Mean dependent var 22.93333 S.D. dependent var 35.93448 Mean of innovations 0.262593 S.D. of innovations 29.52972 Log-likelihood -420.2153 Akaike criterion 850.4306 Schwarz criterion 862.7601 Hannan-Quinn 855.3953

Diagnostic Model Memeriksa sisaan di ketiga model apakah sudah memenuhi sifat white noise  Uji LB Jika ada beberapa model dengan sisaan yang bersifat white noise, model terbaik dipilih berdasarkan nilai AIC terkecil

Uji LB Sisaan Model 1 Autocorrelation function for res1 LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] 1 -0.0509 -0.0509 0.2331 [0.629] 2 0.1364 0.1342 1.9288 [0.381] 3 -0.0082 0.0047 1.9351 [0.586] 4 -0.1617 -0.1839 * 4.3734 [0.358] 5 0.0074 -0.0076 4.3786 [0.496] 6 -0.0484 0.0025 4.6025 [0.596] 7 -0.0496 -0.0568 4.8406 [0.679] 8 -0.0061 -0.0352 4.8442 [0.774] 9 -0.0155 -0.0007 4.8680 [0.846] 10 0.1468 0.1511 7.0357 [0.722] 11 0.1033 0.1088 8.1225 [0.702] 12 0.0002 -0.0461 8.1225 [0.775] 13 0.0441 0.0072 8.3260 [0.822] 14 -0.1809 * -0.1340 11.7952 [0.623] 15 -0.1224 -0.1305 13.4051 [0.571] 16 -0.0699 -0.0468 13.9380 [0.603] 17 -0.0718 -0.0195 14.5090 [0.631]

Korrelogram sisaan Model 1

Uji LB Sisaan Model 2 Autocorrelation function for res2 LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] 1 0.0037 0.0037 0.0012 [0.972] 2 0.1363 0.1363 1.6928 [0.429] 3 -0.0160 -0.0173 1.7165 [0.633] 4 -0.0536 -0.0734 1.9846 [0.739] 5 -0.0564 -0.0525 2.2850 [0.808] 6 -0.0038 0.0144 2.2863 [0.892] 7 -0.0396 -0.0267 2.4383 [0.932] 8 -0.0766 -0.0857 3.0135 [0.934] 9 0.0706 0.0760 3.5077 [0.941] 10 0.1323 0.1585 5.2676 [0.873] 11 0.0936 0.0712 6.1611 [0.862] 12 -0.0513 -0.1139 6.4328 [0.893] 13 0.0802 0.0636 7.1055 [0.897] 14 -0.1936 * -0.1501 11.0819 [0.680] 15 -0.1224 -0.1456 12.6934 [0.626] 16 -0.0994 -0.0669 13.7707 [0.616] 17 -0.0916 -0.0361 14.6985 [0.617]

Korrelogram sisaan Model 2

Uji LB Sisaan Model 3 Autocorrelation function for res3 LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] 1 0.0879 0.0879 0.6961 [0.404] 2 0.1650 0.1585 3.1764 [0.204] 3 0.0067 -0.0201 3.1805 [0.365] 4 -0.1255 -0.1558 4.6489 [0.325] 5 0.0086 0.0336 4.6559 [0.459] 6 -0.0568 -0.0116 4.9640 [0.548] 7 -0.0436 -0.0489 5.1481 [0.642] 8 -0.0723 -0.0771 5.6598 [0.685] 9 -0.0359 -0.0032 5.7878 [0.761] 10 0.1244 0.1538 7.3438 [0.693] 11 0.1019 0.0851 8.4026 [0.677] 12 -0.0686 -0.1689 8.8879 [0.712] 13 -0.0246 -0.0569 8.9511 [0.777] 14 -0.1873 * -0.1114 12.6729 [0.552] 15 -0.1449 -0.1038 14.9321 [0.456] 16 -0.0740 -0.0452 15.5295 [0.486] 17 -0.0640 -0.0091 15.9827 [0.525]

Korrelogram sisaan Model 3

Diagnostic Model Ketiganya layak, walaupun pada Model 1 ada paremeter yang tidak signifikan. Kriteria perbandingan untuk memutuskan Model 2 atau Model 3 sebagai model terbaik berdasarkan nilai AIC AIC Model 1: 854.4299 AIC Model 3: 850.4306 Model terbaik adalah model 3

Peramalan Harus disesuaikan dengan transformasi yang digunakan. Dari Model 3, diramalkan pembedaan pertama GDP US pada 1992 kuartal I. Dengan penyesuaian dapat diramalkan GDP pada 1992 kuartal I