Metode Iterasi Gauss-Seidel Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Metode Numerik Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada

Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) banyak dijumpai dalam keteknikan, terlebih saat berurusan dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial. SPL melibatkan n persamaan dengan n variabel (xi) yang harus ditentukan nilainya:

Sistem Persamaan Linier SPL bisa ringkas ditulis dalam bentuk matriks:

Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Metode penyelesaian SPL secara umum ada 2 macam, yaitu: Metode eliminasi: Gauss Gauss-Jordan Dekomposisi LU Metode iterasi: Jacobi Gauss-Seidel

Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Di sini hanya akan dibahas 3 metode dari semua yang disebutkan tadi, yaitu: Metode Eliminasi Gauss Metode Dekomposisi LU Metode Iterasi Gauss-Seidel

Metode Iterasi Gauss-Seidel Penyelesaian SPL (Sistem Persamaan Linier)

Ide Dasar Metode Dekomposisi LU Dari SPL [A][X] = [B] Disusun masing2 1 persamaan untuk tiap xi:

Ide Dasar Metode Iterasi Gauss-Seidel Proses iterasi dimulai dengan tebakan sembarang untuk setiap xi. Lalu, nilai xi baru dihitung dari persamaan iterasi Iterasi dilanjutkan dengan xi terbaru yang tersedia. Proses iterasi dihentikan jika error dari 2 iterasi berurutan memenuhi kriteria yang ditentukan.

Ide Dasar Metode Iterasi Gauss-Seidel Proses iterasi dihentikan jika error dari 2 iterasi berurutan: telah memenuhi kriteria yang ditentukan untuk semua xi.

Beberapa catatan; Metode Iterasi Gauss-Seidel Proses iterasi efisien jika tebakan dekat dengan nilai sejatinya. Tebakan yang baik bisa dibuat jika fenomena fisiknya telah dipahami. Proses iterasi bisa konvergen (menuju nilai sejatinya) atau sebaliknya. Untuk menjaga konvergensi, pastikan persamaan iterasi disusun dari matriks dominan diagonal. Artinya, nilai mutlak kebanyakan elemen diagonal (aii) lebih besar daripada elemen lainnya (aij).

Beberapa catatan; Metode Iterasi Gauss-Seidel Matriks [A] dalam SPL [A][X]=[B] dikatakan dominan diagonal jika: Untungnya, kebanyakan sistem fisik biasanya memberikan SPL yang dominan diagonalnya.

Contoh-1: Tabel data Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 Tabel merekam data kecepatan roket pada tiga saat waktu. Kecepatan bisa dimodelkan dengan polinom orde-2: v(t)=a0+a1.t+a2t2 Dengan persamaan ini bisa ditentukan kecepatan pada waktu dalam rentang 5-12 detik. Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 177,2 12 279,2

Contoh-1: Sebaran data

Contoh-1: Sistem Persamaan Linier

Contoh-1: Sistem Persamaan Linier Matriks [A] tidak dominan diagonal, sehingga tidak bisa disusun persamaan iterasi yang konvergen. Jadi metode iterasi Gauss-Seidel tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan ini.

Contoh-2: Sistem Persamaan Linier Akan dicari penyelesaian SPL berikut: Matriks [A] di sini dominan diagonal, sehingga dari sini bisa disusun persamaan iterasi yang konvergen.

Contoh-2: Sistem Persamaan Linier Persamaan iterasi: Untuk pengawalan iterasi diambil tebakan sembarang xi = 0 (i=1..3)

Contoh-2: Sistem Persamaan Linier iterasi ke- error kriteria: 1E-03 x1 x2 x3 max konvergen? 1 0.083 5.583 2.821 100 belum 2 -0.14 3.935 3.759 160.7 41.88 24.96 3 0.666 3.212 3.963 120.6 22.53 5.156 4 0.932 3.036 3.997 28.55 5.792 0.833 5 0.990 3.004 4.000 5.842 1.049 0.091 6 0.999 3.000 0.94 0.135 4E-04 7 1.000 0.102 0.007 0.003 8 0.002 9 0.001 2E-04 10 3E-05 11 4E-05 4E-06 konvergen