Distribusi Bose Einstein Oleh : Kunjaya Prodi Astronomi, FMIPA, ITB
Dasar Pemikiran Andaikan kita mau mendistribusikan mi partikel ke dalam gi keadaan. Persoalan ini adalah persoalan kombinasi mengatur mi partikel identik dan gi-1 pembatas identik dalam satu garis lurus Banyaknya cara :
Gunakan Pendekatan Gunakan pendekatan Stirling Maka
Mencari Maksimal dari ln Ω Karena mi >> 1 dan gi>> 1 maka persamaan diatas dapat menjadi : Agar ln Ω maksimum, haruslah d(ln Ω) = 0
Penambahan Faktor Maka: Tambahkan faktor berikut : dan
Mengapa ada tambahan faktor? Mengapa ditambahkan faktor tersebut? Karena harus memenuhi kekekalan partikel : Karena N adalah suatu konstanta, maka diferensialnya nol, dN=0
Constraint dari hukum kekekalan Juga harus memenuhi hukum kekekalan energi: Karena E harus tetap, maka diferensialnya nol, dE = 0 Kekekalan massa dan kekekalan energi ini merupakan constraint dalam proses mencari maksimum dari ln Ω
Lagrange Multiplier Metode untuk mencari nilai ekstrim suatu fungsi multi variable f(x,y) dengan constraint suatu fungsi lain g(x,y) = c adalah dengan metode Lagrange multiplier dengan memaksimumkan fungsi : Maka di dalan kasus statistik MB, BE dan FD, α dan β berfungsi sebagai konstanta Langrange Multiplier λ.
Mencari maksimal dari ln Ω Untuk memaksimumkan ln Ω, diferensial berikut haruslah nol: Dengan demikian :
Distribusi Bose Einstein Maka:
Distribusi Bose Einstein Jika nj adalah rata-rata banyaknya partikel di dalam setiap sel degenerasi, maka Sehingga diperoleh : Inilah rumus dasar statistik Bose – Einstein Partikel yang memenuhi aturan statistik ini disebut Boson, contoh : foton
Foton Khusus untuk partikel foton, yang memenuhi statistik Bose – Einstein, harga α adalah nol. Alasannya adalah di dalam ruang, foton dapat dicip- takan dan dimusnahkan (diserap) sehingga con- straint hukum kekekalan massa tidak diperlukan. Karena constraint ini tidak ada maka sebenarnya tidak diperlukan penambahan faktor berikut: Ekivalen dengan α = 0
Konstanta β Bagaimana halnya dengan konstanta β ? Dapat dibuktikan bahwa :