EKO500 Matematika Ekonomi PERSAMAAN BEDA ORDE-1 DAN TERAPANNYA Toni Bakhtiar Institut pertanian bogor 2012

Pendahuluan Dalam sistem kontinu, laju perubahan variabel x terhadap waktu t dinyatakan sebagai turunan-turunan x terhadap t, yaitu dx/dt, d2x/dt2, dsb,dengan perubahan pada t bersifat kontinu. Namun demikian, banyak variabel dalam kajian ekonomi, seperti pendapatan, konsumsi, dan tabungan, dicatat pada selang waktu tertentu, misalnya setiap hari, minggu, caturwulan, atau tahun sehingga waktu t bergerak menurut peubah diskret dan biasanya memiliki nilai hanya pada bilangan bulat saja. Dalam kasus ini, konsep turunan tidak lagi memadai untuk digunakan. Laju perubahan peubah diskret x terhadap waktu t dinyatakan sebagai beda (differences).

Beda dan Persamaan Beda Biasanya, t = 1. Level First Difference Second Difference 13 - 28 15 69 41 26 67 -2 -43 91 24 74 -17 -41 10 -64 -47 14 78 72 48 34 54 -18 -66

Beda dan Persamaan Beda Misalkan xt menyatakan nilai x pada periode ke-t; dan xt+1 menyatakan nilai x pada periode t + 1; maka beda pertama (first difference) dari x dinyatakan oleh Suatu persamaan yang menyatakan hubungan antara variabel takbebas x dan beda dari x pada selang waktu yang diskret dinamakan persamaan beda. Contoh:

Persamaan Beda Persamaan beda: linear-taklinear, homogen-takhomogen, mandiri-takmandiri, orde-1, orde-2, dst. Orde suatu persamaan beda adalah beda terbesar dari periode waktu.

Persamaan Beda Misalkan pt merupakan IHK (consumer price index): Persamaan di atas mengatakan bahwa besarnya perubahan IHK pada periode t ke periode t + 1 sama dengan proporsi  dari IHK pada periode t. Misalkan mt adalah besarnya penawaran uang (money supply): menyatakan bahwa otoritas moneter memiliki kebijakan untuk meningkatkan penawaran uang setiap bulan sebesar b ditambah proporsi a dari besarnya penawaran uang periode sebelumnya.

PBL Orde-1 Bentuk baku persamaan beda, linear, mandiri, orde-1: Dikatakan memiliki orde 1 karena beda terbesar yang muncul adalah beda pertama, yaitu beda sebesar satu periode waktu; dikatakan linear karena hubungan antara yt+1 dan yt bersifat linear; dan dikatakan mandiri karena a dan b konstan. Sembarang persamaan dalam bentuk pyt+1 = qyt + r selalu dapat diubah ke bentuk baku dengan membagi kedua ruas persamaan dengan p, asalkan p taknol.

Solusi PBL Orde-1 Misalkan nilai awal y0 diketahui. Dengan metode iteratif diperoleh: Suku dalam kurung merupakan deret geometrik.

Solusi PBL Orde-1 Deret geometrik: Solusi PB:

Solusi PBL Orde-1 Jika nilai awal y0 tidak diberikan maka solusi umum PB ialah:

Solusi PBL Orde-1 Tentukan solusi dari PB berikut: Dari PB di atas diperoleh a = 1 dan c = 2, sehingga

Solusi PBL Orde-1 Tentukan solusi dari PB berikut: Dari PB di atas diperoleh a = 5 dan b = 1, sehingga

Solusi PBL Orde-1 Bambang menabung $100 di awal tahun (t = 0). Bunga majemuk sebesar 10% per tahun ditambahkan di akhir setiap tahun. Berapakah tabungan Bambang di akhir tahun ke-7? Banyaknya uang di tahun t + 1 10 persen lebih banyak daripada banyaknya uang di tahun t. Diperoleh persamaan yt+1 = 1.1yt, dengan solusi yt = 100(1.1)t. Jadi setelah 7 tahun, y7 = 100(1.1)7 = $194.87.

Solusi PBL Orde-1 Bambang menabung $100 di setiap awal tahun, mulai t = 0. Bunga sebesar 10% per tahun ditambahkan di akhir setiap tahun. Berapakah tabungan Bambang di awal tahun ke-t? Banyaknya uang di tahun t + 1 10 persen lebih banyak daripada banyaknya uang di tahun t plus $100. Diperoleh persamaan: Solusi:

Steady State & Kekonvergenan PB merupakan masalah menentukan yt+1 jika diberikan yt. Secara umum, y berubah menurut waktu. Namun, ada satu sifat dari PB mandiri yang penting dalam ekonomi, yaitu steady state (keadaan tunak). Steady state adalah nilai y di mana sistem dinamik stasioner (tidak berubah menurut waktu): yt+1 = yt. Kontinu Diskret

Steady State & Kekonvergenan Diberikan PB orde-1: Dalam keadaan steady state: sehingga Jika a = 1 maka tidak ada solusi steady state. Perhatikan bahwa solusi PB orde-1 dapat ditulis menjadi: Kekonvergenan solusi sangat bergantung pada at.

Steady State & Kekonvergenan Karena maka solusi konvergen ke solusi steady state jika 1 < n < 1 dan divergen jika n > 1 atau n <  1.

Steady State & Kekonvergenan

Steady State & Kekonvergenan Misalkan yt menyatakan banyaknya populasi ikan pada saat t. Dinamika populasi ikan mengikuti PB berikut: Tentukan jumlah steady state dan buat sketsa grafik untuk a = 0.5 dan a = 0.5. Diperoleh: Jika 1 < a < 1 maka y akan konvergen ke 10/(1  a).

Steady State & Kekonvergenan Sketsa grafik:

Model Penyesuaian Harga Cobweb Di pasar pada umumnya, produsen berkomitmen untuk memproduksi barang meski harga belum diketahui. Petani: harga ketika musim tanam sangat berbeda dengan harga di musim panen. Dokter, pengacara, guru, mahasiswa berkomitmen untuk malakukan investasi human capital tetapi belum tahu gaji yang akan diterima nanti. Apa implikasi dari lag pada sisi penawaran terhadap perilaku harga sepanjang waktu?

Model Penyesuaian Harga Cobweb Misalkan fungsi permintaan diberikan oleh: Diasumsikan bahwa supply decision dilakukan 1 periode sebelum produk dikirim ke pasar: Et1Pt merupakan ekspektasi harga mendatang yang dilakukan pada periode sekarang. Cobweb mengasumsikan Et1Pt = Pt1, yang berarti bahwa produsen berekspektasi harga mendatang sama dengan harga saat ini.

Model Penyesuaian Harga Cobweb Fungsi permintaan-penawaran: Kondisi kesetimbangan D = S: Persamaan di atas merupakan PB orde-1. Solusi:

Model Penyesuaian Harga Cobweb Solusi konvergen ke solusi steady state jika

Model Penyesuaian Harga Cobweb Selesaikan model penyesuaian harga Cobweb untuk fungsi permintaan-penawaran berikut. Asumsikan P0 = 2.