Pertemuan VIII: NILAI PRIBADI DAN VEKTOR PRIBADI TEKNIK KOMPUTASI

Materi 1. Menetapkan nilai pribadi dan vektor pribadi Mencari persamaan karakteristik atas matriks bujursangkar A Mencari nilai pribadi Mencari vektor pribadi Implementasi

2. Penyelesaian persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan dengan matrix Mengubah persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan ke bentuk persamaan matrix Penyelesaian persamaan diferensial bentuk matrix Implementasi

7.1 Persamaan Karakteristik (1) Tinjau persamaan linear: Ax = b A: matrix bujursangkar Dapat dinyatakan bahwa: Ax = λIx I: matrix satuan Sehingga: (A – λI)x = 0 Selanjutnya: (A – λI) = 0 Harga determinan dari (A – λI) berupa polinomial derajat n, yaitu: det (A – λI) = λn + c1 λn-1 + c2 λn-2 + ..... + cn-1 λ + cn = 0 Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik, dengan derajat polinomial n sama dengan derajat matrix A.

7.1 Persamaan Karakteristik (2) Akar-akar polinomial itu merupakan akar persamaan karakteristik. Lebih lanjut, akar-akar persamaan karakteristik itu diberi simbol λ­1, λ2, λ3, ...., λn (ada n akar) dan dinamai nilai pribadi ( eigen value ). Dari Ax = λx, dapat dioperasikan : A2x = λ2x A3x = λ3x dst Aix = λix Harga x dalam pasangan diatas, x dinamai vektor pribadi (eigen vector ).

7.1 Persamaan Karakteristik (3) Menentukan bentuk polinomial persamaan karakteristik sampai derajat 3 dapat dilakukan dengan sederhana yaitu menggunakan determinan biasa. Contoh:

7.1 Persamaan Karakteristik (4) Sehingga diperoleh λ3 + c1 λ2 + c2 λ + c3 = 0 Untuk polinomial persamaan karakteristik yang berderajat ≥ 4, dapat ditentukan secara lebih efektif dan efisien dengan menggunakan rumus Newton sebagai berikut :

7.1 Persamaan Karakteristik (5) Dengan αi = tr(Ai) Trace matrix A ditulis dengan notasi tr(A) adalah merupakan jumlah elemen diagonal dari matrix A. Contoh perhitungan mencari αi:

7.1 Persamaan Karakteristik (6) Dan seterusnya sampai , sehingga diperoleh:

7.1 Persamaan Karakteristik (7) Apabila harga-harga sudah diperoleh maka harga-harga ci dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan Newton, sehingga persamaan karakteristik diperoleh, yaitu: λn + c1 λn-1 + c2 λn-2 + ..... + cn-1 λ + cn = 0 Harga-harga λi (= eigen value) dapat dicari dari penyelesaian persamaan bentuk polinomial seperti diatas dengan menggunakan algoritma mencari akar-akar polinomial. Vektor-vektor pribadi xi dapat dicari dari penyelesaian persamaan-persamaan: Axi = λixi , i = 1, 2, 3, ....., n.

7.1 Persamaan Karakteristik (8) Maka akan diperoleh pasangan-pasangan harga nilai pribadi dan vektor pribadi sebagai berikut: (λ1, x1), (λ2, x2), (λ3, x3), ......., (λi, xi), ....., (λn, xn) Sebagai pasangan nilai pribadi dan vektor pribadi dari A. Dengan kita susun vektor-vektor pribadi itu membentuk kolom-kolom matrix T, maka diperoleh : Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa AT = TD D : adalah merupakan matrix diagonal dengan nilai elemen-elemen diagonalnya adalah d11 = λ1, d22 = λ2, d33 = λ3, ....., dnn = λn .

7.1 Persamaan Karakteristik (9) Dapat diperoleh bahwa : A = TDT-1 Juga D = T-1AT Dari pernyataan di atas, dapat kita lihat bahwa terdapat similaritas antara matrix A dengan matrix D.

