Peranan Sains dan Teknologi untuk Menatap Masa Depan yang Lebih Baik PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA 11/5/2017 PENGANTAR ANALISIS REAL DR. MARWAN RAMLI PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SYIAH KUALA Banda Aceh, 28 Agustus 2012

Peranan Sains dan Teknologi untuk Menatap Masa Depan yang Lebih Baik 11/5/2017 outline BILANGAN REAL Sifat aljabar dan urutan dalam bilangan real Nilai mutlak dan garis real Sifat kelengkapan bilangan real Interval dalam bilangan real BARISAN DAN DERET Barisan dan limit barisan Beberapa teorema limit barisan Deret tak hingga

OPERASI BINER Misalkan A adalah himpunan tak kosong. Operasi biner * atas A adalah pemetaan setiap pasangan berurutan x,y  A ke tepat satu anggota x*y  A * : A x A  A (x,y)  x*y Contoh : Operasi + pada himpunan bilangan bulat Z + : (3,5)  3+5 =8 Himpunan A dikatakan tertutup terhadap biner * apabila setiap x,y  A memberikan x*y  A Contoh : Operasi - pada himpunan bilangan asli N - : (3,5)  3-5 =-2  N

INDUKSI MATEMATIKA PRINSIP PERTAMA INDUKSI BERHINGGA Misalkan S(n) merupakan suatu pernyataan matematika yang menyatakan ekspresi matematika tentang bilangan bulat positif. Langkah pembuktian : Tunjukkan berlaku untuk n0 Asumsikan berlaku untuk n=k Tunjukkan berlaku untuk n=k+n0 PRINSIP KEDUA INDUKSI BERHINGGA Misalkan S(n) merupakan suatu pernyataan matematika yang menyatakan ekspresi matematika tentang bilangan bulat positif. Langkah pembuktian : Tunjukkan berlaku untuk n0 Asumsikan berlaku untuk n=k, n0≤ k < m Tunjukkan berlaku untuk n=m

Peranan Sains dan Teknologi untuk Menatap Masa Depan yang Lebih Baik 11/5/2017 GRUP Suatu grup {G,*} terdiri dari anggota himpunan G bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi : Tertutup : a*b G a,bG Hukum asosiatif : (a*b)*c=a*(b*c), a,b,cG Unsur identitas : !eG  a*e= e*a=a, aG Unsur invers : !a-1G  a* a-1 = a-1 *a=e, aG Grup {G,*} dikatakan grup abel apabila a*b= b*a, a,bG Grup {G,*} dikatakan grup siklik asalkan G=<a> (baca : G dibangun oleh a) untuk suatu aG G={an| nZ} Z himpunan anggota bilangan bulat. Contoh {Z4,+}. {Z4,+} = <1> atau <3>

GRUP BAGIAN Suatu grup bagian S dari grup G adalah himpunan bagian dari G yang merupakan grup di bawah operasi yang sama dengan G yang dibatasi pada S. Contoh : {Z,+} adalah grup bagian dari {R,+} {S,+} dengan S={0,2,4} adalah grup bagian dari {Z6,+} {Z6,+} bukan grup bagian dari {Z12,+} Teorema : Diketahui S himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. Himpunan S merupakan grup bagian G jika dan hanya jika memenuhi : eS S tertutup di bawah operasi G Untuk sebarang sS, invres s ditulis s-1S

GELANGGANG Suatu Ring {R,+,*} terdiri dari anggota himpunan G bersama dengan operasi biner “+”, “*” yang didefinisikan pada R dan memenuhi : {R,+} grup komutatif {R,*} bersifat asosiatif R distributif : a,b,cR, a*(b+c)=a*b+a*c dan (a+b)*c=a*c+b*c Contoh : {Z,+,.}, {R,+,.}, {Q,+,.} {C,+,.}, {M2,+,.} Suatu Gelanggang Komutatif {R,+,*} dikatakan integral domain apabila tidak memuat pembagi nol. Contoh : {Z,+,.}, {Zp,+,.} integral domain {Zn,+,.} bukan integral domain

BILANGAN REAL SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL Terdapat dua operasi biner, “+” dan “.”, yang disebut sebagai penjumlahan dan perkalian

BILANGAN REAL SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL Terdapat dua operasi biner, “+” dan “.”, yang disebut sebagai penjumlahan dan perkalian Dapat ditunjukkan bahwa Himpunan bilangan real adalah grup atas operasi penjumlahan Himpunan bilangan real tanpa nol adalah grup atas operasi perkalian

