Metode NEWTON-RAPHSON CREATED BY : NURAFIFAH 60600110029
METODE NEWTON-RAPHSON Metode pencarian akar persamaan dengan memperkirakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut.
PRINSIP UTAMA Melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan gradien pada satu titik nilai awal. see Nilai taksiran selanjutnya adalah tipot antara gradien dengan sumbu x. see
PENURUNAN RUMUS Mis: xk = titik awal m = f’(xk) di titik (xk, f(xk)) Maka persamaan garis singgungnya adalah 𝑚= ∆𝑦 ∆𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑘 = 𝑓(𝑥 𝑘 )−0 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘+1 = 𝑓(𝑥 𝑘 ) 𝑓′( 𝑥 𝑘 )
𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓(𝑥 𝑘 ) 𝑓 ′ 𝑥 𝑘 , 𝑘≥0 RUMUS ITERASI NEWTON RAPHSON −(𝑥 𝑘+1 )=( −𝑥 𝑘 )+ 𝑓(𝑥 𝑘 ) 𝑓′( 𝑥 𝑘 ) 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓(𝑥 𝑘 ) 𝑓′( 𝑥 𝑘 ) RUMUS ITERASI NEWTON RAPHSON 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓(𝑥 𝑘 ) 𝑓 ′ 𝑥 𝑘 , 𝑘≥0
SYARAT Agar metode ini dapat bekerja dgn baik, beberapa persyaratan harus dipenuhi: HAMPIRAN AWAL tidak menyebabkan fungsi menjadi tak berhingga (∞), Persamaan y = f(x) mempunyai f '(x) dan harus kontinu di daerah domain jawab, f’(x) ≠ 0 pada harga xk (pada iterasi ke-k) yang diinginkan, Kriteria penghentian iterasi dilakukan bilamana SALAH SATU syarat berikut terpenuhi: ∆ 𝑥 𝑘 ≤𝜀 𝑓(𝑥 𝑘 ) ≤𝜀
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN Cari f’(x) dan f’’(x) dari f(x), f’(xk) ≠ 0 Tentukan titik 𝑥 𝑘 & uji syarat persamaan dgn rumus: 𝑓 𝑥 𝑘 . 𝑓 ′′ ( 𝑥 𝑘 ) (𝑓 ′ 𝑥 𝑘 ) 2 <1 ; apakah memenuhi syarat persamaan? Jika tidak cari nilai 𝑥 𝑘 baru Lakukan iterasi Hitung nilai taksiran akar selanjutnya dengan rumus: 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓(𝑥 𝑘 ) 𝑓 ′ 𝑥 𝑘 , 𝑘≥0 Cek konvergensi terhadap toleransi galat relatif x
KELEBIHAN & KEKURANGAN kinerjanya relatif jauh lebih cepat dalam mencapai konvergensi dibandingka metode lainnya Hasil perhitungan akhirnya tepat Tidak selalu konvergen (bisa divergen) Pemilihan hampiran awal mungkin tidak dapat dilakukan secara sebarang.
THANKS!!
GRAFIK PENDEKATAN NEWTON RAPHSON
GRAFIK PENDEKATAN NEWTON RAPHSON
CONTOH