7.2 Menghitung pasangan Nilai Pribadi dan Vektor Pribadi (1) Menghitung n buah pasangan besaran Nilai Pribadi dan Vektor Pribadi (λ, x) apabila dilakukan secara manual sangat rumit dan melelahkan. Dengan bantuan menggunakan sofware tools MATLAB, kerumitan komputasi serta waktu yang melelahkan itu dapat diatasi. Dengan MATLAB, untuk menghitung Nilai Pribadi dan Vektor Pribadi cukup ditulis dengan instruksi Contoh : misal matrix A

7.2 Menghitung pasangan Nilai Pribadi dan Vektor Pribadi (2) Maka diperoleh bahwa : Pasangan Nilai Pribadi dan Vektor Pribadi dapat ditulis dalam bentuk berikut: λ1=1 λ2 = -3 λ3 = -3 0.816497 -0.57735 -0.75726 0.408248 0.650944 -0.40825 0.57735 0.053159 1 -3 T= D= 0.816497 -0.57735 -0.75726 0.408248 0.650944 -0.40825 0.57735 0.053159 T=

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (1) Diberikan : matrix bujur sangkar A (n baris x n kolom). Soal : tetapkan x agar dengan x(0) diketahui Jawab : x(t) = exp(At) * x(0) Nilai-nilai exp(At) * x(0) dapat dihitung dengan menggunakan paket MATLAB. Aplikasi: Persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan Tinjaulah persamaan diferensial linear dalam besaran real u terhadap variabel bebas t sebagai berikut : u(4) + 8u(3) + 28u’’ + 48u’ + 27u = 0 Dengan keadaan awal diketahui : u(0) = 1 u’(0) = -2 u”(0) = 1.5 u(3)(0) = 2

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (2) Persamaan diferensial ini dirumuskan dalam bentuk matrix dengan mendefinisikan vektor y ≡ (yi) Є R4 sebagai berikut : y1 = u y2 = u’ y3 = u” y4 = u(3) Oleh karenanya y(0) = [ 1 -2 1.5 2 ]T. Dari kenyataan itu, persamaan diferensial itu dapat ditulis: y1’ = y2 y2’ = y3 y3’ = y4 y4’ = -27y1 – 48y2 – 28y3 – 8y4

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (3) Diungkapkan dalam rumusan matrix, diperoleh y’ = Ay, dengan : Matrix A memiliki ( i = √-1 ) Solusi atas persamaan ini adalah y(t) = exp(At)*y(0) dapat diperoleh lewat bantuan MATLAB. y1’ = y2 y2’ = y3 y3’ = y4 y4’ = -27y1 – 48y2 – 28y3 – 8y4

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (4) Contoh persoalan 1). Selesaikan : Jawaban: Definisikan: Dalam notasi matrix :

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (5) Persamaan karakteristik : Nilai Pribadi: λ1 = -2, λ2 = -1 Maka jawaban penyelesaian adalah : x(t) = exp(At) . x(0)

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (6)  dengan bantuan MATLAB, x(t) sebagai jawaban dapat diperoleh.

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (7) 2). Persamaan Diferensial: Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk matrix! Jawaban : Persamaan diferensial diubah dalam notasi berikut :

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (8) Syarat awal : Persamaan dalam bentuk matrix: Jawaban fungsi penyelesaian x(t) = exp(At) * x(0)

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (9) 3). Bila persamaan diferensial: Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk matrix! Jawaban: Atau Persamaan (i) : Persamaan keadaan f(t) : Stimulus

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (10) Contoh perhitungan dengan secara manual : Diketahui : matrix A Akar persamaan karakteristiknya adalah: -2, 2, 4. Tentukanlah : Persamaan karakteristiknya Nilai pribadi dan vektor pribadinya Matrix T dan D, serta kebenarannya