BILANGAN REAL SIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL Algoritma Pembagian Misalkan a,b Z dengan a>0, ! q,r Z  b = qa + r, 0 ≤ r < a Contoh : 1. 38 dibagi 7 ; 38 = (5) 7 + (3), jadi q=5 dan r=3 2. -38 dibagi 7 ; -38 = (-6) 7 + 4, jadi q=-6 dan r = 4

BILANGAN REAL Bilangan Rasional dan Irrasional Himpunan bilangan rasional yang dinotasikan dengan Q adalah suatu himpunan yang setiap anggotanya dapat dituliskan dalam bentuk : a/b,  a,bZ, b≠0 Himpunan bilangan irrasional yang dinotasikan dengan R-Q adalah suatu himpunan yang setiap anggotanya tidak dapat dituliskan dalam bentuk : a/b,  a,bZ, b≠0 Contoh (Buktikan !)

BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL Sub himpunan P R disebut sebagai himpunan bilangan real positif apabila memenuhi : a+b P,  a,bP a.b P,  a,bP Untuk suatu aP, maka akan memenuhi salah satu kondisi : a P, a=0 dan -aP (sifat trikotomi) Akibat sifat trikotomi  a,bR, a<b, a=b, a>b. Apabila a≤b dan b≤a, maka a=b a<b<c artinya a<b dan b<c

BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL Teorema : Untuk sebarang a,b,c  R. Apabila a<b dan b<c, maka a<c Apabila a>b, maka a+c > b+c Apabila a>b dan c>0, maka ac > bc, apabila a>b dan c<0, maka ac < bc Apabila a>0, maka 1/a > 0, apabila a<0, maka 1/a < 0 Teorema : Apabila aR dan a≠0, maka a2>0 1 > 0 Apabila n N, maka n>0 Teorema : Apabila a,bR dan a<b, maka a < (a+b)/2 < b

BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL Teorema : Misalkan a,b  R, apabila ab > 0 maka berlaku a>0 dan b>0, a<0 dan b<0 Teorema : Misalkan a,b  R, apabila ab < 0 maka berlaku a>0 dan b<0, a<0 dan b>0 Nilai Mutlak. Nilai mutlak dari suatu bilangan real a dinotasikan dengan |a|, didefinisikan sebagai

|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an| BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL Teorema : Misalkan a,b,c  R |ab|=|a||b| |a|2=a2 Apabila c≥0, maka |a|≤ c jika dan hanya jika -c ≤ a ≤c -|a|≤a ≤|a| Teorema : Untuk a,b  R berlaku |a+b|≤|a|+|b| ||a|-|b|| ≤ |a-b| |a-b| ≤ |a|+|b| Akibat : Untuk a1,a2,…,an  R berlaku |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|

BILANGAN REAL SIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL Contoh : Diberikan suatu fungsi yang didefinisikan oleh dengan x[2,3]. Tentukan M sedemikian rupa sehingga f(x)≤ M Solusi : |2x2-3x+1| ≤ 2x2+3|x|+1=28 sementara itu |2x-1|≥ 2|x|-1=3. Dengan demikian |f(x)|≤ 28/3. Jadi M = 28/3

V(a)={xR:|x-a|<}=(a-,a+) BILANGAN REAL GARIS BILANGAN REAL Salah satu interpretasi geometris yang cukup dikenal adalah garis bilangan real. Pada garis real nilai mutlak |a|, aR, adalah jarak dari titik a ke titik 0. Secara umum jarak dari suatu titik a ke titik b, dengan a,bR, di R adalah |a-b|. |2-(-1)|=3 Diberikan aR dan >0. Persekitaran- dari a didefinisikan sebagai himpunan V(a)={xR:|x-a|<}=(a-,a+)

BILANGAN REAL SIFAT KELENGKAPAN HIMPUNAN BILANGAN REAL Supremum dan Infimum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. Himpunan S dikatakan terbatas ke atas apabila terdapat suatu bilangan uR, sedemikian sehingga s≤u,sS Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah apabila terdapat suatu bilangan wR, sedemikian sehingga s≥w,sS Himpunan S dikatakan terbatas apabila terbatas ke atas dan terbatas ke bawah Supremum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. Misalkan S terbatas ke atas, suatu bilangan uR dikatakan supremum dari S apabila u adalah batas atas terkecil untuk S Infimum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. Misalkan S terbatas ke bawah, suatu bilangan wR dikatakan infimum dari S apabila w adalah batas bawah terbesar untuk S

2D Wave Generation Simulations Terima Kasih sampai Jumpa 2D Wave Generation Simulations