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (11) Jawaban: Persamaan Karakteristiknya adalah : (λ +2)( λ – 2)( λ – 4) = 0 λ3 – 4 λ2 - 4 λ + 16 = 0 Nilai pribadi dari matrix A merupakan akar- akar persamaan karakteristik matrix tersebut. Nilai-nilai pribadinya adalah : λ1 = -2; λ2 = 2; λ3 = 4 Vektor pribadi untuk λ1 = -2 Ax = λ I x

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (12) misal : x1 = 1 5x1 + 3x2 + 2x3 = 0 3x2 + 2x3 = -5... (persamaan 1) x1 + 3x2 – 2x3 = 0 3x2 − 2x3 = -1... (persamaan 2)

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (13) Dengan cara eliminasi persamaan 1dan 2 diperoleh : 3x2 + 2x3 = -5 3x2 + 2(1) = -1 _ 4x3 = -4 x3 = -1 Dengan cara mensubstitusi x3 = 1 pada persamaan 1 diperoleh: 3x2 + 2x3 = -5 3x2 + 2(-1) = -5 3x2 = -3 x2 = -1 Jadi vektor untuk λ1 = -2 adalah :

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (14) Vektor pribadi untuk λ2 = 2 Ax = λ I x misal : x1 = 1 x1 + 3x2 + 2x3 = 0 3x2 + 2x3 = -1...(persamaan 1) x1 − x2 – 2x3 = 0 − x2 − 2x3 = -1...(persamaan 2)

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (15) Dengan cara mensubstitusi x2 = -1 pada persamaan 1 diperoleh: 3x2 + 2 x3 = -1 3(-1) + 2 x3 = -1 2x3 = 2 x3 = 1 Jadi vektor untuk λ2 = 2 adalah

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (16) Vektor pribadi untuk λ3 = 4 Ax = λ I x misal : x1 = 1 −x1 + 3x2 + 2x3 = 0 3x2 + 2x3 = 1…. (persamaan 1) −x1 − 3x2 – 4x3 = 0 − 3x2 − 4x3 = 1...(persamaan 3)

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (17) Dengan cara eliminasi persamaan 1dan 3 diperoleh: 3x2 + 2 x3 = 1 −3x2 − 4 x3 = 1 + −2x3 = 2 x3 = -1 Dengan cara mensubstitusi x3 = -1 pada persamaan 1 diperoleh: 3x2 + 2x3 = 1 3(-1) + 2(-1) = 1 3x2 = 3 x2 = 1

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (18) Jadi vektor untuk λ3 = 4 adalah : Matrix T : Matrix D :

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (19) Matrix T dan D di atas dikatakan benar jika memenuhi persamaan berikut ini: AT =TD Terbukti bahwa :

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (20) Contoh 2 Ubahlah persamaan diferensial ini dalam bentuk matrix! Jawaban :

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (21) Definisikan : Sehingga persamaan diferensial di atas jika dituangkan dalam bentuk matrix menjadi:

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (22) di mana :

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (23) Contoh 3 :  a. Ubahlah persamaan diferensial berikut ini ke bentuk persaman matrix: b.Bagaimana bentuk persamaan karakteristiknya c..Bagaimana bentuk persamaan jawabannya Jawaban : a.Definisikan

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (24) Persamaan menjadi: Dalam rumus matrix persamaan defernsial di atas menjadi:

7.3 Menyelesaikan dengan x(0) diketahui (25) b. Persamaan karakteristiknya menjadi: Det [A − λI] = (−λ) (−λ) ((1/3) − λ) + (1) (1) (−2/3) + (0) (0) (1) − {(0) (−λ) (2/3) + (1) (1) (−λ) + (1/3 − λ) (0) (1)}

c. Jawaban fungsi penyelesaian matrix di atas adalah : x(t) = exp (At) c. Jawaban fungsi penyelesaian matrix di atas adalah : x(t) = exp (At) * x(0) Dengan bantuan matlab : >> syms x t >> x=exp([0 1 0; 0 0 1; -2/3 1 1/3]*t)*[1;2;3] diperoleh hasil sebagai berikut: